录入26届寒假作业8并建立related
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"content": "已知常数 $a \\in \\mathbf{R}$. 设函数 $f(x)=3 x^3+(2 a-1) x+a \\sqrt{2-2 x^2}$, 定义域为 $(0, \\dfrac{\\sqrt{3}}{3})$. 若 $f(x)$的最小值为 0, 则 $a=$\\blank{50}.",
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"content": "若函数 $f(x)$ 的图像上存在关于直线 $y=x$ 对称的不同两点, 则称 $f(x)$ 具有性质 $P$. 知 $a, b$ 为常数, 函数 $g(x)=2 x+\\dfrac{a}{x}$, $h(x)=\\dfrac{b x}{x^2+1}$. 对于命题: \\textcircled{1} 存在 $a>0$, 使得 $g(x)$具有性质 $P$; \\textcircled{2} 存在 $b>0$, 使得 $h(x)$ 具有性质 $P$, 下列判断正确的是\\bracket{20}.\n\\twoch{\\textcircled{1}和 \\textcircled{2}均为真命题}{\\textcircled{1}和\\textcircled{2}均为假命题}{\\textcircled{1} 为真命题, \\textcircled{2} 为假命题}{\\textcircled{1} 为假命题, \\textcircled{2} 为真命题}",
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"content": "已知常数 $a \\in \\mathbf{R}$, 函数 $f(x)=|2 x-1|+a$.\\\\\n(1) 若 $a=-3$, 解不等式 $f(x) \\leq 0$;\\\\\n(2) 若关于 $x$ 的不等式 $f(x) \\geq 1$ 对任意 $x \\in \\mathbf{R}$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围.",
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"content": "已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\\mathbf{R}$, 当 $x \\geq 0$ 时, $f(x)=2 x-\\dfrac{2}{x+1}$.\\\\\n(1) 求函数 $g(x)=f(x)-x$($x \\geq 0$) 的零点;\\\\\n(2) 若 $f(x)$ 为偶函数. 当 $x<0$ 时, 解不等式 $f(x)<-4 x-3$.",
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"20240108\t王伟叶"
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"id": "023517",
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"content": "已知函数 $f(x), g(x)$ 的定义域分别为 $D_1, D_2$. 若存在常数 $C>0$, 满足:\\\\\n\\textcircled{1} 对任意 $x_0\\in D_1$, 恒有 $x_0+C \\in D_1$, 且 $f(x_0) \\leq f(x_0+C)$;\\\\\n\\textcircled{2} 对任意 $x_0\\in D_1$, 关于 $x$ 的不等式组 $f(x_0) \\leq g(x) \\leq g(x+C) \\leq f(x_0+C)$ 恒有解,则称 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的一个``$C$ 型函数''.\\\\\n(1) 设函数 $f(x)=\\begin{cases}-1,&0 \\leq x \\leq \\dfrac{1}{3},\\\\1,& x>\\dfrac{1}{3}\\end{cases}$ 和 $g(x)=\\begin{cases}1,&0 \\leq x \\leq \\dfrac{1}{2},\\\\0,& x>\\dfrac{1}{2}.\\end{cases}$ 求证: $g(x)$ 为 $f(x)$ 的一个``$\\dfrac{1}{2}$型函数'';\\\\\n(2) 设常数 $a \\in \\mathbf{R}$, 函数 $f(x)=x^3+a x(x \\geq-1)$, $g(x)=2 x$($x \\geq-1$). 若 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的一个``1 型函数'', 求 $a$ 的取值范围;\\\\\n(3) 设函数 $f(x)=x^2-4 x$($x \\geq 0$). 问: 是否存在常数 $t>0$, 使得函数 $g(x)=x+\\dfrac{2 t^2}{x}$($x>0$) 为 $f(x)$ 的一个``$t$ 型函数''? 若存在, 求 $t$ 的取值范围; 若不存在, 说明理由.",
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"origin": "26届寒假作业补充题目",
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"20240108\t王伟叶"
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"content": "若$x,y,z$都是实数, 则:(填写``\\textcircled{1} 充分非必要、\\textcircled{2} 必要非充分、\\textcircled{3} 充要、\\textcircled{4} 既非充分又非必要''之一)\\\\\n(1) ``$xy=0$''是``$x=0$''的\\blank{50}条件;\\\\\n(2) ``$x\\cdot y=y\\cdot z$''是``$x=z$''的\\blank{50}条件;\\\\\n(3) ``$\\dfrac xy=\\dfrac yz$''是``$xz=y^2$''的\\blank{50}条件;\\\\\n(4) ``$|x |>| y|$''是``$x>y>0$''的\\blank{50}条件;\\\\\n(5) ``$x^2>4$''是``$x>2$'' 的\\blank{50}条件;\\\\\n(6) ``$x=-3$''是``$x^2+x-6=0$'' 的\\blank{50}条件;\\\\\n(7) ``$|x+y|<2$''是``$|x|<1$且$|y|<1$'' 的\\blank{50}条件;\\\\\n(8) ``$|x|<3$''是``$x^2<9$'' 的\\blank{50}条件;\\\\\n(9) ``$x^2+y^2>0$''是``$x\\ne 0$'' 的\\blank{50}条件;\\\\\n(10) ``$\\dfrac{x^2+x+1}{3x+2}<0$''是``$3x+2<0$'' 的\\blank{50}条件;\\\\\n(11) ``$0<x<3$''是``$|x-1|<2$'' 的\\blank{50}条件.",
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Reference in New Issue