diff --git a/题库0.3/Problems.json b/题库0.3/Problems.json index f64a63f9..1587efff 100644 --- a/题库0.3/Problems.json +++ b/题库0.3/Problems.json @@ -501283,7 +501283,9 @@ "id": "019615", "content": "从分别写有 $1,2,3,4,5,6$ 的 $6$ 张卡片中无放回随机抽取 $2$ 张, 则抽到的 $2$ 张卡片上的数字之积是 $4$ 的倍数的概率为\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\dfrac{1}{5}$}{$\\dfrac{1}{3}$}{$\\dfrac{2}{5}$}{$\\dfrac{2}{3}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -501303,7 +501305,9 @@ "id": "019616", "content": "某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘, 各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 $p_1, p_2, p_3$, 且 $p_3>p_2>p_1>0$. 记该棋手连胜两盘的概率为 $p$, 则\\bracket{20}.\n\\twoch{$p$ 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关}{该棋手在第二盘与甲比赛, $p$ 最大}{该棋手在第二盘与乙比赛, $p$ 最大}{该棋手在第二盘与丙比赛, $p$ 最大}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -501383,7 +501387,9 @@ "id": "019620", "content": "从甲、乙等 $5$ 名同学中随机选 $3$ 名参加社区服务工作, 则甲、乙都人选的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501443,7 +501449,9 @@ "id": "019623", "content": "从正方体的 $8$ 个顶点中任选 $4$ 个, 则这 $4$ 个点在同一个平面的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - 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(用数字作答)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504509,7 +504577,9 @@ "id": "019773", "content": "如果一个数列由有限个连续的正整数组成 (数列的项数大于 $2$), 且所有项之和为 $N$, 那么称该数列为 $N$ 型标准数列, 例如, 数列 $2,3,4,5,6$ 为 $20$ 型标准数列, 则 $2668$ 型标准数列的个数为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504769,7 +504839,9 @@ "id": "019786", "content": "2018 年世界人工智能大会已于 2018 年 9 月在上海徐汇西岸举行, 某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发, 会后决定开发一款``猫捉老鼠''的游戏. 如右图: $A$、$B$ 两个信号源相距 $10$ 米, $O$ 是 $AB$ 的中点, 过 $O$ 点的直线 $l$ 与直线 $AB$ 的夹角为 $45^{\\circ}$. 机器猫在直线 $l$ 上运动, 机器鼠的运动轨迹始终满足: 接收到 $A$ 点的信号比接收到 $B$ 点的信号晩 $\\dfrac{8}{v_0}$ 秒 (注: 信号每秒传播 $v_0$ 米). 在时刻 $t_0$ 时,测得机器鼠距离 $O$ 点为 $4$ 米.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below right] {$O$};\n\\filldraw (-1,0) circle (0.03) node [below] {$A$} coordinate (A);\n\\filldraw (1,0) circle (0.03) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (-1.6,-1.6) -- (1.6,1.6) node [right] {$l$};\n\\draw (0.8,0.8) node [fill = white] {\\rotatebox{45}{猫}};\n\\draw ({4/3},0.8) node {鼠};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 以 $O$ 为原点, 直线 $AB$ 为 $x$ 轴建立平面直角坐标系 (如图), 求时刻 $t_0$ 时机器鼠所在位置的坐标;\\\\\n(2) 游戏设定: 机器鼠在距离直线 $l$ 不超过 1.5 米的区域运动时, 有``被抓''的风险. 如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变, 是否有``被抓''风险?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504789,7 +504861,10 @@ "id": "019787", "content": "甲、乙两队进行排球决赛, 现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军, 乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两队在每局赢的概率都是 $0.5$, 则甲队获得冠军的概率为 (结果用数值表示).", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元", + "概率" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504849,7 +504924,9 @@ "id": "019790", "content": "如图, 某校有一块形如直角三角形 $ABC$ 的空地, 其中 $\\angle B$ 为直角, $AB$ 长 $40$ 米, $BC$ 长 $50$ 米, 现欲在此空地上建造一间健身房, 其占地形状为矩形, 且 $B$ 为矩形的一个顶点, 则该健身房的最大占地面积为\\blank{50}平方米.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) node [left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (2.5,0) node [below] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,2) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw ($(A)!0.4!(C)$) coordinate (P) ($(B)!0.4!(C)$) coordinate (Q) ($(A)!0.4!(B)$) coordinate (R);\n\\draw (Q)--(P)--(R)(A)--(B)--(C)--cycle; \n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504909,7 +504986,9 @@ "id": "019793", "content": "青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据, 五分记录法的数据 $L$ 和小数记录表的数据 $V$ 的满足 $L=5+ \\lg V$. 已知某同学视力的五分记录法的数据为 $4.9$ , 则其视力的小数记录法的数据为\\bracket{20}.\n\\fourch{$1.5$}{$1.2$}{$0.8$}{$0.6$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -504929,7 +505008,9 @@ "id": "019794", "content": "在天文学中, 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与亮度满足 $m_2- m_1=\\dfrac{5}{2}\\lg \\dfrac{E_1}{E_2}$, 其中星等为 $m_k$ 的星的亮度为 $E_k$($k=1,2$). 已知太阳的星等为 $-26.7$ , 天狼星的星等为 $-1.45$ , 则太阳与天狼星的亮度的比值为\\bracket{20}.\n\\fourch{$10^{10.1}$}{$10.1$}{$\\lg 10.1$}{$10^{-10.1}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -504969,7 +505050,9 @@ "id": "019796", "content": "某群体的人均通勤时间, 是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时, 某地在上班族 $S$ 中的成员仅以自驾或公交方式通勤, 分析显示: 当 $S$ 中 $x \\%$($0=latex]\n\\draw (1.5,0) arc (0:180:1.5 and 3) -- (1.5,0);\n\\draw (1.5,0) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (-1.5,0) node [below left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (50:1.5 and 3) node [above right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (130:1.5 and 3) node [above left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (B)--(C)--(D)--(A);\n\\draw (1.5,0) --++ (0.6,0) (0,3) --++ (2.1,0);\n\\draw [<->] (1.8,0) -- (1.8,3) node [midway, fill = white] {$2r$};\n\\draw (1.5,0) --++ (0,-0.6) (-1.5,0) --++ (0,-0.6);\n\\draw [<->] (-1.5,-0.3) -- (1.5,-0.3) node [midway, fill = white] {$2r$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求面积 $S$ 以 $x$ 为自变量的函数式,并写出其定义域;\\\\\n(2) 求面积 $S$ 的最大值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元", + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -601033,7 +601119,9 @@ "id": "031408", "content": "若 $\\log _2(x+1)=3$, 则 $x=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601093,7 +601181,10 @@ "id": "031411", "content": "在二项式 $(x+\\dfrac{3}{x})^6$ 的展开式中,常数项的值是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元", + "二项式定理" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601133,7 +601224,9 @@ "id": "031413", "content": "已知向量 $\\overrightarrow{a}=(2,0)$, $\\overrightarrow{b}=(1,2)$, 则向量 $\\overrightarrow{b}$ 在向量 $\\overrightarrow{a}$ 方向上的投影为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601153,7 +601246,9 @@ "id": "031414", "content": "若一个圆锥的侧面展开图是面积为 $2 \\pi$ 的半圆面,则该圆锥的体积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601353,7 +601448,9 @@ "id": "031424", "content": "已知集合 $A=\\{y | y=\\sin x,\\ x \\in \\mathbf{R}\\}$, 集合 $B=\\{y | y=\\sqrt{x},\\ x \\in \\mathbf{R}\\}$, 则 $A \\cap B=$\\blank{50}.", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601873,7 +601978,9 @@ "id": "031450", "content": "已知 $(\\sqrt{x}+\\dfrac{3}{\\sqrt[3]{x}})^n$ 展开式中, 各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 $64$, 则 $n=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602093,7 +602200,9 @@ "id": "031461", "content": "已知 $\\tan \\dfrac{\\alpha}{2}=3$, 则 $\\cos \\alpha=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602173,7 +602282,9 @@ "id": "031465", "content": "一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 $\\pi$, 则球的表面积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602193,7 +602304,9 @@ "id": "031466", "content": "已知向量 $\\overrightarrow{OA}=(k, 12)$, $\\overrightarrow{OB}=(4,5)$, $\\overrightarrow{OC}=(-k, 10)$, 且 $A, B, C$ 三点共线, 则 $k=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602233,7 +602346,9 @@ "id": "031468", "content": "一支田径队有男女运动员 $98$ 人, 其中男运动员有 $56$ 人. 按男女比例用分层抽样的方法, 从全体运动员中抽出一个容量为 $28$ 的样本, 那么应抽取女运动员人数是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602273,7 +602388,9 @@ "id": "031470", "content": "已知集合 $A=\\{x | x=2 n-1,\\ n \\in \\mathbf{N}, \\ n \\geq 1\\}$, $B=\\{x | x=2^n, n \\in \\mathbf{N},\\ n \\geq 1\\}$, 将 $A \\cup B$ 中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列 $\\{a_n\\}$, 设数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 则使得 $S_n>1000$ 成立的最小的 $n$ 的值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602293,7 +602410,9 @@ "id": "031471", "content": "已知平面向量 $\\overrightarrow{a}, \\overrightarrow{b}, \\overrightarrow{c}$ 满足 $|\\overrightarrow{a}|=1$, $|\\overrightarrow{b}|=2$, $\\overrightarrow{a}^2=\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}$, $2 \\overrightarrow{c}^2=\\overrightarrow{b}\\cdot \\overrightarrow{c}$, 则 $|\\overrightarrow{c}-\\overrightarrow{a}|^2+|\\overrightarrow{c}-\\overrightarrow{b}|^2$ 的最小值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602493,7 +602612,9 @@ "id": "031481", "content": "已知球的体积为 $36 \\pi$, 则该球的表面积等于\\blank{50}.", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -609633,7 +609920,9 @@ "id": "031838", "content": "已知某校的午餐由``主食''与``配菜''两部分组成, 主食和配菜均有若干种不同的选择. 某个学期的统计结果显示, 学生购买主食 $A$ 的概率为 $25 \\%$, 而在购买主食 $A$ 的学生中, 又有 $70 \\%$ 的学生会购买配菜 $B$ 作为搭配,则学生同时购买主食 $A$ 与配菜 $B$ 的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -609733,7 +610022,9 @@ "id": "031843", "content": "如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图, 已知储油罐长度为 $d$, 圆柱底面半径为 $r$ ($d, r$ 为常量), 油面高度为 $h$, 油面宽度为 $w$, 储油量为 $v(h, w, v$ 为变量), 则下列说法: \\textcircled{1} $w$ 是 $v$ 的函数; \\textcircled{2} $v$ 是 $w$ 的函数; \\textcircled{3} $h$ 是 $w$ 的函数; \\textcircled{4} $w$ 是 $h$ 的函数. 其中正确说法的序号为\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw ({-sqrt(0.91)},-0.3) coordinate (A);\n\\draw ({sqrt(0.91)},-0.3) coordinate (B);\n\\draw (B)++(0,0,-5) coordinate (C);\n\\draw (A)++(0,0,-5) coordinate (D);\n\\draw (A)--(B)--(C);\n\\draw [dashed] (C)--(D)--(A);\n\\draw (0,-0.3) -- (0,-1) node [midway, right] {$h$};\n\\fill [gray!30] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;\n\\draw [domain = 0:360] plot ({cos(\\x)},{sin(\\x)},0);\n\\draw [domain = -45:135] plot ({cos(\\x)},{sin(\\x)},-5);\n\\draw [domain = 135:315, dashed] plot ({cos(\\x)},{sin(\\x)},-5);\n\\draw (-45:1) --++ (0,0,-5) (135:1) --++ (0,0,-5);\n\\draw (-45:1) ++ (0,-0.1) --++ (0,-0.8) (-45:1) ++ (0,0,-5) ++ (0,-0.1) --++ (0,-0.8);\n\\draw [<->] (-45:1) ++ (0,-0.5) --++ (0,0,-5) node [midway, fill = white] {$d$};\n\\draw ($(C)!0.5!(D)$) node [above] {$w$};\n\\draw (0,0) --++ (135:1) node [midway, below left] {$r$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{$1$个}{$2$个}{$3$个}{$4$个}", "objs": [], - 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