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202302217\t2024届高二08班\t0.652\n", - "题号: 040002 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t1.000\n", - "题号: 040003 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.609\n", - "题号: 040004 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.304\n", - "题号: 040005 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.870\n", - "题号: 040006 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.391\n", - "题号: 040007 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.783\n", - "题号: 040008 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.957\n", - "题号: 040009 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.957\n", - "题号: 040011 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.913\n", - "题号: 040012 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.087\n", - "题号: 040013 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.696\n", - "题号: 040014 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.522\n", - "题号: 040015 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.848\t0.652\n", - "题号: 040016 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.891\t0.348\n", - "题号: 040017 , 字段: usages 中已添加数据: 202302217\t2024届高二08班\t0.957\t0.391\t0.435\n" + "题号: 010000 , 字段: solution 中已添加数据: (1) $S_{\\triangle ABC}=\\dfrac 12 \\cdot 2\\times 2\\times \\sin 60^\\circ=\\sqrt{3}$, 三棱锥的高$PO=2\\sin 60^\\circ = \\sqrt{3}$, 故$V_{P-ABC}=\\dfrac 13\\cdot S_{\\triangle ABC}\\cdot PO=\\dfrac 13\\times \\sqrt{3}\\times \\sqrt{3}=1$.\\\\\n", + "(2) 取$OC$中点$N$, 由于$MN\\parallel BO$, 且$BO\\perp AC$, 故$MN\\perp AC$. 又因为$PO\\perp$平面$ABC$, 故$MN\\perp PO$. 注意到$PO\\cap AC=O$, 于是$MN\\perp$平面$PAC$, 从而$PN$是$PM$在平面$PAC$上的射影. $MN=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, $PN=\\dfrac{\\sqrt{13}}{2}$, 故$\\angle MPN=\\arctan \\dfrac{MN}{PN}=\\arctan \\dfrac{\\sqrt{39}}{13}$. 综上, $PM$与平面$PAC$所成角的大小为$\\arctan \\dfrac{\\sqrt{39}}{13}$.\n", + "题号: 011301 , 字段: solution 中已添加数据: (1) 由$a^2+c^2-2ac\\cos B=b^2$, 即$c^2-5c-24=0$解得$c=8$或$-3$(负数舍去). 故$c=8$.\\\\\n", + "(2) 延长$CM$至$N$, 使得$CM=MN$, 则四边形$ACBN$是平行四边形, 故$S_{\\triangle ABC}=S_{\\triangle ACN}$. $\\triangle ACN$的三边长分别为$5,6,7$, 故$\\cos \\angle CAN=\\dfrac{5^2+7^2-6^2}{2\\times 5\\times 7}=\\dfrac{19}{35}$, 所以$\\sin \\angle CAN=\\dfrac{12\\sqrt{6}}{35}$. 由此, $S_{\\triangle ACN}=\\dfrac 12\\cdot AC\\cdot AN\\cdot \\sin \\angle CAN=6\\sqrt{6}$. 综上, 三角形$ABC$的面积为$6\\sqrt{6}$.\n", + "题号: 003691 , 字段: solution 中已添加数据: (1) 前$4$个月的累计投放量为$a_1+a_2+a_3+a_4=20+95+420+430=965$. 前$4$个月的累计损失量为$b_1+b_2+b_3+b_4=6+7+8+9=30$, 因此该地区第$4$个月底的共享单车的保有量为$965-30=935$.\\\\\n", + "(2) 考察不等式$a_n \\geq b_n$在整数范围内的解集. 当$n \\leq 3$时, $5 n^4+15 \\geq n+5$确实成立, 当$n \\geq 4$时, 由$-10 n+470 \\geq n+5$, 解得$n \\leq \\dfrac{465}{11}\\approx 42.27$, 因此第$42$个月底, 保有量达到最大. 当$n \\geq 4$时, $\\{a_n\\}$是公差为$-10$的等差数列, 而$\\{b_n\\}$是公差为$1$的等差数列, 于是到第$42$个月底, 单车保有量为$\\dfrac{38(a_5+a_{42})}{2}+965-\\dfrac{42(b_1+b_{42})}{2}=\\dfrac{38(420+50)}{2}+965-\\dfrac{42(6+47)}{2}=8782$. 而$S_{42}=-4\\times 16+8800=8736<8782$. 因此该月底单车保有量超过了容纳量.\n", + "题号: 011450 , 字段: solution 中已添加数据: (1) 设直线$l$的方程为$x=m$, 由$S_{\\triangle OPQ}=\\dfrac 12\\cdot |m|\\cdot |PQ|=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$得$|PQ|=\\dfrac{\\sqrt{2}}{|m|}$, 于是点$(m,\\dfrac{\\sqrt{2}}{2|m|})$在椭圆上. 代入椭圆$C$的方程, 得$m^2+\\dfrac{2}{8m^2}=1$, 解得$m^2=\\dfrac 12$. 故直线$l$的方程为$x=\\dfrac{\\sqrt{2}}2$或$x=-\\dfrac{\\sqrt{2}}2$.\\\\\n", + "(2) 当直线$l$的斜率不存在时, 点$P,Q$关于$x$轴对称, 设$P(x_1,y_1)$, $Q(x_1,-y_1)$, 由$x_1^2+\\dfrac{y_1^2}{2}=1$及$|x_1y_1|=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$解得$|x_1|=\\dfrac{\\sqrt{2}}2$, $|y_1|=1$, 故此时$x_1^2+x_2^2=1$, $y_1^2+y_2^2=2$.\\\\\n", + "当直线$l$的斜率存在时, 设直线$l$的方程为$y=kx+m$, 与椭圆$C$的方程联立, 整理得$(2+k^2)x^2+2kmx+m^2-2=0$, 由$\\dfrac 12|x_1y_2-x_2y_1|=\\dfrac 12|x_1(kx_2+m)-x_2(kx_1+m)|=\\dfrac 12|m||x_1-x_2|=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$得$\\sqrt{2}(2+k^2)=|m|\\sqrt{2+k^2-m^2}$. 于是$2m^2=2+k^2$, $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(\\dfrac{-2km}{2+k^2})^2-\\dfrac{2m^2-4}{2+k^2}=1$, $y_1^2+y_2^2=2(1-x_1^2+1-x_2^2)=2$.\\\\\n", + "(3) 假设这样的三角形存在, 则三点$D(x_1,y_1)$, $E(x_2,y_2)$, $G(x_3,y_3)$应满足$x_1^2+x_2^2=x_2^2+x_3^2=x_3^2+x_1^2=1$, 从而$x_1^2=x_2^2=x_3^2=\\dfrac 12$, 但椭圆$C$上任取横坐标为$\\pm \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$的三点, 总有两个点与原点共线, 此时三角形不存在, 矛盾. 因此假设不成立, 满足条件的三角形不存在.\n", + "题号: 031236 , 字段: solution 中已添加数据: (1) $f'(0)=\\mathrm{e}^0(\\dfrac{1}{1+0}+\\ln (1+0))=1$, 又$f(0)=0$, 故所求切线的方程为$y=x$.\\\\\n", + "(2) $g(x)=f'(x)=\\mathrm{e}^x(\\dfrac{1}{1+x}+\\ln (1+x))$. $g'(x)=\\mathrm{e}^x(\\ln (1+x)+\\dfrac{2}{1+x}-\\dfrac{1}{(1+x)^2})$, 当$x>0$时, $\\mathrm{e}^x>1>0$, $\\ln(1+x)>0$, 且$\\dfrac{2}{1+x}-\\dfrac{1}{(1+x)^2}=\\dfrac{2x+1}{(1+x)^2}>0$, 所以$g'(x)$在$(0,+\\infty)$上恒正. 因此$g(x)$在$[0,+\\infty)$上是严格增函数.\\\\\n", + "(3) 对于固定的常数$t$, 令$h(x)=f(x+t)-f(x)-f(t)$, 则$h(t)=0$, 而$h'(x)=f'(x+t)-f'(x)=g(x+t)-g(x)$. 由(2)可知$g(x+t)>g(x)$, 故$h'(x)$在$(0,+\\infty)$上恒正, 于是有$h(s)>h(0)=0$, 即$f(s+t)>f(s)+f(t)$.\n" ] } ], diff --git a/工具/文本文件/metadata.txt b/工具/文本文件/metadata.txt index bf787474..3fe3d1ed 100644 --- a/工具/文本文件/metadata.txt +++ b/工具/文本文件/metadata.txt @@ -1,338 +1,26 @@ -usages +solution -021492 -20230221 2025届高一11班 0.976 -021493 -20230221 2025届高一11班 0.976 +010000 +(1) $S_{\triangle ABC}=\dfrac 12 \cdot 2\times 2\times \sin 60^\circ=\sqrt{3}$, 三棱锥的高$PO=2\sin 60^\circ = \sqrt{3}$, 故$V_{P-ABC}=\dfrac 13\cdot S_{\triangle ABC}\cdot PO=\dfrac 13\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}=1$.\\ +(2) 取$OC$中点$N$, 由于$MN\parallel BO$, 且$BO\perp AC$, 故$MN\perp AC$. 又因为$PO\perp$平面$ABC$, 故$MN\perp PO$. 注意到$PO\cap AC=O$, 于是$MN\perp$平面$PAC$, 从而$PN$是$PM$在平面$PAC$上的射影. $MN=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $PN=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$, 故$\angle MPN=\arctan \dfrac{MN}{PN}=\arctan \dfrac{\sqrt{39}}{13}$. 综上, $PM$与平面$PAC$所成角的大小为$\arctan \dfrac{\sqrt{39}}{13}$. -021494 -20230221 2025届高一11班 1.000 +011301 +(1) 由$a^2+c^2-2ac\cos B=b^2$, 即$c^2-5c-24=0$解得$c=8$或$-3$(负数舍去). 故$c=8$.\\ +(2) 延长$CM$至$N$, 使得$CM=MN$, 则四边形$ACBN$是平行四边形, 故$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACN}$. $\triangle ACN$的三边长分别为$5,6,7$, 故$\cos \angle CAN=\dfrac{5^2+7^2-6^2}{2\times 5\times 7}=\dfrac{19}{35}$, 所以$\sin \angle CAN=\dfrac{12\sqrt{6}}{35}$. 由此, $S_{\triangle ACN}=\dfrac 12\cdot AC\cdot AN\cdot \sin \angle CAN=6\sqrt{6}$. 综上, 三角形$ABC$的面积为$6\sqrt{6}$. -021495 -20230221 2025届高一11班 0.762 +003691 +(1) 前$4$个月的累计投放量为$a_1+a_2+a_3+a_4=20+95+420+430=965$. 前$4$个月的累计损失量为$b_1+b_2+b_3+b_4=6+7+8+9=30$, 因此该地区第$4$个月底的共享单车的保有量为$965-30=935$.\\ +(2) 考察不等式$a_n \geq b_n$在整数范围内的解集. 当$n \leq 3$时, $5 n^4+15 \geq n+5$确实成立, 当$n \geq 4$时, 由$-10 n+470 \geq n+5$, 解得$n \leq \dfrac{465}{11}\approx 42.27$, 因此第$42$个月底, 保有量达到最大. 当$n \geq 4$时, $\{a_n\}$是公差为$-10$的等差数列, 而$\{b_n\}$是公差为$1$的等差数列, 于是到第$42$个月底, 单车保有量为$\dfrac{38(a_5+a_{42})}{2}+965-\dfrac{42(b_1+b_{42})}{2}=\dfrac{38(420+50)}{2}+965-\dfrac{42(6+47)}{2}=8782$. 而$S_{42}=-4\times 16+8800=8736<8782$. 因此该月底单车保有量超过了容纳量. -021496 -20230221 2025届高一11班 0.952 -021497 -20230221 2025届高一11班 0.976 0.762 0.905 - -021498 -20230221 2025届高一11班 0.964 - -021499 -20230221 2025届高一11班 0.952 - -021500 -20230221 2025届高一11班 0.988 - -021501 -20230221 2025届高一11班 1.000 - -021502 -20230221 2025届高一11班 0.762 - -021503 -20230221 2025届高一11班 0.929 - -021504 -20230221 2025届高一11班 0.869 0.869 - -021505 -20230221 2025届高一11班 0.643 - -021506 -20230221 2025届高一11班 0.857 - -021507 -20230221 2025届高一11班 0.702 - -021492 -20230221 2025届高一01班 0.951 - -021493 -20230221 2025届高一01班 0.829 - -021494 -20230221 2025届高一01班 0.732 - -021495 -20230221 2025届高一01班 0.610 - -021496 -20230221 2025届高一01班 0.829 - -021497 -20230221 2025届高一01班 0.829 0.732 0.707 - -021498 -20230221 2025届高一01班 0.902 - -021499 -20230221 2025届高一01班 0.842 - -021500 -20230221 2025届高一01班 0.842 - -021501 -20230221 2025届高一01班 0.890 - -021502 -20230221 2025届高一01班 0.756 - -021503 -20230221 2025届高一01班 0.780 - -021504 -20230221 2025届高一01班 0.695 0.671 - -021505 -20230221 2025届高一01班 0.658 - -021506 -20230221 2025届高一01班 0.707 - -021507 -20230221 2025届高一01班 0.732 - -021492 -20230221 2025届高一12班 1.000 - -021493 -20230221 2025届高一12班 0.905 - -021494 -20230221 2025届高一12班 0.905 - -021495 -20230221 2025届高一12班 0.571 - -021496 -20230221 2025届高一12班 0.952 - -021497 -20230221 2025届高一12班 1.000 0.833 0.952 - -021498 -20230221 2025届高一12班 0.964 - -021499 -20230221 2025届高一12班 0.976 - -021500 -20230221 2025届高一12班 1.000 - -021501 -20230221 2025届高一12班 0.976 - -021502 -20230221 2025届高一12班 0.845 - -021503 -20230221 2025届高一12班 0.881 - -021504 -20230221 2025届高一12班 0.774 0.905 - -021505 -20230221 2025届高一12班 0.774 - -021506 -20230221 2025届高一12班 0.702 - -021507 -20230221 2025届高一12班 0.679 - -021492 -20230221 2025届高一02班 0.943 - -021493 -20230221 2025届高一02班 0.886 - -021494 -20230221 2025届高一02班 0.857 - -021495 -20230221 2025届高一02班 0.571 - -021496 -20230221 2025届高一02班 0.971 - -021497 -20230221 2025届高一02班 0.971 0.857 0.971 - -021498 -20230221 2025届高一02班 0.929 - -021499 -20230221 2025届高一02班 0.871 - -021500 -20230221 2025届高一02班 0.943 - -021501 -20230221 2025届高一02班 1.000 - -021502 -20230221 2025届高一02班 0.743 - -021503 -20230221 2025届高一02班 0.886 - -021504 -20230221 2025届高一02班 0.700 0.729 - -021505 -20230221 2025届高一02班 0.729 - -021506 -20230221 2025届高一02班 0.614 - -021507 -20230221 2025届高一02班 0.686 - -021492 -20230221 2025届高一06班 0.923 - -021493 -20230221 2025届高一06班 0.897 - -021494 -20230221 2025届高一06班 0.846 - -021495 -20230221 2025届高一06班 0.385 - -021496 -20230221 2025届高一06班 0.923 - -021497 -20230221 2025届高一06班 0.949 0.769 0.821 - -021498 -20230221 2025届高一06班 0.846 - -021499 -20230221 2025届高一06班 0.808 - -021500 -20230221 2025届高一06班 0.974 - -021501 -20230221 2025届高一06班 0.962 - -021502 -20230221 2025届高一06班 0.897 - -021503 -20230221 2025届高一06班 0.718 - -021504 -20230221 2025届高一06班 0.500 0.667 - -021505 -20230221 2025届高一06班 0.564 - -021506 -20230221 2025届高一06班 0.718 - -021507 -20230221 2025届高一06班 0.500 - -021492 -20230221 2025届高一08班 0.946 - -021493 -20230221 2025届高一08班 0.865 - -021494 -20230221 2025届高一08班 0.973 - -021495 -20230221 2025届高一08班 0.460 - -021496 -20230221 2025届高一08班 0.784 - -021497 -20230221 2025届高一08班 0.946 0.811 0.811 - -021498 -20230221 2025届高一08班 0.838 - -021499 -20230221 2025届高一08班 0.878 - -021500 -20230221 2025届高一08班 0.838 - -021501 -20230221 2025届高一08班 0.946 - -021502 -20230221 2025届高一08班 0.703 - -021503 -20230221 2025届高一08班 0.838 - -021504 -20230221 2025届高一08班 0.797 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故直线$l$的方程为$x=\dfrac{\sqrt{2}}2$或$x=-\dfrac{\sqrt{2}}2$.\\ +(2) 当直线$l$的斜率不存在时, 点$P,Q$关于$x$轴对称, 设$P(x_1,y_1)$, $Q(x_1,-y_1)$, 由$x_1^2+\dfrac{y_1^2}{2}=1$及$|x_1y_1|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$解得$|x_1|=\dfrac{\sqrt{2}}2$, $|y_1|=1$, 故此时$x_1^2+x_2^2=1$, $y_1^2+y_2^2=2$.\\ +当直线$l$的斜率存在时, 设直线$l$的方程为$y=kx+m$, 与椭圆$C$的方程联立, 整理得$(2+k^2)x^2+2kmx+m^2-2=0$, 由$\dfrac 12|x_1y_2-x_2y_1|=\dfrac 12|x_1(kx_2+m)-x_2(kx_1+m)|=\dfrac 12|m||x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$得$\sqrt{2}(2+k^2)=|m|\sqrt{2+k^2-m^2}$. 于是$2m^2=2+k^2$, $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(\dfrac{-2km}{2+k^2})^2-\dfrac{2m^2-4}{2+k^2}=1$, $y_1^2+y_2^2=2(1-x_1^2+1-x_2^2)=2$.\\ +(3) 假设这样的三角形存在, 则三点$D(x_1,y_1)$, $E(x_2,y_2)$, $G(x_3,y_3)$应满足$x_1^2+x_2^2=x_2^2+x_3^2=x_3^2+x_1^2=1$, 从而$x_1^2=x_2^2=x_3^2=\dfrac 12$, 但椭圆$C$上任取横坐标为$\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$的三点, 总有两个点与原点共线, 此时三角形不存在, 矛盾. 因此假设不成立, 满足条件的三角形不存在. +031236 +(1) $f'(0)=\mathrm{e}^0(\dfrac{1}{1+0}+\ln (1+0))=1$, 又$f(0)=0$, 故所求切线的方程为$y=x$.\\ +(2) $g(x)=f'(x)=\mathrm{e}^x(\dfrac{1}{1+x}+\ln (1+x))$. $g'(x)=\mathrm{e}^x(\ln (1+x)+\dfrac{2}{1+x}-\dfrac{1}{(1+x)^2})$, 当$x>0$时, $\mathrm{e}^x>1>0$, $\ln(1+x)>0$, 且$\dfrac{2}{1+x}-\dfrac{1}{(1+x)^2}=\dfrac{2x+1}{(1+x)^2}>0$, 所以$g'(x)$在$(0,+\infty)$上恒正. 因此$g(x)$在$[0,+\infty)$上是严格增函数.\\ +(3) 对于固定的常数$t$, 令$h(x)=f(x+t)-f(x)-f(t)$, 则$h(t)=0$, 而$h'(x)=f'(x+t)-f'(x)=g(x+t)-g(x)$. 由(2)可知$g(x+t)>g(x)$, 故$h'(x)$在$(0,+\infty)$上恒正, 于是有$h(s)>h(0)=0$, 即$f(s+t)>f(s)+f(t)$. \ No newline at end of file diff --git a/工具/文本文件/题号筛选.txt b/工具/文本文件/题号筛选.txt index 6055932f..98b822cb 100644 --- a/工具/文本文件/题号筛选.txt +++ b/工具/文本文件/题号筛选.txt @@ -1 +1 @@ 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于是到第$42$个月底, 单车保有量为$\\dfrac{38(a_5+a_{42})}{2}+965-\\dfrac{42(b_1+b_{42})}{2}=\\dfrac{38(420+50)}{2}+965-\\dfrac{42(6+47)}{2}=8782$. 而$S_{42}=-4\\times 16+8800=8736<8782$. 因此该月底单车保有量超过了容纳量.", "duration": -1, "usages": [], "origin": "上海2017年秋季高考试题19", @@ -110677,7 +110677,7 @@ ], "genre": "填空题", "ans": "$[-3,1]$", - "solution": "", + "solution": "设$MN$的中点为$T$, 则$|OT|=1$且$T$能取遍单位圆上的每一个点. 而$\\overrightarrow{AM}\\cdot \\overrightarrow{AN}=(\\overrightarrow{AT}+\\overrightarrow{TM})\\cdot (\\overrightarrow{AT}-\\overrightarrow{TM})=\\overrightarrow{AT}^2-3$, 而$|AT|$的范围为$[0,2]$, 所以$\\overrightarrow{AM}\\cdot \\overrightarrow{AN}$的取值范围为$[-3,1]$", "duration": -1, "usages": [ "20220331\t2022届高三01班\t0.744" @@ -112937,7 +112937,7 @@ ], "genre": "填空题", "ans": "$36$", - "solution": "", + "solution": "$f(2020)=f(2^{10}\\cdot \\dfrac{2020}{1024})=2^{10}(2-\\dfrac{2020}{1024})=28$. 而当$x\\in (2^i,2^{i+1}]$($i\\in \\mathbf{Z}$)时, $f(x)$的取值范围为$[0,2^i)$. 所以$x>32$, 设$x\\in (32,64]$, 则$f(x)=32f(\\dfrac{x}{32})=32\\cdot (2-\\dfrac{x}{32})=64-x$, 解$64-x=28$得$x=36$", "duration": -1, "usages": [ "20220505\t2022届高三01班\t0.907" @@ -113901,7 +113901,7 @@ ], "genre": "填空题", "ans": "$3$", - "solution": "", + "solution": "圆心坐标为$(1,2)$,. 由点到直线的距离公式得$d=\\dfrac{|3\\cdot 1+4\\cdot 2+4|}{\\sqrt{3^2+4^2}}=\\dfrac{15}{5}=3$", "duration": -1, "usages": [ "20220517\t2022届高三01班\t0.977", @@ -114013,7 +114013,7 @@ ], "genre": "填空题", "ans": "$(-\\infty,-1]\\cup [0,+\\infty)$", - "solution": "", + "solution": "该函数在$x>0$时的取值范围为$(b,1+b)$, 所以该函数存在反函数的一个充要条件为$(-b-1,-b)$, $\\{0\\}$, $(b,b+1)$两两的交集为$\\varnothing$, 解得$b\\le -1$或$b\\ge 0$", "duration": -1, "usages": [ "20220517\t2022届高三01班\t0.698" @@ -120893,8 +120893,8 @@ "第八单元" ], "genre": "填空题", - "ans": "$0217$", - "solution": "", + "ans": "$9217$", + "solution": "最大数为$1$的集合有$2^0$个, 最大数为$2$的集合有$2^1$个, 以此类推. 所以$S_{10}=\\displaystyle\\sum_{i=1}^{10}(i\\cdot 2^{i-1})=9217$", "duration": -1, "usages": [ "20211123\t2022届高三01班\t0.810" @@ -226727,7 +226727,7 @@ ], "genre": "选择题", "ans": "B", - "solution": "", + "solution": "根据复数相等的定义, $z_1=z_2$时必有$a=c$, 反之如$z_1=1$, $z_2=1+\\mathrm{i}$, 则有$a=c$且$z_1\\ne z_2$", "duration": -1, "usages": [], "origin": "二期课改练习册高二第二学期", @@ -229135,7 +229135,7 @@ ], "genre": "选择题", "ans": "D", - "solution": "", + "solution": "如图, 点$(x,y)$的轨迹为图中的圆, 圆上动点与原点连线斜率的最大值是如图切线的斜率\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2,0) -- (4,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (2,0) circle ({sqrt(3)});\n\\draw (0,0) --++ (60:2);\n\\filldraw (2,0) node [below] {$C$} coordinate (C) circle (0.03);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "duration": -1, "usages": [], "origin": "二期课改练习册高二第二学期", @@ -250544,7 +250544,7 @@ ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $1$; (2) $\\arctan\\dfrac{\\sqrt{39}}{13}$", - "solution": "", + "solution": "(1) $S_{\\triangle ABC}=\\dfrac 12 \\cdot 2\\times 2\\times \\sin 60^\\circ=\\sqrt{3}$, 三棱锥的高$PO=2\\sin 60^\\circ = \\sqrt{3}$, 故$V_{P-ABC}=\\dfrac 13\\cdot S_{\\triangle ABC}\\cdot PO=\\dfrac 13\\times \\sqrt{3}\\times \\sqrt{3}=1$.\\\\\n(2) 取$OC$中点$N$, 由于$MN\\parallel BO$, 且$BO\\perp AC$, 故$MN\\perp AC$. 又因为$PO\\perp$平面$ABC$, 故$MN\\perp PO$. 注意到$PO\\cap AC=O$, 于是$MN\\perp$平面$PAC$, 从而$PN$是$PM$在平面$PAC$上的射影. $MN=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, $PN=\\dfrac{\\sqrt{13}}{2}$, 故$\\angle MPN=\\arctan \\dfrac{MN}{PN}=\\arctan \\dfrac{\\sqrt{39}}{13}$. 综上, $PM$与平面$PAC$所成角的大小为$\\arctan \\dfrac{\\sqrt{39}}{13}$.", "duration": -1, "usages": [ "20221101\t2023届高三10班\t0.886\t0.686", @@ -282133,7 +282133,7 @@ ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $c=8$; (2) $6\\sqrt{6}$", - "solution": "", + "solution": "(1) 由$a^2+c^2-2ac\\cos B=b^2$, 即$c^2-5c-24=0$解得$c=8$或$-3$(负数舍去). 故$c=8$.\\\\\n(2) 延长$CM$至$N$, 使得$CM=MN$, 则四边形$ACBN$是平行四边形, 故$S_{\\triangle ABC}=S_{\\triangle ACN}$. $\\triangle ACN$的三边长分别为$5,6,7$, 故$\\cos \\angle CAN=\\dfrac{5^2+7^2-6^2}{2\\times 5\\times 7}=\\dfrac{19}{35}$, 所以$\\sin \\angle CAN=\\dfrac{12\\sqrt{6}}{35}$. 由此, $S_{\\triangle ACN}=\\dfrac 12\\cdot AC\\cdot AN\\cdot \\sin \\angle CAN=6\\sqrt{6}$. 综上, 三角形$ABC$的面积为$6\\sqrt{6}$.", "duration": -1, "usages": [], "origin": "2022届高三下学期周末卷3试题18", @@ -285466,7 +285466,7 @@ ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $x=\\dfrac{\\sqrt{2}}2$或$x=-\\dfrac{\\sqrt{2}}2$; (2) $x_1^2+x_2^2=1$, $y_1^2+y_2^2=2$; (3) 不存在, 证明略.", - "solution": "", + "solution": "(1) 设直线$l$的方程为$x=m$, 由$S_{\\triangle OPQ}=\\dfrac 12\\cdot |m|\\cdot |PQ|=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$得$|PQ|=\\dfrac{\\sqrt{2}}{|m|}$, 于是点$(m,\\dfrac{\\sqrt{2}}{2|m|})$在椭圆上. 代入椭圆$C$的方程, 得$m^2+\\dfrac{2}{8m^2}=1$, 解得$m^2=\\dfrac 12$. 故直线$l$的方程为$x=\\dfrac{\\sqrt{2}}2$或$x=-\\dfrac{\\sqrt{2}}2$.\\\\\n(2) 当直线$l$的斜率不存在时, 点$P,Q$关于$x$轴对称, 设$P(x_1,y_1)$, $Q(x_1,-y_1)$, 由$x_1^2+\\dfrac{y_1^2}{2}=1$及$|x_1y_1|=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$解得$|x_1|=\\dfrac{\\sqrt{2}}2$, $|y_1|=1$, 故此时$x_1^2+x_2^2=1$, $y_1^2+y_2^2=2$.\\\\\n当直线$l$的斜率存在时, 设直线$l$的方程为$y=kx+m$, 与椭圆$C$的方程联立, 整理得$(2+k^2)x^2+2kmx+m^2-2=0$, 由$\\dfrac 12|x_1y_2-x_2y_1|=\\dfrac 12|x_1(kx_2+m)-x_2(kx_1+m)|=\\dfrac 12|m||x_1-x_2|=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$得$\\sqrt{2}(2+k^2)=|m|\\sqrt{2+k^2-m^2}$. 于是$2m^2=2+k^2$, $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(\\dfrac{-2km}{2+k^2})^2-\\dfrac{2m^2-4}{2+k^2}=1$, $y_1^2+y_2^2=2(1-x_1^2+1-x_2^2)=2$.\\\\\n(3) 假设这样的三角形存在, 则三点$D(x_1,y_1)$, $E(x_2,y_2)$, $G(x_3,y_3)$应满足$x_1^2+x_2^2=x_2^2+x_3^2=x_3^2+x_1^2=1$, 从而$x_1^2=x_2^2=x_3^2=\\dfrac 12$, 但椭圆$C$上任取横坐标为$\\pm \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$的三点, 总有两个点与原点共线, 此时三角形不存在, 矛盾. 因此假设不成立, 满足条件的三角形不存在.", "duration": -1, "usages": [], "origin": "2022届高三下学期周末卷10试题20", @@ -302089,7 +302089,7 @@ ], "genre": "填空题", "ans": "$4$", - "solution": "", + "solution": "解$1\\cdot a-2\\cdot 3=0$得$a=6$, 此时方程组确实无解", "duration": -1, "usages": [ "20230103\t2023届高三10班\t1.000", @@ -308885,7 +308885,7 @@ ], "genre": "选择题", "ans": "B", - "solution": "", + "solution": "要求$a^2-(k+2)ab+b^2\\ge 0$恒成立, 即要求$(k+2)^2b^2-4b^2\\le 0$对一切$b\\in \\mathbf{R}$恒成立, 即要求$(k^2+4k)\\le 0$, 解得$k$的范围为$[-4,0]$", "duration": -1, "usages": [], "origin": "2015届春季高考附加卷试题2", @@ -322188,7 +322188,7 @@ }, "013040": { "id": "013040", - "content": "已知函数$y=f(x)$的周期为$2 \\pi$, 当$x \\in[0,2 \\pi)$时, $f(x)=\\sin \\dfrac{x}{2}$, 那么方程$f(x)=\\dfrac{1}{2}$的解集是\\blank{50}.", + "content": "已知定义在$\\mathbf{R}$上的函数$y=f(x)$的周期为$2 \\pi$, 当$x \\in[0,2 \\pi)$时, $f(x)=\\sin \\dfrac{x}{2}$, 那么方程$f(x)=\\dfrac{1}{2}$的解集是\\blank{50}.", "objs": [], "tags": [ "第三单元" @@ -349640,7 +349640,7 @@ }, "014331": { "id": "014331", - "content": "如图, 在直角三角形$ABC$中, $|CA|=|CB|=2, M$、$N$是斜边$AB$上的两个动点(点$M$靠在线段$BN$上), 且$|MN|=\\sqrt{2}$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) node [left] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (2,0) node [right] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (0,2) node [above] {$B$} coordinate (B);\n\\draw ($(A)!0.2!(B)$) node [above right] {$M$} coordinate (M);\n\\draw ($(A)!0.7!(B)$) node [above right] {$N$} coordinate (N);\n\\draw (A)--(B)--(C)--cycle;\n\\draw (C)--(M)(C)--(N);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求向量$\\overrightarrow{MN}$在$\\overrightarrow{CB}$方向上的投影与数量投影;\\\\\n(2) 求$\\overrightarrow{CM} \\cdot \\overrightarrow{CN}$的取值范围.", + "content": "如图, 在直角三角形$ABC$中, $|CA|=|CB|=2, M$、$N$是斜边$AB$上的两个动点(点$N$在线段$BM$上), 且$|MN|=\\sqrt{2}$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) node [left] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (2,0) node [right] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (0,2) node [above] {$B$} coordinate (B);\n\\draw ($(A)!0.2!(B)$) node [above right] {$M$} coordinate (M);\n\\draw ($(A)!0.7!(B)$) node [above right] {$N$} coordinate (N);\n\\draw (A)--(B)--(C)--cycle;\n\\draw (C)--(M)(C)--(N);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求向量$\\overrightarrow{MN}$在$\\overrightarrow{CB}$方向上的投影与数量投影;\\\\\n(2) 求$\\overrightarrow{CM} \\cdot \\overrightarrow{CN}$的取值范围.", "objs": [], "tags": [], "genre": "解答题", @@ -350839,7 +350839,7 @@ }, "014394": { "id": "014394", - "content": "已知复数$z=\\dfrac{\\mathrm{i}+\\mathrm{i}^2++\\mathrm{i}^3+\\cdots+\\mathrm{i}^{2003}}{1+\\mathrm{i}}$, 则复数$z=$\\blank{50}.", + "content": "已知复数$z=\\dfrac{\\mathrm{i}+\\mathrm{i}^2+\\mathrm{i}^3+\\cdots+\\mathrm{i}^{2003}}{1+\\mathrm{i}}$, 则复数$z=$\\blank{50}.", "objs": [], "tags": [], "genre": "填空题", @@ -353499,10 +353499,10 @@ }, "014534": { "id": "014534", - "content": "已知数列$\\{a_n\\}$的前$n$项和为$S_n=2 \\times 3^n+a$. 当常数$a=$时, 数列$\\{a_n\\}$为等比数列.", + "content": "已知数列$\\{a_n\\}$的前$n$项和为$S_n=2 \\times 3^n+a$. 当常数$a=$\\blank{50}时, 数列$\\{a_n\\}$为等比数列.", "objs": [], "tags": [], - "genre": "解答题", + "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", "duration": -1, @@ -353514,7 +353514,7 @@ "same": [], "related": [], "remark": "", - "space": "12ex" + "space": "" }, "014535": { "id": "014535", @@ -353727,7 +353727,7 @@ }, "014546": { "id": "014546", - "content": "已知无穷等比数列$\\{a_n\\}$的公比为$q$, 前$n$项和为$S_n$, 且$\\displaystyle\\lim _{n \\to+\\infty} S_n=S$. 下列条件中, 使得$2S_n0$, $0.60$, $0.70$, $0.60$, $0.70$时, $\\mathrm{e}^x>1>0$, $\\ln(1+x)>0$, 且$\\dfrac{2}{1+x}-\\dfrac{1}{(1+x)^2}=\\dfrac{2x+1}{(1+x)^2}>0$, 所以$g'(x)$在$(0,+\\infty)$上恒正. 因此$g(x)$在$[0,+\\infty)$上是严格增函数.\\\\\n(3) 对于固定的常数$t$, 令$h(x)=f(x+t)-f(x)-f(t)$, 则$h(t)=0$, 而$h'(x)=f'(x+t)-f'(x)=g(x+t)-g(x)$. 由(2)可知$g(x+t)>g(x)$, 故$h'(x)$在$(0,+\\infty)$上恒正, 于是有$h(s)>h(0)=0$, 即$f(s+t)>f(s)+f(t)$.", "duration": -1, "usages": [], "origin": "2022年北京高考", @@ -432444,7 +432444,7 @@ ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac 35$", - "solution": "", + "solution": "所有取法共有$\\mathrm{C}_6^3=20$种, 其中恰有两个小球编号相邻的取法有$124$, $125$, $126$, $235$, $236$, $134$, $346$, $145$, $245$, $156$, $256$, $356$共$12$种, 所以所求概率为$\\dfrac{12}{20}=\\dfrac 35$", "duration": -1, "usages": [], "origin": "教材复习题-20230220修改", @@ -432470,7 +432470,7 @@ "二项式定理" ], "genre": "填空题", - "ans": "有$17$项是有理项", + "ans": "$17$", "solution": "考虑$(x^{\\frac 12}+x^{-\\frac 13})^{100}$展开式的通项$T_{r+1}=\\mathrm{C}_{100}^rx^{\\frac{100-r}2}\\cdot (x^{-\\frac 13})^r=\\mathrm{C}_{100}^rx^{50-\\dfrac{3r}6}$.\n令$r=6k$($k\\in \\mathbf{Z}$), 则$0\\le 6k\\le 100$, 即$r=0,6,12,\\cdots ,96$.\n因此共有$17$个有理项.", "duration": -1, "usages": [], @@ -432495,7 +432495,7 @@ ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac 23$", - "solution": "", + "solution": "$\\dfrac{1}{\\sin^2\\alpha+2\\sin\\alpha\\cos\\alpha}=\\dfrac{\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha+2\\sin\\alpha\\cos\\alpha}=\\dfrac{\\tan^2\\alpha+1}{\\tan^2\\alpha+2\\tan\\alpha}=\\dfrac 2 3$", "duration": -1, "usages": [], "origin": "二期课改练习册高一第二学期-20230220修改", @@ -432520,7 +432520,7 @@ ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac{2\\pi}3$", - "solution": "", + "solution": "因$\\overrightarrow{b}\\cdot \\overrightarrow{b}=36$, 故$\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}=-15$, 进而$\\cos\\langle \\overrightarrow a,\\overrightarrow b\\rangle=\\dfrac{-15}{30}=-\\dfrac 12$", "duration": -1, "usages": [], "origin": "新教材必修第二册课堂练习-20230220修改", @@ -433034,7 +433034,7 @@ "tags": [], "genre": "填空题", "ans": "$6$", - "solution": "", + "solution": "从小到大排列后, 第$9$和第$10$个数的算术平均数为$5$. $18\\cdot 0.75=13.5$, 故第$14$个数也为$5$, 从而第$10$个数小于等于$5$, 因此它等于$5$, 第九个数也必须等于$5$, 这样, 第$9,10,11,12,13,14$这六个数都等于$5$. 另一方面, $8$个$4$, $6$个$5$, $4$个$6$的数据满足要求.", "duration": -1, "usages": [], "origin": "自拟题目",