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工具v2/文本文件/metadata.txt

@@ -1,188 +1,302 @@
-ans
+tags
+
+024729
+第三单元
+
+
+024730
+第三单元
+
+
+024731
+第三单元
+
+
+024732
+第三单元
+
+
+024733
+第三单元
+
+
+024734
+第三单元
+
+
+024735
+第二单元
+第三单元
+
+
+024736
+第三单元
+
+
+024737
+第三单元
+
+
+024738
+第三单元
+
 
 024739
-$\{x|x\ne \dfrac{\pi}{6}+k\pi, \ k\in \mathbf{Z}\}$
+第三单元
+
 
 024740
-$[-1,\dfrac{5}{4}]$
+第三单元
 
-024742
-充分非必要
 
 024741
-$\dfrac{5\pi}{6}$
+第三单元
+
+
+024742
+第三单元
+
 
 024743
-$0$
+第三单元
+
 
 024744
-$[\dfrac{13\pi}{6},+\infty)$
+第三单元
 
-011448
-(1) $[0,\dfrac{\pi}{3}]$; (2) $\dfrac{24}{25}$
-
-004308
-(1) $AN=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\sin\theta$, $AM=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\sin(\theta+\dfrac{\pi}{3})$, $\theta\in (0,\dfrac{2\pi}{3})$; (2) 使$AM=AN=2\text{km}$, 才能使工厂产生的噪声对居民的影响最小
-
-018453
-(1) 最大值是$6$, 当且仅当$x=\pi+2k\pi$, $k\in \mathbf{Z}$时取到; 最小值是$-2$, 当且仅当$x=2k\pi$, $k\in \mathbf{Z}$时取到;\\
-(2) 最大值是$1$, 当且仅大哥$x=0$时取到; 最小值是$-\dfrac{1}{2}$, 当且仅当$x=-\dfrac{4\pi}{3}$时取到
-
-018454
-最小正周期为$\pi$, 单调增区间是$[k\pi-\dfrac{\pi}{3}k\pi+\dfrac{\pi}{6}]$, $k\in \mathbf{Z}$
-
-018456
-(1) $\{x|\dfrac{\pi}{2}+2k\pi<x<\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi, \ k\in \mathbf{Z}\}$; (2) $\{x|-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi<x<\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi, \ k\in \mathbf{Z}\}$
-
-009604
-$\dfrac{1}{2}$
-
-009605
-(1) 奇函数, 理由略; (2) 奇函数, 理由略; (3) 既不是奇函数, 又不是偶函数, 理由略
-
-009606
-最小正周期是$4\pi$, 单调减区间为$[\dfrac{\pi}{3}+4k\pi,\dfrac{7\pi}{3}+4k\pi]$, $k\in \mathbf{Z}$, 单调增区间为$[-\dfrac{5\pi}{3}+4k\pi,\dfrac{\pi}{3}+4k\pi]$, $k\in \mathbf{Z}$
-
-010289
-(1) \begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.6]
-\draw [->] (-0.5,0) -- (7,0) node [below] {$x$};
-\draw [->] (0,-3.5) -- (0,1.5) node [left] {$y$};
-\draw (0,0) node [below left] {$O$};
-\draw [domain = 0:2*pi, samples = 100] plot (\x,{cos(\x/pi*180)*2-1});
-\draw [dashed] (2*pi,1) -- (0,1) node [left] {$1$};
-\draw [dashed] (2*pi,1) -- (2*pi,0) node [below] {$2\pi$};
-\draw [dashed] (pi,0) node [above] {$\pi$} -- (pi,-3) -- (0,-3) node [left] {$-3$};
-\end{tikzpicture}\\
-(2) \begin{tikzpicture}[>=latex]
-\draw [->] (-7,0) -- (7,0) node [below] {$x$};
-\draw [->] (0,-0.5) -- (0,1.5) node [left] {$y$};
-\draw (0,0) node [below left] {$O$};
-\draw [domain = -pi/2:pi/2, samples = 100] plot (\x,{cos(\x/pi*180)});
-\draw [domain = pi/2:3*pi/2, samples = 100] plot (\x,{-cos(\x/pi*180)});
-\draw [domain = 3*pi/2:7, samples = 100] plot (\x,{cos(\x/pi*180)});
-\draw [domain = -3*pi/2:-pi/2, samples = 100] plot (\x,{-cos(\x/pi*180)});
-\draw [domain = -7:-3*pi/2, samples = 100] plot (\x,{cos(\x/pi*180)});
-\draw (pi/2,0) node [below] {$\frac{\pi}{2}$};
-\draw (0,1) node [above left] {$1$};
-\end{tikzpicture}
-
-023606
-$\dfrac{\pi}{6}$, $\pi$
-
-010291
-(1) 最大值为$3$, 取得最大值时$x$的集合为$\{x|x=k\pi, \ k\in \mathbf{Z}\}$; 最小值为$\dfrac{1}{3}$, 取得最小值时$x$的集合为$\{x|x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, \ k\in \mathbf{Z}\}$;\\
-(2) 最大值为$1$, 取得最大值时$x$的集合为$\{x|x=2k\pi, \ k\in \mathbf{Z}\}$; 最小值为$-\dfrac{5}{4}$, 取最小值时$x$的集合为$\{x|x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\text{ 或 }\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi, \ k\in \mathbf{Z}\}$
-
-023607
-在$[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}]$上严格减, 在$[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}]$上严格增, 值域为$[-1,1]$
-
-018457
-\begin{tikzpicture}[>=latex]
-\draw [->] (-7,0) -- (7,0) node [below] {$x$};
-\draw [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node [left] {$y$};
-\draw (0,0) node [below right] {$O$};
-\draw [domain = -7:7, samples = 200, ultra thick] plot (\x,{2*sin(\x/pi*180)});
-\draw [domain = -7:7, samples = 200, thick] plot (\x,{1*sin(2*\x/pi*180)});
-\draw [domain = -7:7, samples = 200, dashed, ultra thick] plot (\x,{sin(\x/pi*180+90)});
-\draw [domain = -7:7, samples = 200, dashed] plot (\x,{sin(\x/pi*180)});
-\draw [dashed] (-6,-3) -- (-5.5,-3) node [right] {$y=\sin x$};
-\draw [ultra thick] (-3,-3) -- (-2.5,-3) node [right] {$y=2\sin x$};
-\draw [thick] (0,-3) -- (0.5,-3) node [right] {$y=\sin 2x$};
-\draw [ultra thick, dashed] (3,-3) -- (3.5,-3) node [right] {$y=\sin (x+\dfrac{\pi}{2})$};
-\end{tikzpicture}
-
-018458
-大致图像: \begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.5]
-\draw [->] (-5,0) -- (5,0) node [below] {$x$};
-\draw [->] (0,-3.5) -- (0,3.5) node [left] {$y$};
-\draw (0,0) node [below right] {$O$};
-\draw [domain = -5:5, samples = 100] plot (\x,{3*sin(2*\x/pi*180+45)});
-\foreach \i in {-3,-2,-1,1,2,3}
-{\draw (0.1,\i) -- (0,\i) node [left] {$\i$};};
-\foreach \i in {{-pi/8},{pi/8},{3*pi/8},{5*pi/8},{7*pi/8}}
-{\draw (\i,0.2) -- (\i,0);};
-\draw (-pi/8,0) node [above left] {$-\frac{\pi}{8}$};
-\draw (pi/8,0) node [above] {$\frac{\pi}{8}$};
-\draw (3*pi/8,0) node [above right] {$\frac{3\pi}{8}$};
-\draw (5*pi/8,0) node [below] {$\frac{5\pi}{8}$};
-\draw (7*pi/8,0) node [below right] {$\frac{7\pi}{8}$};
-\end{tikzpicture}\\
-振幅为$3$, 频率为$\dfrac{1}{\pi}$, 初始相位为$\dfrac{\pi}{4}$
-
-018459
-周期$T=0.02\text{s}$, 频率$f=50\text{Hz}$, 电流的最大值为$10\text{A}$; $I_0=10$, $\omega = 100\pi$, $\varphi = 0$
-
-009607
-(1) \begin{tikzpicture}[>=latex]
-\draw [->] (-5,0) -- (5,0) node [below] {$x$};
-\draw [->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node [left] {$y$};
-\draw (0,0) node [below left] {$O$};
-\draw [domain = -5:5, samples = 100] plot (\x,{sin(\x/pi*180+30)});
-\draw [dashed] (pi/3,0) node [below] {$\frac{\pi}{3}$}-- (pi/3,1) -- (0,1) node [left] {$1$};
-\draw [dashed] (-2*pi/3,0) node [below] {$-\frac{2\pi}{3}$}-- (-2*pi/3,-1) -- (0,-1) node [right] {$-1$};
-\end{tikzpicture}\\
-(2) \begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.5]
-\draw [->] (-5,0) -- (5,0) node [below] {$x$};
-\draw [->] (0,-4) -- (0,4) node [left] {$y$};
-\draw (0,0) node [below left] {$O$};
-\draw [domain = -5:5, samples = 100] plot (\x,{3*sin(2*\x/pi*180-60)});
-\draw [dashed] (5*pi/12,0) node [below] {$\frac{5\pi}{12}$} --++ (0,3) -- (0,3) node [left] {$3$};
-\draw [dashed] (-pi/12,0) node [above] {$\frac{\pi}{12}$} --++ (0,-3) -- (0,-3) node [right] {$-3$};
-\end{tikzpicture}
-
-009608
-D
-
-009609
-$y=\dfrac{3}{2}\sin (2x+\dfrac{\pi}{6})$
-
-018460
-$\dfrac{4\pi}{3}$
-
-018461
-$\varphi=\dfrac{\pi}{2}$, $\omega = \dfrac{3}{4}$
-
-010298
-振幅为$\sqrt{2}$, 频率为$30\pi$, 初始相位为$-\dfrac{\pi}{12}$
-
-010301
-\begin{tikzpicture}[>=latex]
-\draw [->] (-0.5,0) -- (3.5,0) node [below] {$x$};
-\draw [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node [left] {$y$};
-\draw (0,0) node [below left] {$O$};
-\draw [domain = 0:3.5, samples = 100] plot (\x,{2*sin(\x*180+45)});
-\draw [dashed] (0.25,0) node [below] {$\frac{1}{4}$} --++ (0,2) -- (0,2) node [left] {$2$};
-\draw [dashed] (1.25,0) node [above] {$\frac{5}{4}$} --++ (0,-2) -- (0,-2) node [left] {$-2$};
-\end{tikzpicture}\\
-(1) 开始振动的位置在平衡位置上方$\sqrt{2}\text{cm}$处; (2) 最高点和最低点与平衡位置的距离都是$2$; (3) 经过$2\text{s}$小球往复振动一次; (4) 每秒小球往复振动$0.5$次
-
-010303
-$y=2\cos(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{5\pi}{3})$
-
-018462
-定义域为$\{x|x\in \mathbf{R}, \ x\ne 6k+1, \ k\in \mathbf{Z}\}$, 单调增区间为$(6k-5,6k+1)$, $k\in \mathbf{Z}$
-
-018463
-$\dfrac{\pi}{2}$
-
-018464
-$2\sqrt{2}$
-
-009610
-$\{\alpha|\alpha = \dfrac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in \mathbf{Z}\}$
-
-009611
-(1) $\tan (-\dfrac 27\pi )>\tan (-\dfrac 25\pi )$, 理由略; (2) $\cot 231^\circ>\cot 237^\circ$, 理由略; (3) $\tan (k\pi -\dfrac\pi 3)<\tan (k\pi +\dfrac\pi 3)$, 理由略
-
-018465
-$n=3$, 在$(-\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{k\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{18}+\dfrac{k\pi}{3})$, $k\in \mathbf{Z}$上是严格增函数
-
-010308
-(1) 奇函数, 理由略; (2) 偶函数, 理由略; (3) 奇函数, 理由略; (4) 偶函数, 理由略
 
 024747
-$\pi$
+第三单元
+
 
 024748
-面积$S=2\sqrt{2}\sin\theta\sin(\dfrac{\pi}{4}-\theta)(=\sqrt{2}\sin(2\theta+\dfrac{\pi}{4})-1)$, $\theta\in (0,\dfrac{\pi}{4})$, 面积的最大值为$\sqrt{2}-1$
+第三单元
+
+
+024750
+第三单元
+
+
+032150
+第五单元
+
+
+032151
+第五单元
+
+
+032152
+第七单元
+
+
+032153
+第九单元
+
+
+032154
+第二单元
+第四单元
+
+
+032155
+第三单元
+
+
+032156
+第九单元
+
+
+032157
+第七单元
+
+
+032158
+第二单元
+
+
+032159
+第一单元
+
+
+032160
+第二单元
+
+
+032161
+第九单元
+
+
+032162
+第五单元
+
+
+032163
+第七单元
+
+
+032164
+第八单元
+
+
+032165
+第三单元
+
+
+032166
+第四单元
+
+
+032167
+第二单元
+
+
+032168
+第八单元
+
+
+032169
+第五单元
+第七单元
+
+
+032170
+第七单元
+
+
+032171
+第七单元
+
+
+032172
+第八单元
+
+
+032173
+第二单元
+
+
+032174
+第六单元
+
+
+032175
+第六单元
+
+
+032176
+第三单元
+
+
+032177
+第九单元
+
+
+032178
+第七单元
+
+
+032179
+第二单元
+
+
+032180
+第四单元
+
+
+032181
+第一单元
+
+
+032182
+第八单元
+
+
+032183
+第九单元
+第八单元
+
+
+032184
+第四单元
+
+
+032185
+第五单元
+
+
+032186
+第五单元
+
+
+032187
+第一单元
+
+
+032188
+第九单元
+
+
+032189
+第一单元
+第三单元
+第七单元
+
+
+032190
+第六单元
+
+
+032191
+第三单元
+
+
+032192
+第九单元
+第八单元
+
+
+032193
+第七单元
+
+
+032194
+第二单元
+第四单元
+
+
+041088
+第七单元
+
+
+041089
+第七单元
+
+
+041090
+第七单元
+
+
+041091
+第七单元
+
+
+041092
+第九单元
+
+
+041093
+第九单元
+
+
+041094
+第七单元
+
+
+041095
+第七单元
+
+
+041096
+第七单元
+
 

题库0.3/Problems.json

@@ -690040,7 +690040,9 @@
         "id": "024729",
         "content": "对于函数$y=\\sin x$, 当$x=\\dfrac{7\\pi}{6}$时, $\\sin(x+\\dfrac{2\\pi}{3})=\\sin x$是否成立? 如果成立, 那么$\\dfrac{2\\pi}{3}$是不是$y=\\sin x$的周期? 为什么?",
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         "ans": "不是, 如$x=\\dfrac{\\pi}{3}$时, $\\sin (x+\\dfrac{2\\pi}{3})\\ne \\sin x$",
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@@ -690062,7 +690064,9 @@
         "id": "024730",
         "content": "已知$y=\\sin (\\dfrac{k}{2}x+\\dfrac{\\pi}{3})$的最小正周期为$2$, 则实数 $k$ 的值为\\blank{50}.",
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@@ -690091,7 +690095,9 @@
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         "content": "函数$y=\\sin x+\\sqrt{3}\\cos x$, $x \\in(-\\dfrac{\\pi}{3}, \\dfrac{\\pi}{2})$ 的值域为\\blank{50}.",
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@@ -690122,7 +690128,9 @@
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         "content": "函数$y=\\sin x \\cos x$ 的严格增区间是\\blank{50}.",
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         "id": "024733",
         "content": "函数$y=1-2\\cos^2(x-\\dfrac{\\pi}{4})$是\\blank{50}函数.(填写奇偶性)",
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         "genre": "填空题",
         "ans": "奇",
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@@ -690181,7 +690191,9 @@
         "id": "024734",
         "content": "已知$\\varphi \\in [0,2\\pi]$, 若函数 $y=\\sin (55 x+\\varphi-\\dfrac{\\pi}{3})$ 是偶函数, 则 $\\varphi=$\\blank{50}.",
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         "content": "函数 $y=\\ln (2 \\sin x-\\sqrt{3})$ 的定义域是\\blank{50}.",
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@@ -690246,7 +690261,9 @@
         "id": "024736",
         "content": "已知 $x \\in(0, \\dfrac{5 \\pi}{6})$, 若关于 $x$ 的方程 $a \\sin x-9=0$ 有且仅有一解, 则实数 $a$ 的取值范围是\\blank{50}.",
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@@ -690275,7 +690292,9 @@
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         "content": "已知函数 $y=f(x)$, $x \\in \\mathbf{R}$ 的周期是 $2$, 当 $x \\in[0,2)$ 时, $f(x)=3^x$ ,则当 $x \\in[4,6)$ 时, $f(x)=$\\blank{50}.",
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+        ],
         "genre": "填空题",
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         "content": "用五点法做出函数 $y=3 \\sin (x+\\dfrac{\\pi}{6})+1$ 的大致图像.",
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         "solution": "",
@@ -690341,7 +690362,9 @@
         "id": "024739",
         "content": "$f(x)=\\tan (x+\\dfrac{\\pi}{3})$ 的定义域是\\blank{50}.",
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-        "tags": [],
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+            "第三单元"
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         "genre": "填空题",
         "ans": "$\\{x|x\\ne \\dfrac{\\pi}{6}+k\\pi, \\ k\\in \\mathbf{Z}\\}$",
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         "content": "$f(x)=\\sin ^2 x+\\cos x$ 的值域是\\blank{50}.",
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+            "第三单元"
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         "genre": "填空题",
         "ans": "$[-1,\\dfrac{5}{4}]$",
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@@ -690383,7 +690408,9 @@
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         "content": "函数 $f(x)=\\sin (2 x+\\theta)-\\sqrt{3}\\cos (2 x+\\theta)$ 是偶函数. 则最小正实数 $\\theta=$\\blank{50}.",
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         "genre": "填空题",
         "ans": "$\\dfrac{5\\pi}{6}$",
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@@ -690403,7 +690430,9 @@
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         "content": "已知 $\\omega \\in \\mathbf{R}, $``$\\omega=\\pi$''是``函数 $f(x)=\\sin \\omega x \\cdot \\cos \\omega x$ 的最小正周期是 1''的\\blank{50}\n条件.",
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         "content": "已知函数 $y=f(x)$,$x \\in \\mathbf{R}$, 满足$f(x+\\pi)=f(x)+\\sin x$, 且当$0 \\leq x<\\pi$ 时, $f(x)=0$.\n则 $f(\\dfrac{17 \\pi}{6})=$\\blank{50}.",
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         "content": "已知 $x \\in(\\dfrac{\\pi}{2}, \\theta)$, 若对于任意 $a \\in (18,+\\infty)$. 关于 $x$ 的方程 $a \\sin x-9=0$ 至少有两个不同解, 则实数 $\\theta$ 的取值范围是\\blank{50}.",
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         "content": "函数$y=\\sin^2 x$的最小正周期为\\blank{50}.",
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         "content": "如图, 圆心在$O$处, 半径为$1$, 圆心角为$\\dfrac{\\pi}{2}$的扇形以直线$OP$为对称轴($P$在圆弧上). 设$A,B,A',B'$是扇形边界上的四点, 其中$A,A'$在扇形的两条半径上, $B,B'$在圆弧上, $AB\\parallel OP$, $AA'\\perp OP$, $BB'\\perp OP$. 用$\\theta = \\angle BOP$表示矩形$AA'B'B$的面积, 并求面积的最大值.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) -- (2,0) arc (0:90:2) -- cycle;\n\\draw (0,0) node [below] {$O$} coordinate (O) (45:2) node [right] {$P$} coordinate (P);\n\\draw [dashed] ($(O)!-0.2!(P)$) -- ($(O)!1.2!(P)$);\n\\draw (30:2) node [right] {$B$} coordinate (B) (60:2) node [above] {$B'$} coordinate (B');\n\\draw ({sin(15)/sin(45)*2},0) node [below] {$A$} coordinate (A) (0,{sin(15)/sin(45)*2}) node [left] {$A'$} coordinate (A');\n\\draw (A)--(B)--(B')--(A')--cycle;\n\\draw [dashed] (O)--(B);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}",
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         "ans": "面积$S=2\\sqrt{2}\\sin\\theta\\sin(\\dfrac{\\pi}{4}-\\theta)(=\\sqrt{2}\\sin(2\\theta+\\dfrac{\\pi}{4})-1)$, $\\theta\\in (0,\\dfrac{\\pi}{4})$, 面积的最大值为$\\sqrt{2}-1$",
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         "id": "024750",
         "content": "函数$y=(\\sin x+1)(\\cos x+1)$的值域是\\blank{50}.",
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         "id": "032150",
         "content": "已知向量 $\\overrightarrow{a}=(1,2)$, $\\overrightarrow{b}=(2,-1)$, $\\overrightarrow{c}=(1, \\lambda)$, 若 $\\overrightarrow{c}\\perp(\\overrightarrow{a}+\\overrightarrow{b})$, 则 $\\lambda=$\\blank{50}.",
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+            "第五单元"
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         "id": "032151",
         "content": "已知复平面上一个动点 $Z$ 对应复数 $z$, 若 $|z-4 \\mathrm{i}| \\leq 2$, 其中 $\\mathrm{i}$ 是虚数单位, 则向量 $\\overrightarrow{OZ}$ 扫过的面积为\\blank{50}.",
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+        "tags": [
+            "第五单元"
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@@ -750112,7 +750155,9 @@
         "id": "032152",
         "content": "已知直线 $l_1: a x+y+1=0$ 与直线 $l_2: x+a y-2=0$, 则``$a=1$''是``$l_1 \\parallel  l_2$''的\\bracket{20}.\n\\twoch{充分非必要条件}{必要非充分条件}{充要条件}{既非充分又非必要条件}",
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         "id": "032153",
         "content": "两位跳水运动员甲和乙, 某次比赛中的得分如下表所示, 则正确的选项为\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline & 第一跳 & 第二跳 & 第三跳 & 第四跳 & 第五跳 \\\\\n\\hline 甲 & 85.5 & 96 & 86.4 & 75.9 & 94.4 \\\\\n\\hline 乙 & 79.5 & 80 & 95.7 & 94.05 & 86.4 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n\\onech{甲和乙的中位数相等, 甲的均分小于乙}{甲的均分大于乙, 甲的方差大于乙}{甲的均分大于乙, 甲的方差等于乙}{甲的均分大于乙, 甲的方差小于乙}.",
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+            "第九单元"
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         "id": "032154",
         "content": "已知等差数列 $\\{a_n\\}$, 公差为 $d, f(x)=|x-a_1|+|x-a_2|$, 则下列命题正确的是\\bracket{20}.\n\\onech{函数 $y=f(x) $($x \\in \\mathbf{R}$) 可能是奇函数}{若函数 $y=f(x)$($x \\in \\mathbf{R}$) 是偶函数, 则 $d=0$}{若 $d=0$, 则函数 $y=f(x)$($x \\in \\mathbf{R}$) 是偶函数}{若 $d \\neq 0$, 则函数 $y=f(x)$($x \\in \\mathbf{R}$) 的图像是轴对称图形}",
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         "id": "032155",
         "content": "已知三角形 $ABC, \\overrightarrow{CA}\\cdot \\overrightarrow{CB}=-1$, 三角形的面积 $S=\\dfrac{1}{2}$,\\\\\n(1) 求角 $C$ 的值;\\\\\n(2) 若 $\\sin A \\cos A=\\dfrac{\\sqrt{3}}{4}$, 求 $c$.",
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         "id": "032156",
         "content": "交通拥堵指数 (TPI) 是表征交通拥堵程度的客观指标, 用 TPI 表示, TPI 越大代表拥堵程度越高. 某平台计算 TPI 的公式为: TIP $=\\dfrac{\\text{实际行程时间}}{\\text{畅通行程时间}}$, 并按 TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的 4 个等级:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\n\\hline TPI &{$[1,1.5)$}&{$[1.5,2)$}&{$[2,4)$}& 不低于 $4$ \\\\\n\\hline 拥堵等级 & 畅通 & 缓行 & 拥堵 & 严重拥堵 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n某市 2023 年元旦及前后共 7 天与 2022 年同期的交通高峰期城市道路 TPI 的统计数据如下图:\\\\\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale = 0.85, yscale = 1.5]\n\\foreach \\i in {0,0.5,1,1.5,2,2.5}\n\\draw (0,\\i) -- (14,\\i);\n\\foreach \\i in {0,2,...,14}\n\\draw (\\i,0) -- (\\i,-0.05);\n\\draw (1,0) node [below] {12月29日};\n\\draw (3,0) node [below] {12月30日};\n\\draw (5,0) node [below] {12月31日};\n\\draw (7,0) node [below] {1月1日};\n\\draw (9,0) node [below] {1月2日};\n\\draw (11,0) node [below] {1月3日};\n\\draw (13,0) node [below] {1月4日};\n\\draw [dashed] (4,-0.7) -- (5,-0.7);\n\\filldraw (4.5,-0.7) circle ({0.03/0.85} and 0.02);\n\\draw (6,-0.7) node {2023年};\n\\draw (8,-0.7) -- (9,-0.7);\n\\filldraw (8.5,-0.7) ++ ({-0.03/0.85},-0.02) rectangle++ ({0.06/0.85},0.04);\n\\draw (10,-0.7) node {2022年};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {1/2.055/above,3/2.393/above,5/1.529/above,7/1.302/above,9/1.642/above,11/1.837/below,13/1.755/below}\n{\\filldraw (\\i,\\j) ++ ({-0.03/0.85},-0.02) rectangle++ ({0.06/0.85},0.04);\n\\draw (\\i,\\j) node [\\k] {$\\j$};}\n\\draw (1,2.055) -- (3,2.393) -- (5,1.529) -- (7,1.302) -- (9,1.642) -- (11,1.837) -- (13,1.755);\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {1/1.908/below,3/2.081/below,5/1.331/below,7/1.202/below,9/1.271/below,11/2.256/above,13/2.012/above}\n{\\filldraw (\\i,\\j) circle ({0.03/0.85} and 0.02);\n\\draw (\\i,\\j) node [\\k] {$\\j$};}\n\\draw [dashed] (1,1.908) -- (3,2.081) -- (5,1.331) -- (7,1.202) -- (9,1.271) -- (11,2.256) -- (13,2.012);\n\\draw (-1,3) rectangle (15,-1);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 从 2022 年元旦及前后共 7 天中任取 1 天, 求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为``拥堵''的概率;\\\\\n(2) 从 2023 年元旦及前后共 7 天中任取 3 天, 将这 3 天中交通高峰期城市道路 TPI 比 2022 年同日 TPI 高的天数记为 $X$, 求所有 $X$ 的可能值及其发生的概率.",
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         "content": "已知抛物线 $\\Gamma_1: y^2=4 x$, $\\Gamma_2: y^2=2 x$, 直线 $l$ 交抛物线 $\\Gamma_1$ 于点 $A$、$D$, 交抛物线 $\\Gamma_2$ 于点 $B$、$C$,其中点 $A$、$B$ 位于第一象限.\\\\\n(1) 若点 $A$ 到抛物线 $\\Gamma_1$ 焦点的距离为 2 , 求点 $A$ 的坐标;\\\\\n(2) 若点 $A$ 的坐标为 $(4,4)$, 且线段 $AC$ 的中点在 $x$ 轴上, 求原点 $O$ 到直线 $I$ 的距离;\\\\\n(3) 若 $\\overrightarrow{AB}=2 \\overrightarrow{CD}$, 求 $\\triangle AOD$ 与 $\\triangle BOC$ 的面积之比.",
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         "content": "已知函数 $f(x)=\\dfrac{x}{\\mathrm{e}^x}$, $g(x)=f(\\ln x)$.\\\\\n(1) 写出函数 $y=g(x)$ 的解析式, 并求函数 $y=f(x)$、$y=g(x)$ 的单调区间和极值;\\\\\n(2) 请严格证明曲线 $y=f(x)$、$y=g(x)$ 有唯一交点;\\\\\n(3) 对于常数 $a \\in(0, \\dfrac{1}{\\mathrm{e}})$, 若直线 $y=a$ 和曲线 $y=f(x)$、$y=g(x)$ 共有三个不同交点 $(x_1, a)$、$(x_2, a)$、$(x_3, a)$, 其中 $x_1<x_2<x_3$, 求证: $x_1$、$x_2$、$x_3$ 成等比数列.",
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         "id": "032159",
         "content": "设集合 $A=\\{1,2,3\\}$, $B=\\{x | 1<x<3\\}$, 则 $A \\cap B=$\\blank{50}.",
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         "id": "032160",
         "content": "函数 $y=\\ln (x^2-1)$ 的定义域为\\blank{50}.",
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         "id": "032161",
         "content": "某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示, 则该小组成员年龄的第 75 百分位数是\\blank{50}.\\begin{center}\n\\begin{tabular}{l|lllll}\n2 & 7 & 8 & & & \\\\\n3 & 2 & 3 & 6 & 6 & 8 \\\\\n4 & 0 & 5 & & & \\\\\n5 & 2 & 4 & 8 & &\n\\end{tabular}\n\\end{center}",
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         "id": "032162",
         "content": "设复数 $z_1, z_2$ 在复平面上对应的点分别为 $Z_1(2,1), Z_2(1,-2)$, 则 $z_1 \\cdot z_2=$\\blank{50}.",
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         "id": "032163",
         "content": "已知 $P$ 为抛物线 $y^2=4 x$ 上的点, 且 $P$ 的纵坐标为 3 , 则 $P$ 到该抛物线焦点的距离为\\blank{50}.",
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         "id": "032164",
         "content": "在 $(x-\\dfrac{1}{\\sqrt{x}})^7$ 的二项展开式中, $x$ 的一次项的系数为\\blank{50}.",
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         "id": "032165",
         "content": "已知 $\\cos \\alpha=-\\dfrac{3}{5}, \\alpha$ 为第二象限角, 则 $\\tan 2 \\alpha=$\\blank{50}.",
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         "id": "032166",
         "content": "已知等比数列 $\\{a_n\\}$ 的公比为 $2$, 设其前 $n$ 项和为 $S_n$, 则使得 $\\dfrac{S_k}{a_k}>\\dfrac{4047}{2024}$ 成立的最小正整数 $k=$\\blank{50}.",
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         "content": "已知常数 $a>0$ 且 $a \\neq 1$, 函数 $f(x)=\\dfrac{a^x-1}{2^x+1}$ 为奇函数, 则 $y=f(x)$ 的值域为\\blank{50}.",
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         "content": "端午节吃粽子是我国的传统习俗. 一盘中放有 10 个外观完全相同的粽子, 其中豆沙粽 5个, 肉粽 3 个, 白米粽 2 个. 现从盘子任意取出 3 个, 则取到白米粽的个数的数学期望为\\blank{50}.",
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         "content": "在平面直角坐标系 $x O y$ 中, $A, B$ 为直线 $x+y=1$ 上的两点, $|AB|=\\dfrac{2}{3}$, 且存在 $\\lambda \\in \\mathbf{R}$,使得 $|\\lambda \\overrightarrow{OA}-\\overrightarrow{OB}|=\\dfrac{1}{3}$, 则 $|OA|$ 的取值范围为\\blank{50}.",
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         "content": "已知 $x, y, \\alpha \\in \\mathbf{R}$, 满足 $4 x^2-y^2+75=10 y \\cdot \\sin \\alpha+40 x \\cdot \\cos \\alpha$, 则 $y^2+10 y \\cdot \\sin \\alpha$ 的最小值为\\blank{50}.",
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         "content": "直线 $y=2 x+1$ 的一个法向量可以是\\bracket{20}.\n\\fourch{$(1,2)$}{$(1,-2)$}{$(2,1)$}{$(2,-1)$}",
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         "content": "某同学上学的路上有 3 个相互独立的红绿灯, 他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率都为 $\\dfrac{2}{3}$, 则该同学在上学的路上至少遇到 2 次绿灯的概率为\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\dfrac{4}{9}$}{$\\dfrac{20}{27}$}{$\\dfrac{22}{27}$}{$\\dfrac{8}{9}$}",
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         "content": "已知函数 $y=f(x)$ 满足对任意 $x_1 \\in (-\\infty, 0)$, 总存在 $x_2 \\in (0,+\\infty)$, 使得 $f(x_1)-f(x_2)<-1$,则 $y=f(x)$ 可以是\\bracket{20}.\n\\fourch{$y=-x^2$}{$y=2 \\sin x$}{$y=-\\mathrm{e}^{-x}+2$}{$y=-x^4+\\dfrac{1}{2}x$}",
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         "content": "已知三棱锥 $S-ABC$ 满足 $AB=BC=CA$, $\\angle ASB=\\angle BSC=\\angle CSA$. 对于命题: \\textcircled{1} 存在三棱锥 $S-ABC$, 使得线段 $SA, SB, SC$ 任意 2 条的长度都不相等; \\textcircled{2} 任意三棱锥 $S-ABC$, $\\triangle SAB, \\triangle SBC, \\triangle SCA$ 都是锐角三角形, 下列判断正确的是\\bracket{20}.\n\\twoch{\\textcircled{1}和\\textcircled{2}均为真命题}{\\textcircled{1}和\\textcircled{2}均为假命题}{\\textcircled{1}为真命题, \\textcircled{2}为假命题}{\\textcircled{1}为假命题, \\textcircled{2}为真命题}",
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         "content": "如图, 圆锥的顶点为 $S$, 底面圆心为 $O$, 母线 $SA=2$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 1.5]\n\\draw (0,0) node [left] {$O$} coordinate (O);\n\\draw (1,0) node [right] {$A$} coordinate (A);\n\\draw ({1*cos(-120)},{0.25*sin(-120)}) node [below left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (0,2) node [above] {$S$} coordinate (S);\n\\draw ($(A)!0.5!(B)$) node [below] {$M$} coordinate (M);\n\\draw (A) arc (0:-180:1 and 0.25);\n\\draw [dashed] (A) arc (0:180:1 and 0.25);\n\\draw (S)--(-1,0) (S)--(A) (S)--(B);\n\\draw [dashed] (O)--(A) (O)--(S) (O)--(B) (A)--(B) (S)--(M);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 若圆锥的侧面积为 $2 \\sqrt{2}\\pi$, 求圆锥的体积;\\\\\n(2) 若圆锥的底面半径为 $1, B$ 是底面圆周上的点, 满足 $OA \\perp OB, M$ 为线段 $AB$ 的中点, 求直线 $SM$ 与平面 $SOA$ 所成角的大小.",
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         "content": "设 $\\triangle ABC$ 的三个内角分别为 $A, B, C$.\\\\\n(1) 若 $\\sin ^2A=\\sin ^2B+\\sin ^2C-\\sqrt{3}\\sin B \\sin C$, 求角 $A$ 的大小;\\\\\n(2) 若 $A=\\dfrac{2 \\pi}{3}, D$ 在线段 $BC$ 上, 满足 $AC \\perp AD$. 设 $\\angle ADC=\\alpha$, 用 $\\alpha$ 表示 $\\dfrac{AD}{BD}+\\dfrac{3AD}{CD}$,并求当 $\\alpha$ 变化时, $\\dfrac{AD}{BD}+\\dfrac{3AD}{CD}$ 的最大值.",
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         "content": "电解电容是常见的电子元件之一. 检测组在 $85^{\\circ}\\mathrm{C}$ 的温度条件下对电解电容进行质量检测,按检测结果将其分为次品、正品, 其中正品分合格品、优等品两类.\\\\\n(1) 铝箔是组成电解电容必不可少的材料. 现检测组在 $85^{\\circ}\\mathrm{C}$ 的温度条件下, 对铝箔质量与电解电容质量进行测试, 得到如下统计表. 规定显著性检验水平为 $0.05$, 判断电解电容质量与铝箔质量是否有关;\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|}\n\\hline & 电解电容为次品 & 电解电容为正品 \\\\\n\\hline 铝箔为次品 & 174 & 76 \\\\\n\\hline 铝篚为正品 & 108 & 142 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n(2) 电解电容经检验为正品后才能装箱. 已知两箱电解电容 (每箱各 50 个), 第一箱和第二箱分别有优等品 8 个和 9 个. 现用户从两箱中随机挑选一箱, 并从该箱中先后随机抽取两个元件, 求在第一次取出的是优等品的条件下, 第二次取出的是合格品的概率.\\\\\n附: $P(\\chi^2 \\geq 3.841) \\approx 0.05$, $\\chi^2=\\dfrac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$, 其中 $n=a+b+c+d$.",
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         "content": "设椭圆 $\\Gamma: \\dfrac{x^2}{4}+\\dfrac{y^2}{3}=1$ 的右焦点为 $F$, 右顶点为 $M$. 动点 $P$ 在 $\\Gamma$ 上, 且 $P$ 在 $x$ 轴的上方.\\\\\n(1) 若 $\\cos \\angle PFM=\\dfrac{4}{5}$, 求 $|PF|$ 的值;\\\\\n(2) 设 $N$ 为线段 $PM$ 的中点, 射线 $FN$ 与 $\\Gamma$ 交于点 $Q$, 满足 $2|QN|=|FN|$, 求直线 $PM$ 的斜率;\\\\\n(3) 过点 $F$ 作直线 $l \\perp PF, l$ 与 $\\Gamma$ 相交于 $A, B$ 两点. 问: 是否存在点 $P$, 使得 $\\cos \\angle APB= -\\dfrac{7}{25}$ ? 若存在, 求出所有这样的点 $P$; 若不存在, 说明理由.",
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         "content": "若函数 $y=f(x)$ 满足: 存在公差不为零的无穷等差数列 $\\{a_n\\}$, 使得对任意正整数 $n$, 恒有 $a_{n+1}=f(a_n)$, 则称 $y=f(x)$ 具有性质 $\\mathbf{P}$.\\\\\n(1) 判断函数 $y=x+1$ 是否具有性质 $\\mathbf{P}$, 说明理由;\\\\\n(2) 设常数 $a \\in \\mathbf{R}$, 函数 $y=2 x-|x+a|$ 具有性质 $\\mathbf{P}$, 求 $a$ 的取值范围;\\\\\n(3) 已知函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $[0,+\\infty)$, 满足: \\textcircled{1} 当 $x \\in[0,2)$ 时, $f(x)=-4 x^2+9 x-2$; \\textcircled{2} 对任意 $x \\in[0,+\\infty)$, 恒有 $f(x+2)=f(x)+2$. 问: $y=f(x)$ 是否具有性质 $\\mathbf{P}$ ? 若具有, 求所有可能的 $\\{a_n\\}$ 的公差; 若不具有, 给出证明.",
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         "content": "数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=3^n$, 则 $a_n=$\\blank{50}.",
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         "content": "关于 $x$ 的不等式 $a x^2-2 x+1 \\leq 0$ 在 $(0,2]$ 上有解, 则实数 $a$ 的取值范围是\\blank{50}.",
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         "content": "三个男生三个女生站成一排, 已知其中女生甲不在两端, 则有且只有两个女生相邻的概率是\\bracket{20} . \n\\fourch{$\\dfrac{2}{5}$}{$\\dfrac{3}{10}$}{$\\dfrac{9}{20}$}{$\\dfrac{3}{5}$}",
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         "content": "2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日, 第 19 届亚运会在杭州成功举办, 杭州亚运会的志愿者被称为``小青荷''. 某运动场馆内共有小青荷 36 名, 其中男生 12 名, 女生 24 名, 这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|}\n\\hline & 男生小青荷 & 女生小青荷 \\\\\n\\hline 会说日语 & 8 & 12 \\\\\n\\hline 会说韩语 & $m$ & $n$ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n其中 $m$、$n$ 均为正整数, $6 \\leq m \\leq 8$.\\\\\n(1) 从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人, 求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率;\\\\\n(2) 从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾, 用 $A$ 表示事件``抽到的小青荷是男生'', 用 $B$ 表示事件``抽到的小青荷会说韩语''. 试给出一组 $m$、$n$ 的值, 使得事件 $A$ 与 $B$ 相互独立,并说明理由.",
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         "content": "设数列 $\\{a_n\\}$ 是首项为 1 , 公比为 $-\\dfrac{1}{2}$ 的无穷等比数列, 则数列 $\\{a_n\\}$ 的所有项的和为\\blank{50}.",
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         "content": "已知平面向量 $\\overrightarrow{a}=(2,1), \\overrightarrow{b}$ 为单位向量, 且 $(\\overrightarrow{a}+2 \\overrightarrow{b}) \\perp(\\overrightarrow{a}-\\overrightarrow{b})$, 则向量 $\\overrightarrow{b}$ 在向量 $\\overrightarrow{a}$ 上的投影向量的坐标为\\blank{50}.",
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         "content": "若平面上的三个单位向量 $\\overrightarrow{a}$、$\\overrightarrow{b}$、$\\overrightarrow{c}$ 满足 $|\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}|=\\dfrac{1}{2}$, $|\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{c}|=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, 则 $\\overrightarrow{b}\\cdot \\overrightarrow{c}$ 的所有可能的值组成的集合为\\blank{50}.",
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         "content": "已知 $a$、$b \\in \\mathbf{R}$, $a>b$, 则下列不等式中不一定成立的是\\bracket{20}.\n\\fourch{$a+2>b+2$}{$2 a>2 b$}{$a^2>b^2$}{$2^a>2^b$}",
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         "content": "用最小二乘法求回归方程是为了使\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\displaystyle\\sum_{i=1}^n(y_i-\\hat{y}_i)^2$ 最小}{$\\displaystyle\\sum_{i=1}^n(y_i-\\hat{y}_i)$ 最小}{$\\displaystyle\\sum_{i=1}^n(y_i-\\overline{y})=0$}{$\\displaystyle\\sum_{i=1}^n(y_i-\\hat{y}_i)=0$}",
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         "content": "若直线 $a x+b y=2$ 经过点 $M(\\cos \\theta, \\sin \\theta)$, 其中 $\\theta \\in \\mathbf{R}$, 则\\bracket{20}.\n\\fourch{$a^2+b^2 \\leq 4$}{$a^2+b^2 \\geq 4$}{$\\dfrac{1}{a^2}+\\dfrac{1}{b^2}\\leq 4$}{$\\dfrac{1}{a^2}+\\dfrac{1}{b^2}\\geq 4$}",
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         "content": "如图, 在四棱锥 $P-ABCD$ 中, 底面 $ABCD$ 是边长为 $a$ 的正方形, 侧面 $PAD \\perp$ 底面 $ABCD$,且 $PA=PD=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}a$, 设 $E$、$F$ 分别为 $PC$、$BD$ 的中点.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 1.5]\n\\draw (0,0,1) node [below] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (2,0,1) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (2,0,-1) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,0,-1) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (0,1,0) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw ($(B)!0.5!(D)$) node [below] {$F$} coordinate (F);\n\\draw ($(C)!0.5!(P)$) node [above] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (A)--(B)--(C)--(P)--cycle(P)--(B);\n\\draw [dashed] (A)--(D)--(C)(P)--(D)--(B)(E)--(F);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 证明:直线 $EF \\parallel $ 平面 $PAD$;\\\\\n(2) 求直线 $PB$ 与平面 $ABCD$ 所成的角的正切值.",
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         "content": "在 $\\triangle ABC$ 中, 角 $A$、$B$、$C$ 所对边的边长分别为 $a$、$b$、$c$, 且 $a-2 c \\cos B=c$.\\\\\n(1) 若 $\\cos B=\\dfrac{1}{3}$, $c=3$, 求 $b$ 的值;\\\\\n(2) 若 $\\triangle ABC$ 为锐角三角形, 求 $\\sin C$ 的取值范围.",
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         "content": "某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机, 在投放市场前对 100 架新能源无人飞机进行了单次最大续航里程的测试现对测试数据进行分析, 得到如图所示的频率分布直方图:\\\\\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, xscale = 0.0143, yscale = 333.3333]\n\\draw [->] (130,0)  -- (146.67,0) -- (150.83,0.0006) -- (159.17,-0.0006) -- (163.33,0)-- (480,0) node [below right] {单次最大续航里程(千米)};\n\\draw [->] (130,0) -- (130,0.012) node [left] {$\\dfrac{\\text{频率}}{\\text{组距}}$};\n\\draw (130,0) node [below] {$0$};\n\\foreach \\i/\\j in {180/0.002,230/0.004,280/0.009,330/0.004,380/0.001}\n{\\draw (\\i,0) node [below] {$\\i$} --++ (0,\\j) --++ (50,0) --++ (0,-\\j);};\n\\draw (430,0) node [below] {$430$};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {180/0.002/0.002,330/0.004/0.004,280/0.009/0.009,380/0.001/0.001}\n{\\draw [dashed] (\\i,\\j) -- (130,\\j) node [left] {$\\k$};};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 估计这 100 架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值 $\\overline{x}$ (同一组中的数据用该组区间的中点值代表); \\\\\n(2) 经计算第 (1) 问中样本标准差 $s$ 的近似值为 50 , 根据大量的测试数据, 可以认为这款新能源无人飞机的单次最大续航里程 $X$ 近似地服从正态分布 $N(\\mu, \\sigma^2)$ (用样本平均数 $\\overline{x}$ 和标准差 $s$ 分别作为 $\\mu$ 和 $\\sigma$ 的近似值), 现任取一架新能源无人飞机, 求它的单次最大续航里程 $X \\in[250,400]$ 的概率;\n(参考数据: 若随机变量 $X \\sim N(\\mu, \\sigma^2)$, 则 $P(\\mu-\\sigma \\leq X \\leq \\mu+\\sigma) \\approx 0.6827$, $P(\\mu-2 \\sigma \\leq X \\leq \\mu+2 \\sigma) \\approx 0.9545$, $P(\\mu-3 \\sigma \\leq X \\leq \\mu+3 \\sigma) \\approx 0.9973$)\n(3) 该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越 $A$ 型、卓越 $B$ 型和卓越 $C$ 型, 统计分析可知卓越 $A$ 型、卓越 $B$ 型和卓越 $C$ 型的分布比例为 $3: 2: 1$, 研发中心在投放市场前决定分别按卓越 $A$ 型、卓越 $B$ 型和卓越 $C$ 型的分布比例分层随机共抽取 6 架, 然后再从这 6 架中随机抽取 3 架进行综合性能测试, 记随机变量 $Y$ 是综合性能测试的 3 架中卓越 $A$ 型的架数, 求随机变量 $Y$ 的分布和数学期望.",
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         "content": "椭圆 $C$ 的方程为 $x^2+3 y^2=4$, $A$、$B$ 为椭圆的左右顶点, $F_1$、$F_2$ 为左右焦点, $P$ 为椭圆上的动点.\\\\\n(1) 求椭圆的离心率;\\\\\n(2) 若 $\\triangle PF_1F_2$ 为直角三角形, 求 $\\triangle PF_1F_2$ 的面积;\\\\\n(3) 若 $Q$、$R$ 为椭圆上异于 $P$ 的点, 直线 $PQ$、$PR$ 均与圆 $x^2+y^2=\\dfrac{1}{4}$ 相切, 记直线 $PQ$、$PR$ 的斜率分别为 $k_1$、$k_2$, 是否存在位于第一象限的点 $P$, 使得 $k_1 k_2=1$ ? 若存在, 求出点 $P$ 的坐标, 若不存在, 请说明理由.",
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         "content": "已知 $a \\in \\mathbf{R}$, $f(x)=(a-2) x^3-x^2+5 x+(1-a) \\ln x$.\\\\\n(1) 若 1 为函数 $y=f(x)$ 的驻点, 求实数 $a$ 的值;\\\\\n(2) 若 $a=0$, 试问曲线 $y=f(x)$ 是否存在切线与直线 $x-y-1=0$ 互相垂直? 说明理由;\\\\\n(3) 若 $a=2$, 是否存在等差数列 $x_1, x_2, x_3$($0<x_1<x_2<x_3$), 使得曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_2, f(x_2))$处的切线与过两点 $(x_1, f(x_1))$、$(x_3, f(x_3))$ 的直线互相平行? 若存在, 求出所有满足条件的等差数列; 若不存在, 说明理由.",
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         "content": "过抛物线 $y^2=4 x$ 的焦点作一条直线与抛物线相交于 $A, B$ 两点, 它们的横坐标之和为 5 , 则这样的直线方程是\\blank{50}.",
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         "content": "过点 $P(1,0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $y^2=2 x$ 交于两点 $M, N, O$ 为原点, 若直线 $OM$ 与直线 $ON$ 的斜率之和为 1 , 则直线 $l$ 的方程为\\blank{50}.",
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         "content": "若点 $A$ 的坐标为 $(3,2), F$ 为抛物线 $y^2=2 x$ 的焦点, 点 $P$ 是抛物线上的动点. 当 $|PA|+|PF|$ 取到最小值时,点 $P$ 的坐标为\\blank{50}.",
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         "content": "已知直线 $l: 4 x-3 y+6=0$. 抛物线 $C: y^2=4 x$ 上的一个动点 $P$ 到直线 $l$ 与 $y$ 轴的距离之和的最小值为\\blank{50}, 取到最小值时, 点 $P$ 的坐标为\\blank{50}.",
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         "content": "在一次为期 30 天的博览会上, 主办方统计了每天的参观人数 (单位: 千人), 得到样本的茎叶图 (如右图), 则该样本的第 70 百分位数是\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{c|ccccccccc}\n2&1 &1&3&6&8\\\\\n3&0&2&2&4&7&8&8&9 \\\\\n4&1&1&1&3&3&6&7&7&9 \\\\\n5&0&0&1&2&2&2&3&5 \n\\end{tabular}\n\\end{center}",
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         "content": "空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数, 其对应关系如下表:\\\\\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline$AQI$ 指数值 & $0 \\sim 50$ & $51 \\sim 100$ & $101 \\sim 150$ & $151 \\sim 200$ & $201 \\sim 300$ & $>300$ \\\\\n\\hline 空气质量 & 优 & 良 & 轻度污染 & 中度污染 & 重度污染 & 严重污染 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响, 某科学兴趣小组在工厂附近某处测得 10 月 1 日至 20 日 AQI 的数据并绘成折线图如下:\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, xscale = 0.5, yscale = 0.015]\n\\draw [->] (0,0) -- (21,0) node [below right] {日期};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,350) node [left] {AQI};\n\\foreach \\i in {50,100,...,300}\n{\\draw (20,\\i) -- (0,\\i) node [left] {$\\i$};};\n\\foreach \\i in {1,2,...,20}\n{\\draw (\\i,5) -- (\\i,0) node [below] {$\\i$};};\n\\draw (0,0) node [left] {$0$};\n\\filldraw (1,141) circle (0.06 and 2) coordinate (P); \n\\foreach \\i/\\j in {2/135,3/63,4/29,5/38,6/35,7/61,8/63,9/93,10/133,11/165,12/136,13/209,14/237,15/279,16/125,17/163,18/75,19/27,20/40}\n{\\draw (P) -- (\\i,\\j) coordinate (P);\n\\filldraw (P) circle (0.06 and 2);};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n下列叙述正确的是\\bracket{20}.\n\\onech{这 20 天中 AQI 的中位数略大于 150}{10 月 4 日到 10 月 11 日, 空气质量越来越好}{这 20 天中的空气质量为优的天数占 $25 \\%$}{10 月上旬 AQI 的极差大于中旬 AQI 的极差}",
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         "content": "如图, 直线 $y=\\dfrac{1}{2}x$ 与抛物线 $y=\\dfrac{1}{8}x^2-4$ 交于 $A, B$ 两点, 线段 $AB$ 的垂直平分线与直线 $y=-5$ 交于 $Q$ 点, $O$是原点. 当 $P$ 为抛物线上位于线段 $AB$ 下方(含 $A, B$ )的动点时, 求三角形 $OPQ$ 的面积 $S$ 的最大值.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.2]\n\\draw [->] (-10,0) -- (10,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-10) -- (0,10) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [above left] {$O$};\n\\draw [name path = line, domain = -8:10] plot (\\x,{\\x/2});\n\\draw [name path = para, domain = -9:9] plot (\\x,{pow(\\x,2)/8-4});\n\\draw (-10,-5) -- (10,-5);\n\\draw (0,-5) node [below left] {$-5$};\n\\draw (-4,-2) node [below] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (8,4) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\filldraw (6,{36/8-4}) circle (0.1) node [right] {$P$};\n\\draw (-2,9) coordinate (T) -- (6,-7) (5,-5) node [below left] {$Q$};\n\\draw (2,1) coordinate (V);\n\\draw (V) pic [draw, scale = 0.3] {right angle = B--V--T};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}",
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         "content": "抛物线 $y^2=16 x$ 上有三点 $A(1,4), B(x_B, y_B)$ 和 $C(x_C, y_C)$, 其中 $x_B<x_C$, 且三角形 $ABC$ 的重心是焦点 $F$.\\\\\n(1) 求 $x_B+x_C$ 与 $y_B+y_C$;\\\\\n(2) 求直线 $BC$ 的方程;\\\\\n(3) 求点 $B, C$ 的坐标.",
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         "content": "设 $C_1$ 是以 $F$ 为焦点的抛物线 $y^2=2 p x(p>0), C_2$ 是以直线 $2 x-\\sqrt{3}y=0$ 与 $2 x+\\sqrt{3}y=0$ 为渐近线, 以 $(0, \\sqrt{7})$ 为一个焦点的双曲线.\\\\\n(1) 写出双曲线 $C_2$ 的标准方程;\\\\\n(2) 若 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限内有两个不同的公共点 $A$ 和 $B$, 求 $p$ 的取值范围, 并求 $\\overrightarrow{FA}\\cdot \\overrightarrow{FB}$ 的最大值;\\\\\n(3) 条件同(2), 若三角形 $FAB$ 的面积 $S$ 满足 $S=\\dfrac{2}{3}\\overrightarrow{FA}\\cdot \\overrightarrow{FB}$, 求 $p$ 的值.",
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