修改23517答案

题库0.3/Problems.json

@@ -641772,13 +641772,14 @@
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         "genre": "解答题",
         "ans": "(1) 证明略; (2) $[\\dfrac{7}{4},+\\infty)$; (3) 存在, $t$的范围为$[7,+\\infty)$",
-        "solution": "",
+        "solution": "(3) 的解答: 若正实数$C$满足条件\\textcircled{1}, 则$f(0)\\le f(C)$, 即$f(C)\\ge 0$, 解得$C\\ge 4$. 另一方面, 当$C\\ge 4$时, $f(x_0+C)-f(x_0)=(x_0+C)^2-4(x_0+C)-x_0^2+4x_0=2Cx_0+C^2-4C\\ge 2Cx_0\\ge 0$, 因此\\textcircled{1}总成立. 综上所述, \\textcircled{1} 等价于$C\\ge 4$.\\\\\n当$t\\ge 4$时(就不用再管\\textcircled{1}了):\\\\\n任取$x_0\\in [0,+\\infty)$, 存在$x\\in (0,+\\infty)$, $f(x_0)\\le g(x)\\le g(x+t)\\le f(x_0+t)$等价于\\\\\n任取$x_0\\in [0,+\\infty)$, 存在$x\\in (0,+\\infty)$, $\\begin{cases}\nf(x_0)\\le g(x), \\\\\ng(x+t)\\le f(x_0+t),\\\\\nx+\\dfrac{2t^2}{x}\\le x+t+\\dfrac{2t^2}{x+t},\n\\end{cases}$ 又等价于\\\\\n任取$x_0\\in [0,+\\infty)$, 存在$x\\in (0,+\\infty)$, $\\begin{cases}\nf(x_0)\\le g(x), \\\\\ng(x+t)\\le f(x_0+t),\\\\\nx\\ge t,\n\\end{cases}$ 又等价于\\\\\n任取$x_0\\in [0,+\\infty)$, 存在$x\\in [t,+\\infty)$, $\\begin{cases}\nf(x_0)\\le g(x), \\\\\ng(x+t)\\le f(x_0+t).\n\\end{cases}$\n(该方程组记为\\textcircled{$\\ast$})\\\\\n而$g(x+t)=x+t+\\dfrac{2t^2}{x+t}$在$x\\ge t$时是严格增函数, 最小值为$3t$, 取$x_0=0$, $t$必须满足的一个必要条件是$g(x+t)\\le f(t)$, 从而$3t\\le t^2-4t$, 进而$t\\ge 7$. 因此$t\\ge 7$是一个必要条件. 下证它也是充分的.\\\\\n对$f(x_0)$的大小进行讨论:\\\\\nCase 1: 当$f(x_0)\\le 3t$时, 可取$x=t$, \\textcircled{$\\ast$}中的$f(x_0)\\le g(x)$已成立(因$g(t)=3t$), 而此时$g(x+t)=g(2t)=3t$, $f(x_0+t)=(x_0+t)^2-4(x_0+t)=(x_0+t-4)(x_0+t)\\ge (t-4)t\\ge 3t$, 故无论$x_0$取$\\{u|f(u)\\le 3t\\}$中何值时, 取$x=t$便可使\\textcircled{$\\ast$}成立.\\\\\nCase 2: 当$f(x_0)\\ge 3t$时, 可取$x=x_1$, 其中$x_1$是满足$g(x_1)=f(x_0)$, 且$x_1\\ge t$的某一个实数(这总可以做到, 因为$y=g(x)$, $x\\ge t$的值域是$[2\\sqrt{2}t,+\\infty)$, 它包含了$f(x_0)$). 此时$f(x_0)\\le g(x)$自然成立(其实是相等), 而$g(x+t)-g(x)=\\dfrac{2t^2}{x+t}+(x+t)-\\dfrac{2t^2}{x}-x=t-\\dfrac{2t^3}{x(x+t)}<t$, $f(x_0+t)-f(x_0)=(x_0+t+x_0-4)t\\ge (t-4)t\\ge 3t>t$, 从而$f(x_0+t)\\ge g(x+t)$也成立, 因此无论$x_0$取$\\{u|f(u)\\ge 3t\\}$中何值, 取$x=x_1$便可以使\\textcircled{$\\ast$}成立.\\\\\n综上所述, $t$存在, $t$的取值范围为$[7,+\\infty)$.",
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         "origin": "26届寒假作业补充题目",
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