diff --git a/题库0.3/Problems.json b/题库0.3/Problems.json index 9f570e80..64f5149c 100644 --- a/题库0.3/Problems.json +++ b/题库0.3/Problems.json @@ -501327,7 +501327,9 @@ "id": "019617", "content": "某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识. 为了解讲座效果, 随机抽取 $10$ 位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷, 这 $10$ 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图: 则\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, xscale = 0.7, yscale = 0.08]\n\\draw [->] (0,55) -- (11,55);\n\\draw [->] (0,55) -- (0,56) -- (0.2,57) -- (-0.2,58) -- (0,59) -- (0,105);\n\\draw (0,55) node [below left] {$O$};\n\\foreach \\i in {1,2,...,10}\n{\\draw (\\i,55.5) -- (\\i,55) node [below] {$\\i$};};\n\\foreach \\i in {60,65,...,100}\n{\\draw [dotted] (10.5,\\i) -- (0,\\i) node [left] {$\\i\\%$};};\n\\draw (5.5,45) node {居民编号};\n\\draw (-2,80) node [rotate = 90] {正确率};\n\\filldraw (12,70) circle (0.05 and {7/16}) ++ (1,0) node {讲座后};\n\\filldraw (12,80) node {\\tiny$\\times$} node {\\tiny$+$} ++ (1,0) node {讲座前};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {1/65/90,2/60/85,3/70/80,4/60/90,5/65/85,6/75/85,7/90/95,8/85/100,9/80/85,10/95/100}\n{\\filldraw (\\i,\\j) node {\\tiny$\\times$} node {\\tiny$+$} (\\i,\\k) circle (0.05 and {7/16});};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\onech{讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 $70 \\%$}{讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 $85 \\%$}{讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差}{讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501347,7 +501349,10 @@ "id": "019618", "content": "某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据 (单位: $\\mathrm{m}^3$ ) 和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据, 得到频数分布表如下:\n\\begin{center}\n未使用节水龙头 $\\mathbf{50}$ 天的日用水量频数分布表\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\\hline 日用水量 &{$[0,0.1)$}&{$[0.1,0.2)$}&{$[0.2,0.3)$}&{$[0.3,0.4)$}&{$[0.4,0.5)$}&{$[0.5,0.6)$}&{$[0.6,0.7)$}\\\\\n\\hline 频数 & 1 & 3 & 2 & 4 & 9 & 26 & 5 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n\\begin{center}\n使用了节水龙头 $\\mathbf{50}$ 天的日用水量频数分布表\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\\hline 日用水量 &{$[0,0.1)$}&{$[0.1,0.2)$}&{$[0.2,0.3)$}&{$[0.3,0.4)$}&{$[0.4,0.5)$}&{$[0.5,0.6)$}\\\\\n\\hline 频数 & 1 & 5 & 13 & 10 & 16 & 5 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n(1) 作出使用了节水龙头 $50$ 天的日用水量数据的频率分布直方图:\\\\\n(2) 估计该家庭使用节水龙头后, 日用水量小于 $0.35 \\mathrm{m}^3$ 的概率;\\\\\n(3) 估计该家庭使用节水龙头后, 一年能节省多少水?(一年按 $365$ 天计算, 同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元", + "第九单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -501367,7 +501372,10 @@ "id": "019619", "content": "已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 $24,16,16$. 现采用分层抽样的方法从中抽取 $7$ 人,进行睡眠时间的调查.\\\\\n(1) 应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?\\\\\n(2) 若抽出的 $7$ 人中有 $4$ 人睡眠不足, $3$ 人睡眠充足, 现从这 $7$ 人中随机抽取 $3$ 人做进一步的身体检查. 设 $A$ 为事件``抽取的 3 人中, 既有睡眠充足的员工, 也有睡眠不足的员工'', 求事件 $A$ 发生的概率.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元", + "第九单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -501409,7 +501417,9 @@ "id": "019621", "content": "将 $4$ 个 $1$ 和 $2$ 个 $0$ 随机排成一行, 则 $2$ 个 $0$ 不相邻的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501429,7 +501439,9 @@ "id": "019622", "content": "有 $5$ 支彩笔 (除颜色外无差别), 颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫. 从这 $5$ 支彩笔中任取 $2$ 支不同颜色的彩笔, 则取出的 $2$ 支彩笔中含有红色彩笔的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501471,7 +501483,9 @@ "id": "019624", "content": "某公司生产 $A, B, C$ 三种不同型号的轿车, 产量之比依次为 $2: 3: 4$, 为检验该公司的产品质量, 用分层抽样的方法抽取一个容量为 $n$ 的样本, 若样本中 $A$ 种型号的轿车比 $B$ 种型号的轿车少 $8$ 辆, 则 $n=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501491,7 +501505,9 @@ "id": "019625", "content": "已知样本数据 $x_1, x_2, \\cdots, x_n$ ($n$ 为正整数) 的平均数与方差分别是 $a$ 和 $b$, 若 $y_i=-2 x_i+ 3$($i=1,2, \\cdots, n$), 且样本数据 $y_1, y_2, \\cdots, y_n$ 的平均数与方差分别是 $b$ 和 $a$, 则 $a-b=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501533,7 +501549,9 @@ "id": "019627", "content": "在一组样本数据中, $1,2,3,4$ 出现的频率分别为 $p_1, p_2, p_3, p_4$, 且 $\\displaystyle\\sum_{i=1}^4 p_i=1$, 则下面四种情形中, 对应样本的标准差最大的一组是\\bracket{20}.\n\\twoch{$p_1=p_4=0.1$, $p_2=p_3=0.4$}{$p_1=p_4=0.4$, $p_2=p_3=0.1$}{$p_1=p_4=0.2$, $p_2=p_3=0.3$}{$p_1=p_4=0.3$, $p_2=p_3=0.2$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -501576,7 +501594,9 @@ "id": "019629", "content": "某调查小组进行了一次问卷调查, 并从中随机抽取了 $12$ 份问卷, 得到测试成绩 (百分制) 的茎叶图如图.\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{c|cccc} \n& \\multicolumn{4}{c}{成绩} \\\\\n\\hline 5 & 2 & & & \\\\\n6 & 3 & 7 & 8 & \\\\\n7 & 2 & 6 & 6 & 6 \\\\\n8 & 2 & 8 & & \\\\\n9 & 3 & 4 & & \n\\end{tabular}\n\\end{center}\n(1) 写出该样本的第 $50$ 百分位数, 若该校共有 $3000$ 名学生, 试估计该校测试成绩在 $70$ 分以上的人数;\\\\\n(2) 从测试成绩为 $[70,90]$ 的学生中随机抽取 $2$ 人,求两位学生的测试成绩均落在 $[70,80]$ 的概率.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -501596,7 +501616,10 @@ "id": "019630", "content": "某校在一次期末数学测试中, 为统计学生的考试情况, 从学校的 $2000$ 名学生中随机抽取 $50$ 名学生的考试成绩, 被测学生成绩全部介于 $65$ 分到 $145$ 分之间 (满分 $150$ 分), 将统计结果按如下方式分成八组: 第一组 $[65,75)$, 第二组 $[75,85)$, $\\cdots$, 第八组 $[135,145]$, 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, xscale = 0.06, yscale = 100]\n\\draw [->] (55,0) -- (155,0) node [below] {分数};\n\\draw [->] (55,0) -- (55,0.035) node [left] {$\\dfrac{\\text{频率}}{\\text{组距}}$};\n\\draw (55,0) node [below] {$0$};\n\\foreach \\i/\\j in {65/0.004,75/0.012,85/0.016,95/0.03,105/0.02,115/0.006,125/0,135/0.004}\n{\\draw (\\i,0) node [below] {$\\i$} --++ (0,\\j) --++ (10,0) --++ (0,-\\j);};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {75/0.012,85/0.016,95/0.03,105/0.02,115/0.006,125/0,135/0.004}\n{\\draw [dashed] (\\i,\\j) -- (55,\\j) node [left] {\\small $\\k$};};\n\\draw (145,0) node [below] {$145$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求第七组的频率, 并完成频率分布直方图;\\\\\n(2) 用样本数据估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分 (同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值);\\\\\n(3) 若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取 $2$ 名, 求他们的分差的绝对值小于 $10$ 分的概率.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元", + "第九单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -502386,7 +502409,9 @@ "id": "019666", "content": "当 $x \\in(1,2)$ 时, 不等式 $(x-1)^2<\\log _a x$ 恒成立, 则底数 $a$ 的取值范围为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -502473,7 +502498,9 @@ "id": "019670", "content": "已知不等式 $|a-3 x|>x-1$ 对任意 $x \\in[0,2]$ 恒成立, 则实数 $a$ 的取值范围为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -502559,7 +502586,9 @@ "id": "019674", "content": "若方程 $x+k=\\sqrt{1-x^2}$ 有且只有一个解,则 $k$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -502601,7 +502630,9 @@ "id": "019676", "content": "已知方程 $2^{-x}-|\\log _2 x|=0$ 的两根分别为 $x_1, x_2$, 则\\bracket{20}.\n\\fourch{$12$}{$x_1 x_2=1$}{$00$) 及曲线 $C_2: y=\\dfrac{1}{3 x}$($x>0$), $C_1$ 上的点 $P_1$ 的横坐标为 $a_1$($0=latex, scale = 2]\n\\draw [->] (-0.2,0) -- (1.5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-0.2) -- (0,1.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = 0:1.5, samples = 100] plot (\\x,{2*\\x/(1+\\x)});\n\\draw [domain = {1/4.5}:1.5, samples = 100] plot (\\x,{1/\\x/3});\n\\draw (0.2,{1/3}) node [above left] {$P_1$} coordinate (P_1);\n\\draw (1,{1/3}) node [above right] {$Q_1$} coordinate (Q_1);\n\\draw (1,1) node [below right] {$P_2$} coordinate (P_2);\n\\draw ({1/3},1) node [above right] {$Q_2$} coordinate (Q_2);\n\\draw ({1/3},{1/2}) node [above left] {$P_3$} coordinate (P_3);\n\\draw ({2/3},{1/2}) node [above right] {$Q_3$} coordinate (Q_3);\n\\draw ({2/3},{4/5}) node [right] {$P_4$} coordinate (P_4);\n\\draw ({5/12},{4/5}) coordinate (Q_4);\n\\draw ({5/12},{10/17}) coordinate (P_5);\n\\draw ({17/30},{10/17}) coordinate (Q_5);\n\\draw (P_1)--(Q_1)--(P_2)--(Q_2)--(P_3)--(Q_3)--(P_4)--(Q_4)--(P_5)--(Q_5);\n\\draw [dashed] (P_1) --++ (0,{-1/3}) node [below] {$a_1$};\n\\draw [dashed] (Q_1) --++ (0,{-1/3}) node [below] {$a_2$};\n\\draw [dashed] (P_3) --++ (0,{-1/2}) node [below] {$a_3$};\n\\draw [dashed] (Q_3) --++ (0,{-1/2}) node [below] {$a_4$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求曲线 $C_1$ 和曲线 $C_2$ 的交点坐标;\\\\\n(2) 试求 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 之间的关系;\\\\\n(3) 证明: $a_{2 n-1}<\\dfrac{1}{2}0, b_1, b_2$, $b_3 \\in \\mathbf{R}$. 若函数 $y=f(x)$ 的图像如图所示, 则数组 $(b_1, b_2, b_3)$ 的一组值可以是\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.3]\n\\draw [->] (-5,0) -- (5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (-5,1) -- (-1,1) -- (0.5,4) -- (3,-1) -- (5,-1);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{$(3,-1,1)$}{$(1,-2,-1)$}{$(-1,2,2)$}{$(1,-3,1)$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -503208,7 +503270,9 @@ "id": "019705", "content": "设 $n$ 阶方阵\n$A_n=\\begin{pmatrix}1 & 3 & 5 & \\cdots & 2 n-1 \\\\ 2 n+1 & 2 n+3 & 2 n+5 & \\cdots & 4 n-1 \\\\ 4 n+1 & 4 n+3 & 4 n+5 & \\cdots & 6 n-1 \\\\ \\cdots & \\cdots & \\cdots & \\cdots & \\cdots \\\\ 2 n(n-1)+1 & 2 n(n-1)+3 & 2 n(n-1)+5 & \\cdots & 2 n^2-1\\end{pmatrix}$, 任取 $A_n$ 中的一个元素, 记为 $x_1$; 划去 $x_1$ 所在的行和列, 将剩下的元素按原来的位置关系组成 $n-1$ 阶方阵 $A_{n-1}$, 任取 $A_{n-1}$ 中的一个元素, 记为 $x_2$; 划去 $x_2$ 所在的行和列, $\\cdots \\cdots$; 将最后剩下的一个元素记为 $x_n$. 记 $S_n=x_1+x_2+\\cdots+x_n$, 则 $S_n=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -503272,7 +503336,9 @@ "id": "019708", "content": "若数列 $\\{c_n\\}$ 满足``对任意正整数 $i, j$, $i \\neq j$, 都存在正整数 $k$, 使得 $c_k=c_i c_j$'', 则称数列 $\\{c_n\\}$ 具有``性质 $P$''. 已知数列 $\\{a_n\\}$ 为无穷数列.\\\\\n(1) 若 $\\{a_n\\}$ 为各项均等于 $a$($a \\neq 0$) 的常数数列, 判断数列 $\\{a_n\\}$ 是否具有``性质 $P$'', 并说明理由;\\\\\n(2) 若数列 $\\{a_n\\}$ 是等比数列, 且公比 $q=2$, $a_1=2^m$($m \\in \\mathbf{Z}$), 证明: $m \\geq-1$ 是数列 $\\{a_n\\}$ 具有``性质 $P$''的充要条件;\\\\\n(3) 是否存在公差小于零, 且具有``性质 $P$''的等差数列 $\\{a_n\\}$, 若存在试写出一个满足条件的数列 $\\{a_n\\}$ 的通项公式, 如果不存在, 请说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -503358,7 +503424,9 @@ "id": "019712", "content": "若圆 $C$ 的半径为 3 , 单位向量 $\\overrightarrow{e}$ 所在的直线与圆相切于定点 $A$, 点 $B$ 是圆上的动点, 则 $\\overrightarrow{e}\\cdot \\overrightarrow{AB}$ 的最大值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -503488,7 +503556,9 @@ "id": "019718", "content": "已知样本数据 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 的每个数据都是自然数, 该样本的平均数为$4$, 方差为$5$, 且样本数据两两互不相同, 求样本数据中的最大值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -503508,7 +503578,9 @@ "id": "019719", "content": "设 $m \\in \\mathbf{R}$, 在平面直角坐标系中, 已知向量 $\\overrightarrow{a}=(m x, y+1)$, 向量 $\\overrightarrow{b}=(x, y-1)$, $\\overrightarrow{a}\\perp \\overrightarrow{b}$, 动点 $M(x, y)$ 的轨迹为 $E$.\\\\\n(1) 求轨迹 $E$ 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;\\\\\n(2) 已知 $m=\\dfrac{1}{4}$, 证明: 存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与轨迹 $E$ 恒有两个交点 $A, B$, 且 $OA \\perp OB$ ($O$ 为坐标原点), 并求出该圆的方程.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -503550,7 +503622,9 @@ "id": "019721", "content": "已知数列 $\\{a_n\\}$, 记 $A(n)=a_1+a_2+a_3+\\cdots+a_n$, $B(n)=a_2+a_3+a_4+\\cdots+ a_{n+1}$, $C(n)=a_3+a_4+a_5+\\cdots+a_{n+2}$($n=1,2,3, \\cdots$), 并且对于任意正整数 $n$, 恒有 $a_n>0$ 成立.\\\\\n(1) 若 $a_1=1$, $a_2=5$, 且对任意正整数 $n$, 三个数 $A(n), B(n), C(n)$ 组成等差数列, 求数列 $\\{a_n\\}$ 的通项公式;\\\\\n(2) 证明: 数列 $\\{a_n\\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列的充分必要条件是: 对任意正整数 $n$, 三个数 $A(n), B(n), C(n)$ 组成公比为 $q$ 的等比数列.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -503746,7 +503820,9 @@ "id": "019730", "content": "设 $\\{a_n\\}$ 是公比为 $q$($q \\neq 1$) 的等比数列, 若 $\\{a_n\\}$ 中任意两项之积仍是该数列中的项, 那么称 $\\{a_n\\}$ 是封闭数列,试写出一个满足封闭数列定义的数列的通项公式 $a_n=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -503766,7 +503842,10 @@ "id": "019731", "content": "已知偶函数 $f(x)$ 的定义域为 $\\mathbf{R}$, 有下列四个函数: \\textcircled{1} $y=\\sin [f(x)]$; \\textcircled{2} $y=x \\cdot f(\\sin x)$; \\textcircled{3} $y= f(x) \\cdot f(\\sin x)$; \\textcircled{4} $y=[f(\\sin x)]^2$, 则其中为奇函数的个数是\\blank{50}.", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -503890,7 +503975,9 @@ "id": "019737", "content": "给定常数 $c>0$, 定义函数 $f(x)=2|x+c+4|-|x+c|$, 数列 $a_1, a_2, a_3, \\cdots$ 满足 $a_{n+1}=f(a_n) n$ 是正整数,求证: 对任意正整数数 $n, a_{n+1}-a_n \\geq c$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -503932,7 +504019,9 @@ "id": "019739", "content": "设 $a \\in \\mathbf{R}$, 函数 $f(x)=x \\cdot|x-a|+2 x$.\\\\\n(1) 若 $a=2$, 求函数 $f(x)$ 在区间 $[0,3]$ 上的最大值;\\\\\n(2) 若 $a>2$, 写出函数 $f(x)$ 的单调区间, 并给出证明;\\\\\n(3) 若存在 $a \\in[-2,4]$, 使得关于 $x$ 的方程 $f(x)=t \\cdot f(a)$ 有三个不相等的实数解, 证明: $t \\in(1, \\dfrac{9}{8})$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -503952,7 +504041,9 @@ "id": "019740", "content": "已知 $\\odot O$ 与直线 $l$ 相切于 $A$ 点, 点 $P, Q$ 同时从 $A$ 点出发, $P$ 沿着直线 $l$ 向右、 $Q$ 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动, 当 $Q$ 运动到点 $A$ 时, 点 $P$ 也停止运动, 连接 $OQ, OP$ (如图), 则阴影部分面积 $S_1, S_2$ 的大小关系是\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 1.5]\n\\draw (-1.5,-1) node [above] {$l$} -- (2.5,-1);\n\\filldraw (0,0) circle (0.03) node [left] {$O$} coordinate (O);\n\\draw (0,-1) node [below] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (-30:2) node [below] {$P$} coordinate (P);\n\\draw (-30:1) node [left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw ({sqrt(3)/pi*180-90}:1) node [above right] {$Q$} coordinate (Q);\n\\fill [pattern = north east lines] (A) arc (-90:-30:1) -- (P) -- cycle;\n\\fill [pattern = north east lines] (O) -- (B) arc (-30:{sqrt(3)/pi*180-90}:1) -- cycle;\n\\draw (0,0) circle (1);\n\\draw (O)--(A);\n\\draw (P)--(O)--(Q);\n\\draw [->] (2,-1.3) --++ (0.5,0);\n\\draw [->] (-25:1.5) arc (-25:20:1.5);\n\\draw (1,-0.8) node {$S_2$} (0.7,-0.15) node {$S_1$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\twoch{$S_1=S_2$}{$S_1 \\leq S_2$}{$S_1 \\geq S_2$}{先 $S_1S_2$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -503994,7 +504085,9 @@ "id": "019742", "content": "若曲线 $|y|=2^x+1$ 与直线 $y=b$ 没有公共点, 则 $b$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504103,7 +504196,9 @@ "id": "019747", "content": "设 $A, B, C$ 是 $\\triangle ABC$ 的三个内角, 则 $m=\\dfrac{\\sin A}{\\sin B+\\sin C-\\sin A}+\\dfrac{\\sin B}{\\sin A+\\sin C-\\sin B}+ \\dfrac{\\sin C}{\\sin A+\\sin B-\\sin C}$ 的最小值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504123,7 +504218,9 @@ "id": "019748", "content": "某学校要召开学生代表大会, 规定各班每 $10$ 人推选一名代表, 当各班人数除以$10$的余数大于$6$时再增选一名代表. 那么, 各班可推选代表人数 $y$ 与该班人数 $x$ 之间的函数关系用取整函数 $y=[x]$ ($[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数) 可以表示为\\bracket{20}.\n\\fourch{$y=[\\dfrac{x}{10}]$}{$y=[\\dfrac{x+3}{10}]$}{$y=[\\dfrac{x+4}{10}]$}{$y=[\\dfrac{x+5}{10}]$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "B", "solution": "", @@ -504144,7 +504241,9 @@ "id": "019749", "content": "设 $x$ 是实数, $n$ 是整数, 若 $|x-n|<\\dfrac{1}{2}$, 则称 $n$ 是数轴上与 $x$ 最接近的整数.\\\\\n(1) 设 $n$ 是正整数, $c_n$ 表示数轴上距离 $\\sqrt{n^2+n}$ 最近的正整数, 求数列 $\\{c_n\\}$ 的通项公式;\\\\\n(2) 若数列 $\\{d_n\\}$ 满足 $d_1=1$, 当 $n \\geq 2$ 时, $d_n=(1-\\dfrac{1}{2^2})(1-\\dfrac{1}{3^2}) \\cdots(1-\\dfrac{1}{n^2})$, $b_n$ 表示数轴上距离 $d_n$ 最近的正整数, 求数列 $\\{b_n\\}$ 的前 $n$ 项的和 $S_n$;\\\\\n(3) 对于 (2) 问中的 $S_n$, 令 $a_n$ 表示数轴上距离 $\\sqrt{s_n}$ 最近的正整数, 其中 $n$ 是正整数, 若 $\\dfrac{1}{a_1}+\\dfrac{1}{a_2}+\\cdots+\\dfrac{1}{a_m}=2020$, 求正整数 $m$ 的值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504186,7 +504285,9 @@ "id": "019751", "content": "不等式 $\\dfrac{8}{(x+1)^3}+\\dfrac{10}{x+1}-x^3-5 x>0$ 的解集为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504206,7 +504307,9 @@ "id": "019752", "content": "记不等式组 $\\begin{cases}x-y+1 \\geq 0,\\\\3 x-y-3 \\leq 0,\\\\x+y-1 \\geq 0\\end{cases}$所表示的平面区域为 $D$, 若对任意 $(x_0, y_0) \\in D$, 不等式 $x_0-2 y_0+c \\leq 0$ 恒成立, 则 $c$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504270,7 +504373,9 @@ "id": "019755", "content": "$x, y, z \\in(0,+\\infty)$, 且 $x+3 y-z=0$, 则 $\\dfrac{z^2}{x y}$ 的最小值是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504356,7 +504461,9 @@ "id": "019759", "content": "已知函数 $f(x)=2020^x+\\ln (\\sqrt{x^2+1}+x)-2020^{-x}+1$, 则关于 $x$ 的不等式 $f(2 x-1)+ f(2 x)<2$ 的解集为\\bracket{20}.\n\\fourch{$(-\\infty, \\dfrac{1}{4})$}{$(-\\infty, \\dfrac{1}{2})$}{$(\\dfrac{1}{4},+\\infty)$}{$(\\dfrac{1}{2},+\\infty)$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -504376,7 +504483,9 @@ "id": "019760", "content": "已知 $x_1, x_2, y_1, y_2$, 均为实数. 求证: $(x_1 x_2+y_1 y_2)^2 \\leq(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)$, 当且仅当 $x_1 y_2=x_2 y_1$ 时, 等号成立.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504418,7 +504527,10 @@ "id": "019762", "content": "已知 $f(x)=\\log _2 \\dfrac{1+x}{1-x}$.\\\\\n(1) 解方程 $f(x)=1$;\\\\\n(2) 设 $x \\in(-1,1)$, $a>1$, 证明: $\\dfrac{a x-1}{a-x}\\in(-1, 1)$ 且 $f(\\dfrac{a x-1}{a-x})-f(x)=-f(\\dfrac{1}{a})$;\\\\\n(3) 设数列 $\\{x_n\\}$ 中, $x_1 \\in(-1,1)$, $x_{n+1}=(-1)^{n+1}\\dfrac{3 x_n-1}{3-x_n}$, $n \\in \\mathbf{N}$, $n \\geq 1$, 求 $x_1$ 的取值范围,使得 $x_3 \\geq x_n$ 对任意正整数 $n$ 成立.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504438,7 +504550,9 @@ "id": "019763", "content": "在等差数列 $\\{a_n\\}$ 中, 当 $a_r=a_s(r \\neq s)$ 时, $\\{a_n\\}$ 必定是常数数列. 然而在等比数列 $\\{a_n\\}$ 中, 对某些正整数 $r$、$s(r \\neq s)$, 当 $a_r=a_s$ 时, 非常数数列 $\\{a_n\\}$ 的一个例子是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504458,7 +504572,10 @@ "id": "019764", "content": "求出一个数学问题的正确结论后, 将其作为条件之一, 提出与原来问题有关的新问题, 我们把它称为原来问题的一个``逆向''问题. 例如, 原来问题是``若正四棱锥底面边长为 $4$, 侧棱长为 $3$, 求该正四棱锥的体积''. 求出体积 $\\dfrac{16}{3}$ 后, 它的一个``逆向''问题可以是``若正四棱锥底面边长为 $4$, 体积为 $\\dfrac{16}{3}$, 求侧棱长''; 也可以是``若正四棱锥的体积为 $\\dfrac{16}{3}$, 求所有侧面面积之和的最小值''. 试给出问题``在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 求点 $P(2,1)$ 到直线 $3 x+4 y=0$ 的距离.''的一个有意义的``逆向''问题, 并解答你所给出的``逆向''问题.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元", + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504500,7 +504617,9 @@ "id": "019766", "content": "若从点 $O$ 所作的两条不共线的射线 $OM, ON$ 上分别有点 $M_1, M_2$ 与点 $N_1$, $N_2$, 则三角形面积之比 $\\dfrac{S_{\\triangle OM_1N_1}}{S_{\\triangle OM_2N_2}}=\\dfrac{OM_1}{OM_2}\\cdot \\dfrac{ON_1}{ON_2}$, 若从点 $O$ 所作的不在同一平面内的三条射线 $OP, OQ$ 和 $OR$ 上, 分别有点 $P_1, P_2$, 点 $Q_1, Q_2$ 和点 $R_1, R_2$, 则类似的结论为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504542,7 +504661,9 @@ "id": "019768", "content": "已知数列 $a_1, a_2, \\cdots, a_{30}$, 其中 $a_1, a_2, \\cdots, a_{10}$ 是首项为 $1$, 公差为 $1$ 的等差数列; $a_{10}, a_{11}, \\cdots, a_{20}$ 是公差为 $d$ 的等差数列; $a_{20}, a_{21}, \\cdots, a_{30}$ 是公差为 $d^2$ 的等差数列 $(d \\neq 0)$.\\\\\n(1) 若 $a_{20}=40$, 求 $d$;\\\\\n(2) 试写出 $a_{30}$ 关于 $d$ 的关系式,并求 $a_{30}$ 的取值范围;\\\\\n(3) 续写已知数列, 使得 $a_{30}, a_{31}, \\cdots, a_{40}$ 是公差为 $d^3$ 的等差数列, $\\cdots \\cdots$, 依次类推, 把已知数列推广为无穷数列. 提出同 (2) 类似的问题 ((2) 应当作为特例), 并进行研究, 你能得到什么样的结论?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504562,7 +504683,9 @@ "id": "019769", "content": "函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$, 若对任意 $x \\in D$, $f(|x|)=|f(x)|$, 则称 $y= f(x)$ 在 $D$ 内为对等函数.\\\\\n(1) 指出函数 $y=\\sqrt{x}$, $y=x^3$, $y=2^x$ 在其定义域内哪些为对等函数;\\\\\n(2) 试研究对数函数 $y=\\log _a x$($a>0$ 且 $a \\neq 1$) 在其定义域内是否是对等函数? 若是, 请说明理由; 若不是, 试给出其定义域的一个非空子集, 使 $y=\\log _a x$ 在所给集合内成为对等函数;\\\\\n(3) 若 $\\{0\\}\\subseteq D, y=f(x)$ 在 $D$ 内为对等函数, 试研究 $y=f(x)$($x \\in D$) 的奇偶性.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504604,7 +504727,9 @@ "id": "019771", "content": "同学们都知道, 在一次考试后, 如果按顺序去掉一些高分, 那么班级的平均分将降低; 反之, 如果按顺序去掉一些低分, 那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为: 若有限数列 $a_1, a_2, \\cdots, a_n$ 满足 $a_1 \\leq a_2 \\leq \\cdots \\leq a_n$, 则\\blank{200}(结论用数学式子表示).", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504624,7 +504749,9 @@ "id": "019772", "content": "规定记号``$\\diamond$''表示一种运算, 即 $a \\diamond b=(a^2-1)(b^2-2 b)$, $a$, $b \\in \\mathbf{R}$, 若 $k>0$, 函数 $f(x)= (k x) \\diamond x$ 的图象关于直线 $x=\\dfrac{1}{2}$ 对称, 则 $k=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504666,7 +504793,9 @@ "id": "019774", "content": "已知函数 $y=f(x)$($x \\in \\mathbf{R}$), 对函数 $y=g(x)$($x \\in I$), 定义 $g(x)$ 关于 $f(x)$ 的``对称函数''为函数 $y=h(x)(x \\in I)$, $y=h(x)$ 满足: 对任意 $x \\in I$, 两个点 $(x, h(x)),(x, g(x))$ 关于点 $(x, f(x))$ 对称, 若 $h(x)$ 是 $g(x)=\\sqrt{4-x^2}$ 关于 $f(x)=3 x+b$ 的``对称函数'', 且 $h(x)>g(x)$ 恒成立, 则实数 $b$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504686,7 +504815,10 @@ "id": "019775", "content": "在平面直角坐标系中, 横、纵坐标均为整数的点叫做格点, 若函数 $y=f(x)$ 的图像恰好经过 $k$ 个格点, 则称函数 $y=f(x)$ 为 $k$ 阶格点函数, 已知函数: \\textcircled{1} $y=x^2$; \\textcircled{2} $y=2 \\sin x$; \\textcircled{3} $y=\\pi^x-1$; \\textcircled{4} $y=\\cos (x+\\dfrac{\\pi}{3})$; 其中为一阶格点函数的序号为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -504706,7 +504838,9 @@ "id": "019776", "content": "定义集合运算 $A \\otimes B=\\{z | z=x y,\\ x \\in A,\\ y \\in B\\}$. 设 $A=\\{1,2\\}$, $B=\\{0,2\\}$, 则集合 $A \\otimes B$ 的所有元素之和为\\bracket{20}.\n\\fourch{$0$}{$2$}{$3$}{$6$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -504726,7 +504860,9 @@ "id": "019777", "content": "对于 $\\triangle ABC$, 若存在 $\\triangle A_1B_1C_1$, 满足 $\\dfrac{\\cos A}{\\sin A_1}=\\dfrac{\\cos B}{\\sin B_1}=\\dfrac{\\cos C}{\\sin C_1}=1$, 则称 $\\triangle ABC$ 为``$V$ 类三角形''. ``$V$ 类三角形''一定满足\\bracket{20}.\n\\fourch{有一个内角为 $30^{\\circ}$}{有一个内角为 $45^{\\circ}$}{有一个内角为 $60^{\\circ}$}{有一个内角为 $75^{\\circ}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -504746,7 +504882,10 @@ "id": "019778", "content": "定义域为 $[a, b]$ 的函数 $y=f(x)$ 图象的两个端点为 $A, B$, 向量 $\\overrightarrow{ON}=\\lambda \\overrightarrow{OA}+(1-\\lambda) \\overrightarrow{OB}$, $M(x, y)$ 是 $f(x)$ 图象上任意一点, 其中 $x=\\lambda a+(1-\\lambda) b$, $\\lambda \\in[0,1]$. 若不等式 $|MN| \\leq k$ 恒成立,则称函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上满足``$k$ 范围线性近似'', 其中最小的正实数 $k$ 称为该函数的线性近似阈值. 下列定义在 $[1,2]$ 上函数中, 线性近似阈值最小的是\\bracket{20}.\n\\fourch{$y=x^2$}{$y=\\dfrac{2}{x}$}{$y=\\sin \\dfrac{\\pi}{3}x$}{$y=x-\\dfrac{1}{x}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "第五单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -504788,7 +504927,9 @@ "id": "019780", "content": "如图, 在直角坐标系 $xOy$ 中, 有一组对角线长为 $a_n$ 的正方形 $A_n B_n C_n D_n$($n=1,2, \\cdots$), 其对角线 $B_n D_n$ 依次放置在 $x$ 轴上 (相邻顶点重合). 设 $\\{a_n\\}$ 是首项为 $a$, 公差为 $d$($d>0$) 的等差数列, 点 $B_1$ 的坐标为 $(d, 0)$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.08]\n\\draw [->] (-4,0) -- (44,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-15) -- (0,15) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (4,0) node [above left] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw (12,0) node [above] {$B_2$} coordinate (B_2) node [below] {$D_1$};\n\\draw (24,0) node [above] {$B_3$} coordinate (B_3) node [below] {$D_2$};\n\\draw (40,0) node [below] {$D_3$} coordinate (D_3);\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {8/4/1,18/6/2,32/8/3}\n{\\draw (\\i,\\j) node [above] {$A_\\k$} coordinate (A_\\k) (\\i,-\\j) node [below] {$C_\\k$} coordinate (C_\\k);};\n\\draw (B_1)--(A_1)--(B_2)--(A_2)--(B_3)--(A_3)--(D_3)--(C_3)--(B_3)--(C_2)--(B_2)--(C_1)--(B_1);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 当 $a=8$, $d=4$ 时, 证明: 顶点 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 不在同一条直线上;\\\\\n(2) 在 (1) 的条件下, 证明: 所有顶点 $A_n$ 均落在抛物线 $y^2=2 x$ 上;\\\\\n(3) 为使所有顶点 $A_n$ 均落在抛物线 $y^2=2 p x$($p>0$) 上, 求$a$与$d$之间所应满足的关系式.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504808,7 +504949,9 @@ "id": "019781", "content": "我们在下面的表格内填写数值: 先将第 $1$ 行的所有空格填上 $1$; 再把一个首项为 $1$, 公比为 $q$ 的数列 $\\{a_n\\}$ 依次填入第一列的空格内; 然后按照``任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和''的规则填写其它空格.\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline & 第 1 列 & 第 2 列 & 第 3 列 & $\\cdots$ & 第 $n$ 列 \\\\\n\\hline 第 1 行 & 1 & 1 & 1 & $\\cdots$ & 1 \\\\\n\\hline 第 2 行 & $q$ & & & & \\\\\n\\hline 第 3 行 & $q^2$ & & & &\\\\\n\\hline$\\cdots$ & $\\cdots$ & & & &\\\\\n\\hline 第 $n$ 行 & $q^{n-1}$ & & & &\\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n(1) 设第 2 行的数依次为 $B_1, B_2, \\cdots, B_n$, 试用 $n, q$ 表示 $B_1+B_2+\\cdots+B_n$ 的值;\\\\\n(2) 设第 3 列的数依次为 $c_1, c_2, c_3, \\cdots, c_n$, 求证: 对于任意非零实数 $q, c_1+c_3>2 c_2$;\\\\\n(3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题, 如果都选, 被认为选择了第一问).\\\\\n(I) 能否找到 $q$ 的值, 使得 (2) 中的数列 $c_1, c_2, c_3, \\cdots, c_n$ 的前 $m$ 项 $c_1, c_2, \\cdots, c_m $($m \\geq 3$) 成为等比数列? 若能找到, $m$ 的值有多少个? 若不能找到, 说明理由.\\\\\n(II) 能否找到 $q$ 的值,使得填完表格后,除第 1 列外, 还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列? 并说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504828,7 +504971,9 @@ "id": "019782", "content": "有一条长为 $120$ 米的步道 $OA$, $A$ 为垃圾投放点 $\\omega_1$, 若以 $O$ 为原点, $OA$ 为 $x$ 轴的正方向建立平面直角坐标系, 设点 $B(x, 0)$, 现要在步道之间建设另一座垃圾放点 $\\omega_2(t, 0)$, 函数 $f_t(x)$ 表示与 $B$ 点距离最近的垃圾投放点的距离.\\\\\n(1) 若 $t=60$, 求 $f_{60}(10), f_{60}(80), f_{60}(95)$ 的值, 并求出 $f_{60}(x)$ 的函数解析式子;\\\\\n(2) 若可以通过 $f_t(x)$ 的图像与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度, 面积越小越便利. 问 : 垃圾投放点 $\\omega_2$ 建在何处比建在 $OA$ 中点更便利?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504848,7 +504993,9 @@ "id": "019783", "content": "统计表明, 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 $y$ (升)关于行驶速度 $x$ (千米/小时) 的函数解析式可以表示为: $y=\\dfrac{1}{128000}x^3-\\dfrac{3}{80}x+8$($0=latex]\n\\draw (0,0) node [below] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (4,0) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (4,2) node [above] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,2) node [above] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;\n\\draw (A) arc (-90:0:2);\n\\draw (A) ++ ({2*tan(20)},0) node [below] {$E$} coordinate (E) --++ ({2/tan(40)},2) node [above] {$F$} coordinate (F);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 若 $\\angle ADE=20^{\\circ}$, 求 $EF$ 的长;\\\\\n(2) 当 $AE$ 多长时, 梯形 $EFBC$ 的面积有最大值, 最大面积为多少? (长度精确到 $0.1 \\mathrm{m}$, 面积精确到 $0.01 \\mathrm{m}^2$)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504888,7 +505037,9 @@ "id": "019785", "content": "``十四五''期间, 上海市将大力推进``五个新城''建设, 更好服务长三角一体化发展国家战略. 已知某企业 2021 年第一季度 (一年共四个季度) 的营业额为 $1.1$ 亿元, 预计以后每个季度的营业额比上个季度增加 $0.05$ 亿元, 该企业 2021 年第一季度的利润为 $0.16$ 亿元, 预计以后每个季度的利润比上个季度增长 $4 \\%$.\\\\\n(1) 求该企业自 2021 年起前 $20$ 个季度营业额的总和;\\\\\n(2) 请问该企业自 2021 年起哪个季度的利润将首次超过该季度营业额的 $18 \\%$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504953,7 +505104,9 @@ "id": "019788", "content": "把一个大金属球表面涂漆, 共需要油漆 $2.4$ 千克. 若把这个大金属球熔化制成 $64$ 个大小都相等的小金属球, 不计损耗, 将这些小金属球表面都涂漆, 则需要油漆千克.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -504973,7 +505126,9 @@ "id": "019789", "content": "一船向正北匀速行驶, 看见正西方向两座相距 $10$ 海里的灯塔恰好与该船在同一直线上, 继续航行半小时后, 看见其中一座灯塔在南偏西 $60^{\\circ}$ 方向上, 另一灯塔在南偏西 $75^{\\circ}$ 方向上,则该船的速度是海里/小时.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -505015,7 +505170,9 @@ "id": "019791", "content": "某食品的保鲜时间 $y$ (单位: 小时) 与储存温度 $x$ (单位: $^{\\circ}\\mathrm{C}$ ) 满足函数关系 $y=\\mathrm{e}^{k x+b}$ ($\\mathrm{e}=2.718 \\cdots$ 为自然对数的底数, $k$、$b$ 为常数). 若该食品在 $0^{\\circ}\\mathrm{C}$ 的保鲜时间设计 $192$ 小时, 在 $22^{\\circ}\\mathrm{C}$ 的保鲜时间是 $48$ 小时,则该食品在 $33^{\\circ}\\mathrm{C}$ 的保鲜时间是\\blank{50}小时.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -505035,7 +505192,9 @@ "id": "019792", "content": "古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题: 在平面上给定两点 $A(-a, 0)$, $B(a, 0)$, 动点 $P$ 满足 $\\dfrac{|PA|}{|PB|}=\\lambda$ (其中 $a$ 和 $\\lambda$ 是正常数, 且 $\\lambda \\neq 1$), 则 $P$ 的轨迹是一个圆,这个圆称之为``阿波罗尼斯圆''. 该圆的半径为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -505099,7 +505258,9 @@ "id": "019795", "content": "Logistic 模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领城. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)$ ($t$ 的单位: 天) 的 Logistic 模型: $I(t)= \\dfrac{K}{1+\\mathrm{e}^{-0.23(t-53)}}$, 其中 $K$ 为最大确诊病例数. 当 $I(t^*)=0.95K$ 时, 标志着已初步遏制疫情, 则 $(t^*-53)$ 的值约为\\bracket{20}.\n\\fourch{$10$}{$13$}{$63$}{$66$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -505141,7 +505302,9 @@ "id": "019797", "content": "如图, 某种水箱用的``浮球'', 是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是 $6 \\mathrm{cm}$, 圆柱筒长 $2 \\mathrm{cm}$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (-1.5,0) arc (180:360:1.5) -- (1.5,1) arc (0:180:1.5) --++ (0,-1);\n\\draw (1.5,0) arc (0:-180:1.5 and 0.5) (1.5,1) arc (0:-180:1.5 and 0.5);\n\\draw [dashed] (1.5,0) arc (0:180:1.5 and 0.5) (1.5,1) arc (0:180:1.5 and 0.5);\n\\draw [dashed] (0,0) -- (0,1) (-1.5,0) --++ (3,0) (-1.5,1) --++ (3,0);\n\\draw (1.5,0) --++ (1,0) (1.5,1) --++ (1,0);\n\\draw [<->] (2,0) -- (2,1) node [midway, fill = white] {$2\\text{cm}$};\n\\draw (-1.5,0) --++ (0,-2) (1.5,0) --++ (0,-2);\n\\draw [<->] (-1.5,-1.8) -- (1.5,-1.8) node [midway, fill = white] {$6\\text{cm}$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 这种``浮球''的体积是多少 (结果精确到 $0.1 \\mathrm{cm}^3$ )?\\\\\n(2) 要在这样 2500 个``浮球''表面涂一层胶质,如果每平方米需要涂胶 $100$ 克,共需胶多少?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -601148,7 +601311,9 @@ "id": "031406", "content": "抛物线 $y=4 x^2$ 在点 $(1,4)$ 处的切线方程为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601168,7 +601333,9 @@ "id": "031407", "content": "函数 $f(x)=\\dfrac{x+4}{\\ln x}$ 的定义域为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601232,7 +601399,9 @@ "id": "031410", "content": "函数 $f(x)=\\log _2 \\dfrac{x}{4}$, 等比数列 $\\{a_n\\}$ 中, $a_2 \\cdot a_5 \\cdot a_8=8$, 则 $f(a_1)+f(a_2)+\\cdots+f(a_9)=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601341,7 +601510,9 @@ "id": "031415", "content": "已知函数 $f(x)=\\mathrm{e}^{|x|}+|x|$, 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=k$ 有两个不同的实根, 则实数 $k$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601361,7 +601532,9 @@ "id": "031416", "content": "若直线 $x-y+1=0$ 与圆 $(x-a)^2+y^2=2$ 有公共点, 则实数 $a$ 取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601381,7 +601554,9 @@ "id": "031417", "content": "设函数 $F(x)$ 和 $f(x)$ 都在区间 $D$ 上有定义,若对 $D$ 的任意子区间 $[u, v]$, 总有 $[u, v]$ 上的实数 $p$ 和 $q$, 使得不等式 $f(p) \\leq \\dfrac{F(u)-F(v)}{u-v}\\leq f(q)$ 成立, 则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $D$ 上的甲函数, $f(x)$ 是 $F(x)$ 在区间 $D$ 上的乙函数. 已知 $F(x)=x^2-3 x$, $x \\in \\mathbf{R}$, 那么 $F(x)$ 的乙函数 $f(x)=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601401,7 +601576,9 @@ "id": "031418", "content": "曲线 $y=\\mathrm{e}^x$ 在点 $A(0,1)$ 处的切线斜率为\\bracket{20}.\n\\fourch{$1$}{$2$}{$e$}{$\\dfrac{1}{\\mathrm{e}}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -601421,7 +601598,9 @@ "id": "031419", "content": "直线 $a, b$ 异面, $a \\parallel $ 平面 $\\alpha$, 则对于下列论断正确的是\\blank{50}.\\\\\n\\textcircled{1} 一定存在平面 $\\alpha$ 使 $b \\perp \\alpha$; \\textcircled{2} 一定存在平面 $\\alpha$ 使 $b \\parallel \\alpha$; \\textcircled{3} 一定存在平面 $\\alpha$ 使 $b \\subseteq \\alpha$; \\textcircled{4} 一定存在无数个平面 $\\alpha$ 与 $b$ 交于一定点\\bracket{20}.\n\\fourch{\\textcircled{1}\\textcircled{4}}{\\textcircled{2}\\textcircled{3}}{\\textcircled{1}\\textcircled{2} \\textcircled{3}}{\\textcircled{2}\\textcircled{3}\\textcircled{4}}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601441,7 +601620,9 @@ "id": "031420", "content": "已知圆 $x^2+y^2=1$ 与 $x$ 轴的两个交点为 $A$、$B$, 若圆内的动点 $P$ 使 $|PA|$、$|PO|$、$|PB|$ 成等比数列, 则 $\\overrightarrow{PA}\\cdot \\overrightarrow{PB}$ 的取值范围为\\bracket{20}.\n\\fourch{$(0, \\dfrac{1}{2}]$}{$[-\\dfrac{1}{2}, 0)$}{$(-\\dfrac{1}{2}, 0)$}{$[-1,0)$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -601461,7 +601642,9 @@ "id": "031421", "content": "``$t \\geq 0$''是``函数 $f(x)=x^2+t x-t$ 在 ($-\\infty$, $+\\infty$) 内存在零点''的\\bracket{20}.\n\\twoch{充分非必要条件}{必要非充分条件}{充要条件}{既非充分也非必要条件}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -601481,7 +601664,9 @@ "id": "031422", "content": "已知函数 $f(x)=\\dfrac{b x-5}{x+a}$($x \\neq-a$, $a$、$b$ 是常数, 且 $a b \\neq-5$), 对定义域内任意 $x$($x \\neq-a$、$x \\neq-a-3$ 且 $x \\neq a+3$), 恒有 $f(3+x)+f(3-x)=4$ 成立.\\\\\n(1) 求函数 $y=f(x)$ 的解析式, 并写出函数的定义域;\\\\\n(2) 求 $x$ 的取值范围, 使得 $f(x) \\in[0,2) \\cup(2,4]$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -601501,7 +601686,9 @@ "id": "031423", "content": "设 $m>3$, 对于项数为 $m$ 的有穷数列 $\\{a_n\\}$, 令 $b_k$ 为 $a_1, a_2, \\cdots, a_k$($k \\leq m$) 中的最大值, 称数列 $\\{b_n\\}$ 为 $\\{a_n\\}$ 的``创新数列''. 例如数列 $3,5,4,7$ 的创新数列为 $3,5,5,7$. 考查自然数 $1,2, \\cdots, m$($m>3$) 的所有排列, 将每种排列都视为一个有穷数列 $\\{c_n\\}$.\\\\\n(1) 若 $m=5$, 写出创新数列为 $3,5,5,5,5$ 的所有数列 $\\{c_n\\}$;\\\\\n(2) 是否存在数列 $\\{c_n\\}$ 的创新数列为等比数列? 若存在, 求出符合条件的创新数列; 若不存在, 请说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -601609,7 +601796,9 @@ "id": "031428", "content": "若圆 $x^2+y^2+m x-\\dfrac{1}{4}=0$ 与直线 $y=-1$ 相切, 且其圆心在 $y$ 轴的左侧, 则 $m$ 的值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601629,7 +601818,9 @@ "id": "031429", "content": "如图,用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为 $45^{\\circ}$, 容器的高为 $10 \\mathrm{cm}$, 制作该容器需要铁皮面积为\\blank{50}$\\mathrm{cm}^2$ (衔接部分忽略不计, 结果保留整数).\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [<->] (1.2,1) -- (1.2,0) node [midway, fill = white] {$10\\text{cm}$};\n\\draw (0,0) -- (1,1) (0,0) -- (-1,1) (0,1) ellipse (1 and 0.25) (1,1) -- (0,1);\n\\draw [dashed] (0,0) -- (0,1);\n\\draw (1,1) -- (1.4,1) (0,0) -- (1.4,0);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601649,7 +601840,9 @@ "id": "031430", "content": "在一个小组中有 $8$ 名女同学和 $4$ 名男同学, 从中任意地挑选 $2$ 名同学担任交通安全宣传志愿者, 那么选到的两名都是女同学的概率是\\blank{50}(结果用分数表示).", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601670,7 +601863,9 @@ "id": "031431", "content": "已知 $AC, BD$ 为圆 $O: x^2+y^2=4$ 的两条互相垂直的弦, $AC, BD$ 交于点 $M(1, \\sqrt{2})$, 则四边形 $ABCD$ 面积的最大值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601690,7 +601885,9 @@ "id": "031432", "content": "已知 $O$ 是 $\\triangle ABC$ 的外心, $AB=2$, $AC=3$, $x+2 y=1$, 若 $\\overrightarrow{AO}=x \\cdot \\overrightarrow{AB}+y \\cdot \\overrightarrow{AC}$, ($x y \\neq 0$), 则 $\\cos \\angle BAC=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601710,7 +601907,9 @@ "id": "031433", "content": "已知函数 $f(x)=x^2-\\cos x$, 对于 $[-\\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{\\pi}{2}]$ 上的任意 $x_1, x_2$, 有如下条件: \\textcircled{1} $x_1>x_2$; \\textcircled{2} $x_1^2>x_2^2$; \\textcircled{3} $|x_1|>x_2$. 其中能使 $f(x_1)>f(x_2)$ 恒成立的条件序号是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601752,7 +601951,9 @@ "id": "031435", "content": "设函数 $y=f(x)$ 由方程 $x|x|+y|y|=1$ 确定, 下列结论: \\textcircled{1} $f(x)$ 是 $\\mathbf{R}$ 上的严格减函数; \\textcircled{2} 对于任意 $x \\in \\mathbf{R}$, $f(x)+x>0$ 恒成立; \\textcircled{3} 对于任意 $a \\in \\mathbf{R}$, 关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 都有解. 其中正确结论的是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -601772,7 +601973,9 @@ "id": "031436", "content": "用一个平面去截正方体, 所得截面不可能是\\bracket{20}.\n\\fourch{平面六边形}{菱形}{梯形}{直角三角形}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -601792,7 +601995,9 @@ "id": "031437", "content": "设 $a b c \\neq 0$, ``$a c>0$''是``曲线 $a x^2+b y^2=c$ 为椭圆''的\\bracket{20}.\n\\twoch{充分非必要条件}{必要非充分条件}{充分必要条件}{既非充分又非必要条件}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -601834,7 +602039,9 @@ "id": "031439", "content": "设 $\\{a_n\\}$ 是各项为正数的无穷数列, $A_i$ 是边长为 $a_i, a_{i+1}$ 的矩形面积 ($i=1,2,3, \\cdots$), 则 $\\{A_n\\}$ 为等比数列的充要条件为\\bracket{20}.\n\\onech{$\\{a_n\\}$ 是等比数列}{$a_1, a_3, a_5, \\cdots a_{2 n-1}, \\cdots$ 或 $a_2, a_4, a_6, \\cdots a_{2 n}, \\cdots$ 是等比数列}{$a_1, a_3, a_5, \\cdots a_{2 n-1}, \\cdots$ 和 $a_2, a_4, a_6, \\cdots a_{2 n}, \\cdots$ 均是等比数列}{$a_1, a_3, a_5, \\cdots a_{2 n-1}, \\cdots$ 和 $a_2, a_4, a_6, \\cdots a_{2 n}, \\cdots$, 且公比相同}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -601876,7 +602083,9 @@ "id": "031441", "content": "在边长为 $6 \\mathrm{cm}$ 的正方形 $ABCD$ 中, $E, F$ 分别为 $BC, CD$ 的中点, $M, N$ 分别为 $AB, CF$ 的中点, 现沿 $AE, AF, EF$ 折叠, 使 $B, C, D$ 三点重合于 $B$, 构成一个三棱锥 (如图所示).\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (2,0) node [below] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (2,2) node [above] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (0,2) node [above] {$A$} coordinate (A);\n\\draw ($(B)!0.5!(C)$) node [below] {$E$} coordinate (E);\n\\draw ($(C)!0.5!(D)$) node [right] {$F$} coordinate (F);\n\\filldraw ($(C)!0.5!(F)$) node [right] {$N$} coordinate (N) circle (0.03);\n\\filldraw ($(A)!0.5!(B)$) node [left] {$M$} coordinate (M) circle (0.03);\n\\draw (B)--(C)--(D)--(A)--cycle(A)--(E)--(F)--cycle;\n\\end{tikzpicture}\n\\hspace*{3em}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,-2) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (1,0,0) node [below] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (2,0,-1) node [right] {$F$} coordinate (F);\n\\draw ({4/3},{2/3},{-2/3}) node [above] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (B)--(A)--(E)--(F)--cycle(B)--(E);\n\\draw [dashed] (A)--(F);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 在三棱锥上标注出 $M$、$N$ 点, 并判别 $MN$ 与平面 $AEF$ 的位置关系, 并给出证明;\\\\\n(2) $G$ 是线段 $AB$ 上一点, 且 $\\overrightarrow{AG}=\\lambda \\cdot \\overrightarrow{AB}$, 问是否存在点 $G$ 使得 $AB \\perp$ 面 $EGF$, 若存在, 求出 $\\lambda$ 的值; 若不存在, 请说明理由;\\\\\n(3) 求多面体 $E-AFMN$ 的体积.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -601918,7 +602127,9 @@ "id": "031443", "content": "方程 $16^x-4^x-2=0$ 的解是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602004,7 +602215,9 @@ "id": "031447", "content": "曲线 $y=x^2-2 x+1$ 在点 $(1,0)$ 处的切线方程为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602024,7 +602237,9 @@ "id": "031448", "content": "汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限 (年均消耗费用 $=$ 年均成本费 $+$ 年均维修费). 设某种汽车的购车的总费用为 $50000$ 元; 使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为 $6000$ 元; 前 $x$ 年的总维修费 $y$ 满足 $y=a x^2+b x$, 已知第一年的维修费为 $1000$ 元, 前二年总维修费为 $3000$ 元. 则这种汽车的最佳使用年限为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602132,7 +602347,9 @@ "id": "031453", "content": "对于使 $-x^2+2 x \\leq M$ 成立的所有常数 $M$ 中, 我们把 $M$ 的最小值 1 叫做 $-x^2+2 x$ 的上确界, 若 $a, b \\in$($0,+\\infty$), 且 $a+b=1$, 则 $-\\dfrac{1}{2 a}-\\dfrac{2}{b}$ 的上确界为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602174,7 +602391,9 @@ "id": "031455", "content": "已知圆 $x^2+(y-1)^2=2$ 上任一点 $P(x, y)$, 其坐标均使得不等式 $x+y+m \\geq 0$ 成立, 则实数 $m$ 的取值范围是\\bracket{20}.\n\\fourch{$[1,+\\infty)$}{($-\\infty, 1]$}{$[-3,+\\infty$)}{$(-\\infty,-3]$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -602216,7 +602435,9 @@ "id": "031457", "content": "根据统计, 一名工人组装第 $x$ 件某产品所用的时间 (单位: 分钟) 为 $f(x)= \\begin{cases}\\dfrac{c}{\\sqrt{x}},& x0$, 那么该函数在 ($0, \\sqrt{a}]$ 上是严格减函数, 在 $[\\sqrt{a},+\\infty$) 上是严格增函数.\\\\\n(1) 如果函数 $y=x+\\dfrac{3^m}{x}$($x>0$) 的值域是 $[6,+\\infty)$, 求实数 $m$ 的值;\\\\\n(2) 若把函数 $f(x)=x^2+\\dfrac{a}{x^2}$(常数 $a>0$) 在 $[1,2]$ 上的最小值记为 $g(a)$,求 $g(a)$ 的表达式.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -602256,7 +602479,9 @@ "id": "031459", "content": "在平面直角坐标系中, 直线 $l: y=m x+3-4 m$, $m \\in \\mathbf{R}$ 恒过一定点, 且与以原点为圆心的圆 $C$ 恒有公共点.\\\\\n(1) 求出直线 $l$ 恒过的定点坐标;\\\\\n(2) 当圆 $C$ 的面积最小时, 求圆 $C$ 的方程;\\\\\n(3) 已知定点 $Q(-4,3)$, 直线 $l$ 与 (2) 中的圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点, 试问 $\\overrightarrow{QM}\\cdot \\overrightarrow{QN}\\cdot \\tan \\angle MQN$ 是否存在最大值, 若存在则求出该最大值, 并求出此时直线 $l$ 的方程, 若不存在请说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -602474,7 +602699,9 @@ "id": "031469", "content": "以下同个关于圆锥曲线的命题中: \\textcircled{1} 设 $A, B$ 为两个定点, $k$ 为非零常数, $|\\overrightarrow{PA}|- |\\overrightarrow{PB}|=k$, 则动点 $P$ 的轨迹为双曲线; \\textcircled{2} 设定圆 $C$ 上一定点 $A$ 作圆的动点弦 $AB, O$ 为坐标原点, 若 $\\overrightarrow{OP}=\\dfrac{1}{2}(\\overrightarrow{OA}+\\overrightarrow{OB})$, 则动点 $P$ 的轨迹为椭圆; \\textcircled{3} 方程 $2 x^2-5 x+2=0$ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; \\textcircled{4} 双曲线 $\\dfrac{x^2}{25}-\\dfrac{y^2}{9}=1$ 与椭圆 $\\dfrac{x^2}{35}+y^2=1$ 有相同的焦点. 其中真命题的序号为\\blank{50}. (写出所有真命题的序号)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602538,7 +602765,9 @@ "id": "031472", "content": "``$a=-7$''是``直线 $(3+a) x+4 y=5-3 a$ 与直线 $2 x+(5+a) y=8$ 互相平行''的\\bracket{20}.\n\\twoch{充分不必要条件}{必要不充分条件}{充分必要条件}{既不充分也不必要条件}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -602624,7 +602853,9 @@ "id": "031476", "content": "已知 $\\alpha$ 为锐角, 且 $\\tan \\alpha=\\sqrt{2}-1$, 函数 $f(x)=2 x \\tan 2 \\alpha+\\sin (2 \\alpha+\\dfrac{\\pi}{4})$, 数列 $\\{a_n\\}$ 的首项 $a_1=1$, $a_{n+1}=f(a_n)$.\\\\\n(1) 求函数 $f(x)$ 的表达式;\\\\\n(2) 求数列 $(a_n)$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -602644,7 +602875,9 @@ "id": "031477", "content": "设 $t \\neq 0$, 点 $P(t, 0)$ 是函数 $f(x)=x^3+a x$ 与 $g(x)=b x^2+c$ 的图像的一个公共点, 两函数的图像在点 $P$ 处有相同的切线.\\\\\n(1) 用 $t$ 表示 $a, b, c$;\\\\\n(2) 若函数 $y=f(x)-g(x)$ 在 $(-1,3)$ 上严格减, 求 $t$ 的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -602664,7 +602897,9 @@ "id": "031478", "content": "若 $a \\in\\{y | y=2^x,、 x<1\\}$, 则 $a$ 的取值范围为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602750,7 +602985,9 @@ "id": "031482", "content": "若直线 $m x+n y=4$ 和 $\\odot O: x^2+y^2=4$ 没有交点, 则过点 $(m, n)$ 的直线与椭圆 $\\dfrac{x^2}{9}+\\dfrac{y^2}{4}=1$ 的交点个数为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602770,7 +603007,9 @@ "id": "031483", "content": "已知两条直线 $y=a x-2$ 和 $y=(a+2) x+1$ 互相垂直, 则 $a$ 等于\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602790,7 +603029,9 @@ "id": "031484", "content": "某人射击一次击中的概率为 $0.6$, 经过 3 次射击, 此人至少有两次击中目标的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602810,7 +603051,9 @@ "id": "031485", "content": "若 $\\log _{2 a}\\dfrac{1+a^2}{1+a}<0$, 则 $a$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602896,7 +603139,9 @@ "id": "031489", "content": "我们把形如 $y=\\dfrac{b}{|x|-a}$($a>0$, $b>0$) 的函数因其图像类似于汉字``圆''字, 故生动地称为``囧函数'', 并把其与 $y$ 轴的交点关于原点的对称点称为``囧点'', 以``囧点''为圆心凡是与``圆函数''有公共点的圆, 皆称之为``囧圆'', 则当 $a=1$, $b=1$ 时, 所有的``囧圆''中, 面积的最小值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -602916,7 +603161,9 @@ "id": "031490", "content": "现用铁丝做一个面积为 $1$ 平方米、形状为直角三角形的框架, 有下列四种长度的铁丝各一根供选择, 其中最合理 (即够用, 浪费最少) 的一根是\\bracket{20}.\n\\fourch{$4.6$米}{$4.8$米}{$5$米}{$5.2$米}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -602958,7 +603205,9 @@ "id": "031492", "content": "要得到函数 $y=\\sqrt{2}\\cos x$ 的图像, 只需将函数 $y=\\sqrt{2}\\sin (2 x+\\dfrac{\\pi}{4})$ 的图像上所有的点的\\bracket{20}.\n\\onech{横坐标缩短到原来的 $\\dfrac{1}{2}$ 倍 (纵坐标不变), 再向左平行移动 $\\dfrac{\\pi}{8}$ 个单位长度}{横坐标缩短到原来的 $\\dfrac{1}{2}$ 倍 (纵坐标不变), 再向右平行移动 $\\dfrac{\\pi}{4}$ 个单位长度}{横坐标伸长到原来的 $2$ 倍 (纵坐标不变), 再向左平行移动 $\\dfrac{\\pi}{4}$ 个单位长度}{横坐标伸长到原来的 $2$ 倍 (纵坐标不变), 再向右平行移动 $\\dfrac{\\pi}{8}$ 个单位长度}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -602978,7 +603227,9 @@ "id": "031493", "content": "已知曲线 $\\Gamma: \\begin{cases}x=\\dfrac{3}{\\cos \\theta}, \\\\y = \\tan \\theta\\end{cases}$($\\theta$ 是参数), 过点$P(6,2)$作直线$l$与曲线$\\Gamma$有且仅有一个公共点, 则这样的直线 $l$ 有\\bracket{20}.\n\\fourch{$1$ 条}{$2$ 条}{$3$ 条}{$4$ 条}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -603020,7 +603271,10 @@ "id": "031495", "content": "已知点 $P_n(a_n, b_n)$ 满足 $a_{n+1}=a_n b_{n+1}$, $b_{n+1}=\\dfrac{b_n}{1-a_n^2}$, 且 $P_0(\\dfrac{1}{3}, \\dfrac{2}{3})$($n \\in \\mathbf{N}$).\\\\\n(1) 求点 $P_1$ 坐标, 并写出过点 $P_0, P_1$ 的直线 $l$ 的方程;\\\\\n(2) 猜测点 $P_n$($n \\geq 2$) 与直线 $l$ 的位置关系, 并加以证明;\\\\\n(3) 求数列 $\\{a_n\\}$ 与 $\\{b_n\\}$ 的通项公式 ($n$ 是正整数).", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元", + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -603084,7 +603338,9 @@ "id": "031498", "content": "要得到 $y=\\cos (2 x-\\dfrac{\\pi}{4})$ 的图像, 且使平移的距离最短, 则需将 $y=\\cos 2 x$ 的图像向平移个单位即可得到.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -603192,7 +603448,9 @@ "id": "031503", "content": "已知 $A, B, C$ 三点在球心为 $O$, 半径为 $3$ 的球面上, 且几何体 $O-ABC$ 为正四面体, 那么 $A, B$ 两点的球面距离为\\blank{50}; 点 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -603256,7 +603514,9 @@ "id": "031506", "content": "某商场买来一车苹果, 从中随机抽取了 $10$ 个苹果, 其重量 (单位: 克) 分别为: $150,152,153,149,148,146,151,150,152,147$, 由此估计这车苹果单个重量的期望值是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -603276,7 +603536,9 @@ "id": "031507", "content": "设有一组圆 $C_k:(x-k+1)^2+(y-3 k)^2=2 k^4$($k \\in \\mathbf{N}$, $k \\geq 1$). 下列四个命题:\\\\\n\\textcircled{1} 存在一条定直线与所有的圆均相切; \\textcircled{2} 存在一条定直线与所有的圆均相交; \\textcircled{3} 存在一条定直线与所有的圆均不相交; \\textcircled{4} 所有的圆均不经过原点. 其中真命题的代号是\\blank{50}. (写出所有真命题的代号)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -603296,7 +603558,9 @@ "id": "031508", "content": "设 $\\alpha \\in\\{-1,1, \\dfrac{1}{2}, 3\\}$, 则使函数 $y=x^\\alpha$ 的定义域为 $\\mathbf{R}$ 且为奇函数的所有 $\\alpha$ 的值为\\bracket{20}.\n\\fourch{$1,3$}{$-1,1$}{$-1,3$}{$-1,1,3$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -603316,7 +603580,9 @@ "id": "031509", "content": "设命题 $p$: $x>2$ 是 $x^2>4$ 的充要条件, 命题 $q$: 若 $\\dfrac{a}{c^2}>\\dfrac{b}{c^2}$, 则 $a>b$, 则\\bracket{20}.\n\\twoch{$p$ 与 $q$ 至少有一个为真命题}{$p$ 与 $q$ 均为真命题}{$p$ 为真命题 $q$ 为假命题}{$p, q$ 均为假命题}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -603336,7 +603602,9 @@ "id": "031510", "content": "已知向量 $\\overrightarrow{a}=(2,3)$, $\\overrightarrow{b}=(-1,2)$, 若 $m \\overrightarrow{a}+n \\overrightarrow{b}$ 与 $\\overrightarrow{a}-2 \\overrightarrow{b}$ 共线, 则 $\\dfrac{m}{n}$ 等于\\bracket{20}.\n\\fourch{$-\\dfrac{1}{2}$}{$\\dfrac{1}{2}$}{$-2$}{$2$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -603378,7 +603646,9 @@ "id": "031512", "content": "设函数 $f(x)=\\mathrm{e}^x-\\mathrm{e}^{-x}$.\\\\\n(1) 证明: $f(x)$ 的导数 $f'(x) \\geq 2$;\\\\\n(2) 若对所有 $x \\geq 0$ 都有 $f(x) \\geq a x$, 求 $a$ 的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -603398,7 +603668,9 @@ "id": "031513", "content": "设常数 $t>2$, 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 已知点 $F(2,0)$, 直线 $l: x=t$, 曲线 $\\Gamma: y^2=8 x$($0 \\leq x \\leq t$, $y \\geq 0$), $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、与 $\\Gamma$ 交于 $B$, $P, Q$ 分别是 $\\Gamma$ 与线段 $AB$ 上的动点.\\\\\n(1) 用 $t$ 表示点 $B$ 到点 $F$ 的距离;\\\\\n(2) 设 $t=3$, $|FQ|=2$, 线段 $OQ$ 的中点在直线 $FP$ 上, 求 $\\triangle AQP$ 的面积;\\\\\n(3) 设 $t=8$, 是否存在以 $FP, FQ$ 为邻边的矩形 $FPEQ$, 使得点 $E$ 在 $\\Gamma$ 上? 若存在, 求点 $P$ 的坐标, 若不存在, 说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -603594,7 +603866,9 @@ "id": "031522", "content": "如图, 测量河对岸的塔高 $AB$ 时, 可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测点 $C$ 与 $D$. 测得 $\\angle BCD=15^{\\circ}$, $\\angle BDC=30^{\\circ}$, $CD=30$ 米, 并在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60^{\\circ}$, 则 $BC=$\\blank{50}米, 塔高 $AB=$\\blank{50}米.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (-2,0) node [left] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (-0.6,-0.6) node [below] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (0,1.5) node [above] {$A$} coordinate (A);\n\\filldraw (A) --++ (-0.1,-1.5) --++ (0.2,0) -- cycle;\n\\draw [dashed] (A)--(C)(C)--(B)(B)--(D);\n\\draw (C)--(D);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -603636,7 +603910,9 @@ "id": "031524", "content": "已知 $a, b, c$ 都是实数, 若函数 $f(x)=\\begin{cases}x^2,& x \\leq a,\\\\\\dfrac{1}{x}+b,& a36$ 成立, 则当 $k \\geq 7$ 时, 均有 $f(k)>k^2$ 成立}{若 $f(7)=50$ 成立, 则当 $k \\leq 7$ 时,均有 $f(k)>k^2$ 成立}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -603786,7 +604064,9 @@ "id": "031531", "content": "倾斜角为 $\\alpha$ 的直线经过抛物线 $y^2=8 x$ 的焦点 $F$, 且与抛物线交于 $A$、$B$ 两点.\\\\\n(1) 求抛物线的焦点 $F$ 的坐标及准线 $l$ 的方程;\\\\\n(2) 若 $\\alpha$ 为锐角, 作线段 $AB$ 的垂直平分线 $m$ 交 $x$ 轴于点 $P$, 证明: $|FP|-|FP| \\cos 2 \\alpha$ 为定值, 并求此定值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -603850,7 +604130,9 @@ "id": "031534", "content": "已知角 $\\varphi$ 的终边经过点 $P(1,-2)$, 函数 $f(x)=\\sin (\\omega x+\\varphi)$($\\omega>0$) 图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 $\\dfrac{\\pi}{3}$, 则 $f(\\dfrac{\\pi}{12})=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -603958,7 +604240,9 @@ "id": "031539", "content": "若直线 $(a^2+2 a) x-y+1=0$ 的倾斜角为钝角, 则实数 $a$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -604000,7 +604284,9 @@ "id": "031541", "content": "某市高三数学抽样考试中, 对 90 分及其以上的成绩情况进行统计, 其频率分布直方图如图所示, 若 $(130,140]$ 分数段的人数为 90 人, 则 $(90,100]$ 分数段的人数为\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, xscale = 0.06, yscale = 70]\n\\draw [->] (80,0) -- (82,0) -- (83,0.0025) -- (85,-0.0025)-- (86,0) -- (150,0) node [below] {分数};\n\\draw [->] (80,0) -- (80,0.055) node [left] {$\\dfrac{\\text{频率}}{\\text{组距}}$};\n\\draw (80,0) node [below left] {$O$};\n\\foreach \\i/\\j in {90/0.045,100/0.025,110/0.015,120/0.010,130/0.005}\n{\\draw (\\i,0) node [below] {$\\i$} --++ (0,\\j) --++ (10,0) --++ (0,-\\j);};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {90/0.045,100/0.025,110/0.015,120/0.010,130/0.005}\n{\\draw [dashed] (\\i,\\j) -- (80,\\j) node [left] {$\\k$};};\n\\draw (140,0) node [below] {$140$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -604020,7 +604306,9 @@ "id": "031542", "content": "已知点 $O$ 是 $\\triangle ABC$ 的外接圆圆心, 且 $AB=3$, $AC=4$, 若存在非零实数 $x, y$, 使得 $\\overrightarrow{AO}=x \\overrightarrow{AB}+y \\overrightarrow{AC}$, 且 $x+y=1$, 则 $\\cos \\angle BAC=$\\blank{50}.", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -604662,7 +604966,9 @@ "id": "031572", "content": "已知向量 $\\overrightarrow{OA}=(3,-2)$, $\\overrightarrow{OB}=(-5,-1)$, 则向量 $\\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{AB}$ 的坐标是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -604682,7 +604988,9 @@ "id": "031573", "content": "若 $00\\end{cases}$ ($a$ 是常数且 $a>0$), 对于下列命题: \\textcircled{1} 函数 $f(x)$ 的最小值是 -1 ; \\textcircled{2} 函数 $f(x)$ 在 $\\mathbf{R}$ 上存在反函数; \\textcircled{3} 对任意 $x_1<0$, $x_2<0$ 且 $x_1 \\neq x_2$, 恒有 $f(\\dfrac{x_1+x_2}{2})<\\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$. 其中正确命题的序号是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -604849,7 +605165,9 @@ "id": "031581", "content": "$a=0$ 是直线 $a x+(2 a-1) y+1=0$ 和直线 $3 x+a y+3=0$ 垂直的\\bracket{20}.\n\\twoch{充分而不必要条件}{必要而不充分条件}{充分条件}{既不充分又不必要条件}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -604935,7 +605253,9 @@ "id": "031585", "content": "设向量 $\\overrightarrow{a}=(x, 2)$, $\\overrightarrow{b}=(x+n, 2 x-1)(n$ 是正整数 $)$, 函数 $y=\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}$ 在 $x \\in[0,1]$ 上的最小值与最大值的和为 $a_n$, 又数列 $\\{b_n\\}$ 满足 $b_1=1$, $b_1+b_2+\\cdots+b_n=(\\dfrac{9}{10})^{n-1}$.\\\\\n(1) 求证: $a_n=n+1$;\\\\\n(2) 求数列 $\\{b_n\\}$ 的通项公式;\\\\\n(3) 设 $c_n=-a_n \\cdot b_n$, 试问数列 $\\{c_n\\}$ 中, 是否存在正整数 $k$, 使得对于任意的正整数 $n$, 都有 $c_n \\leq c_k$ 成立? 若存在, 求出所有满足条件的 $k$ 的值; 若不存在, 请说明理由.", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -605255,7 +605583,9 @@ "id": "031600", "content": "某一批花生种子, 如果每 $1$ 粒发芽的概率为 $\\dfrac{4}{5}$, 那么种下 $4$ 粒种子恰有 $2$ 粒发芽的概率是\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\dfrac{16}{625}$}{$\\dfrac{96}{625}$}{$\\dfrac{192}{625}$}{$\\dfrac{256}{625}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -605275,7 +605605,9 @@ "id": "031601", "content": "有一位同学写了这样一个不等式: $\\dfrac{x^2+1+c}{\\sqrt{x^2+c}}\\geq \\dfrac{1+c}{\\sqrt{c}}$($x \\in \\mathbf{R}$), 他发现, 当 $c=1,2,3$ 时, 不等式对一切实数 $x$ 都成立, 由此他作出如下猜测: \\textcircled{1} 当 $c$ 为所有正整数时, 不等式对一切实数 $x$ 都成立; \\textcircled{2} 只存在有限个正整数 $c$, 对 $x \\in \\mathbf{R}$ 不等式都成立; \\textcircled{3} 当 $c \\geq 1$ 时, 不等式对一切 $x \\in \\mathbf{R}$ 都成立; \\textcircled{4} 当 $c>0$ 时, 不等式对一切 $x \\in \\mathbf{R}$ 都成立. 则正确的是\\bracket{20}.\n\\fourch{\\textcircled{1}\\textcircled{3}}{\\textcircled{2}}{\\textcircled{1}\\textcircled{3}\\textcircled{4}}{\\textcircled{4}}", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -607572,7 +607985,9 @@ "id": "031709", "content": "若函数 $f(x)=x^3-a x$($a>0$) 的零点都在区间 $[-10,10]$ 上, 则使得方程 $f(x)=1000$ 有正整数解的实数 $a$ 的取值个数为\\bracket{20}.\n\\fourch{$1$}{$2$}{$3$}{$4$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -607592,7 +608007,9 @@ "id": "031710", "content": "提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下, 大桥上的车流速度 $v$ (单位: 千米/小时) 是车流密度 $x$ (单位: 辆/千米) 的函数. 当桥上的车流密度达到 $200$ 辆/千米时, 造成堵塞, 此时车流速度为 $0$; 当车流密度不超过 $20$ 辆/千米时, 车流速度为 $60$ 千米/小时. 研究表明: 当 $20 \\leq x \\leq 200$ 时, 车流速度 $v$ 是车流密度 $x$ 的一次函数.\\\\\n(1) 当 $0 \\leq x \\leq 200$ 时,求函数 $v(x)$ 的表达式;\\\\\n(2) 当车流密度 $x$ 为多大时, 车流量 (单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, 单位: 辆/小时) $f(x)=x \\cdot v(x)$ 可以达到最大, 并求出最大值. (精确到 $1$ 辆/小时)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -607700,7 +608117,10 @@ "id": "031715", "content": "若 $\\sin 2 \\theta-1+\\mathrm{i}(\\sqrt{2}\\cos \\theta+1)$ 是纯虚数, 则 $\\theta$ 的值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元", + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -607720,7 +608140,9 @@ "id": "031716", "content": "函数 $f(x)=|\\log _a x|$($00,\\end{cases}$ 则 $f[f(-3)]=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -608274,7 +608713,9 @@ "id": "031742", "content": "已知直线 $a, b$ 分别在两个不同的平面 $\\alpha, \\beta$ 内. 则``直线 $a$ 和直线 $b$ 相交''是``平面 $\\alpha$ 和平面 $\\beta$ 相交''的\\bracket{20}.\n\\twoch{充分不必要条件}{必要不充分条件}{充要条件}{既不充分也不必要条件}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -608294,7 +608735,9 @@ "id": "031743", "content": "已知数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 则``数列 $\\{\\dfrac{S_n}{n}\\}$ 为等差数列''\"是``数列 $\\{a_n\\}$ 为等差数列''的\\bracket{20}.\n\\twoch{充分不必要条件}{必要不充分条件}{充分必要条件}{既不充分也不必要条件}", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -608376,7 +608823,9 @@ "id": "031747", "content": "已知直线 $l: y=-x+3$ 与椭圆 $C: m x^2+n y^2=1$($n>m>0$) 相切于点 $P(2,1)$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$}; \n\\draw [name path = elli] (0,0) ellipse ({sqrt(6)} and {sqrt(3)});\n\\draw (1.1,1.9) node [above] {$l$} -- (2,1) node [above right] {$P$} coordinate (P) -- (2.9,0.1);\n\\draw [name path = l1] ({-2+1/3},2) node [above] {$l'$} -- ({2+1/3},-2);\n\\draw [name intersections = {of = l1 and elli, by = {A,B}}];\n\\draw (A) node [above] {$A$} --(P)--(B) node [below] {$B$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程;\\\\\n(2) 若直线 $l': y=-x+b$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 且 $PA \\perp PB$, 求 $b$ 的值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -608440,7 +608889,9 @@ "id": "031750", "content": "设直线 $2 x+m y=1$ 的倾斜角为 $\\alpha$, 若 $m \\in(-\\infty,-2 \\sqrt{3}) \\cup[2,+\\infty)$, 则角 $\\alpha$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -608504,7 +608955,9 @@ "id": "031753", "content": "某小区共有住户 $2000$ 人, 其中老年人 $600$ 人, 中年人 $1000$ 人, 其余为青少年等人群, 为了调查该小区的新冠疫苗接种情况, 现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 $400$ 的样本, 则样本中中年人的人数为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -608634,7 +609087,9 @@ "id": "031759", "content": "在棱长为 2 的正四面体木块 $ABCD$ 的棱 $AB$ 上有一点 $P$($PA<1$), 过点 $P$ 要锯出与棱 $AB$ 垂直的四面体的截面, 当锯到某个位置因故停止, 这时量得在面 $ABD$ 上的锯痕 $PM=1$, 表面 $ABC$ 上的锯痕 $PN=\\dfrac{1}{3}$, 则锯缝 $MN=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -608676,7 +609131,9 @@ "id": "031761", "content": "$M(x_0, y_0)$ 为圆 $x^2+y^2=a^2$($a>0$) 内异于圆心的一点, 则直线 $x_0 x+y_0 y=a^2$ 与该圆的位置关系为\\bracket{20}.\n\\fourch{相切}{相交}{相离}{相切或相交}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -608696,7 +609153,9 @@ "id": "031762", "content": "从分别标有 $1,2, \\cdots, 9$ 的 $9$ 张卡片中不放回地随机抽取 $2$ 次, 每次抽取 $1$ 张. 则抽到的 $2$ 张卡片上的数奇偶性不同的概率是\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\dfrac{5}{18}$}{$\\dfrac{4}{9}$}{$\\dfrac{5}{9}$}{$\\dfrac{7}{9}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -608760,7 +609219,9 @@ "id": "031765", "content": "已知 $\\triangle ABC$ 的顶点 $A, B$ 在椭圆 $x^2+3 y^2=4$ 上, $C$ 在直线 $l: y=x+2$ 上, 且 $AB \\parallel l$.\\\\\n(1) 当 $AB$ 边通过坐标原点 $O$ 时,求 $AB$ 的长及 $\\triangle ABC$ 的面积;\\\\\n(2) 当 $\\angle ABC=90^{\\circ}$, 且斜边 $AC$ 的长最大时, 求 $AB$ 所在直线的方程.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -608934,7 +609395,9 @@ "id": "031773", "content": "如图, 将一根直径为 $d=54 \\mathrm{cm}$ 的圆木锯成截面为矩形的梁, 矩形的高为 $h \\mathrm{cm}$, 宽为 $b \\mathrm{cm}$, 则当 $b=$\\blank{50}$\\mathrm{cm}$ 时, 该梁的抗弯强度 $W=\\dfrac{1}{6}b h^2$ 取得最大值.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [dashed] (0,0) circle (1);\n\\filldraw (0,0) circle (0.03) node [left] {$d$};\n\\draw (230:1) rectangle (50:1);\n\\draw [dashed] (50:1) -- (230:1);\n\\draw ({cos(50)},0) node [right] {$h$};\n\\draw (0,{-sin(50)}) node [above] {$b$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -608954,7 +609417,9 @@ "id": "031774", "content": "已知 $f(x)=\\sin x \\cos x$, 关于该函数有下面四个说法:\\\\ \\textcircled{1} $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \\pi$;\\\\\n\\textcircled{2} $f(x)$ 是区间 $[-\\dfrac{\\pi}{4}, \\dfrac{\\pi}{4}]$ 上的严格增函数;\\\\\n\\textcircled{3} 当 $x \\in[-\\dfrac{\\pi}{6}, \\dfrac{\\pi}{3}]$ 时, $f(x)$ 的取值范围为 $[-\\dfrac{\\sqrt{3}}{4}, \\dfrac{\\sqrt{3}}{4}]$;\\\\\n\\textcircled{4} $f(x)$ 的图像可由 $g(x)=\\dfrac{1}{2}\\sin (2 x+\\dfrac{\\pi}{4})$ 的图像向右平移 $\\dfrac{\\pi}{8}$ 个单位长度得到.\\\\\n以上四种说法中, 正确结论的序号为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -608996,7 +609461,10 @@ "id": "031776", "content": "已知 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$($x_1 \\neq x_2$) 是双曲线 $x^2-y^2=1$ 上位于第一象限的任意两点, 且 $y_2-y_1=t(x_2-x_1)$, 则函数 $f(t)=\\dfrac{2^t-1}{2^t+1}$ 的值域为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元", + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -609016,7 +609484,9 @@ "id": "031777", "content": "已知等差数列 $\\{a_n\\}$ 的公差 $d$ 不为零, 等比数列 $\\{b_n\\}$ 的公比 $q$ 是小于 1 的正有理数, 若 $a_1=d$, $b_1=d^2$, 且 $\\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{b_1+b_2+b_3}$ 是正整数, 则 $q=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -609036,7 +609506,10 @@ "id": "031778", "content": "已知 $\\alpha$ 是直线 $l$ 的倾斜角, 则``$\\cos \\alpha=\\dfrac{1}{2}$''是``$\\alpha=\\dfrac{\\pi}{3}$''的\\bracket{20}.\n\\twoch{充分不必要条件}{必要不充分条件}{充要条件}{既不充分又不必要条件}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元", + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -609144,7 +609617,9 @@ "id": "031783", "content": "如图, 某市拟在长为 $10 \\mathrm{km}$ 的道路 $OP$ 的一侧修建一条运动赛道, 赛道的前一部分为曲线段 $OSM$, 该曲线段为函数 $y=4 \\sin \\omega x(\\omega>0)$, $x \\in[0,4]$ 图像, 且图像的最高点为 $S(3,4)$, 赛道的后一部分为折线段 $MNP, \\angle MNP=120^{\\circ}$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[scale=0.5,samples=200,>=latex]\n\\draw [->] (-1,0) -- (11,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,4.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain=0:4] plot (\\x,{4*sin(\\x*30)});\n\\draw (3,4) node [above]{$S$};\n\\draw (4,{2*sqrt(3)}) node [above] {$M$} coordinate (M);\n\\draw (10,0) node [below] {$P$} coordinate (P);\n\\coordinate (D) at ($(4,3)!{2/sqrt(3)*sin(40)}!(8,0)$);\n\\path (P) arc (0:20:4) coordinate (N);\n\\draw (M) --(N) node [above right] {$N$}--(10,0);\n\\draw [dashed] (3,0) node [below] {$3$} --++ (0,4) --++ (-3,0) node [left] {$4$};\n\\draw [dashed] (M) -- (4,0) node [below] {$4$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求 $\\omega$ 的值和 $M, P$ 两点间的距离;\\\\\n(2) 求折线段赛道 $MNP$ 长度的最大值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -609164,7 +609639,9 @@ "id": "031784", "content": "已知椭圆 $E: \\dfrac{x^2}{8}+\\dfrac{y^2}{4}=1$ 的左焦点为 $F$, 下顶点为 $A$, 斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过点 $P(0,-3)$.\\\\\n(1) 若 $l$ 与直线 $AF$ 垂直, 求 $l$ 的方程;\\\\\n(2) 若直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于不同的两点 $B, C$, 直线 $AB, AC$ 分别与直线 $y=-3$ 交于 $M, N$, 且 $|PM|+|PN| \\leq 16$, 求 $k$ 的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -609206,7 +609683,9 @@ "id": "031786", "content": "已知无穷数列 $\\{a_n\\}$ 的每一项均为正整数, 且 $a_{n+1}=\\begin{cases}\\dfrac{a_n}{2},& a_n \\text{是偶数},\\\\a_n+3,& a_n \\text{是奇数},\\end{cases}$ 记 $\\{a_n\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.\\\\\n(1) 若 $a_1=20$, 求 $S_{10}$ 的值;\\\\\n(2) 若 $S_3=23$, 求 $a_1$ 的值;\\\\\n(3) 证明: 数列 $\\{a_n\\}$ 中存在某一项 $a_i$ ($i$ 为正整数), 满足 $a_i \\leq 6$, 并由此验证 $1$ 或 $3$ 是数列 $\\{a_n\\}$ 中的项.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -609270,7 +609749,9 @@ "id": "031789", "content": "函数 $f(x)=\\cos ^2 x$ 的最小正周期为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -609312,7 +609793,9 @@ "id": "031791", "content": "若实数 $a, b$ 满足 $a+b=2$, 则 $3^a+3^b$ 的最小值是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -609420,7 +609903,9 @@ "id": "031796", "content": "在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 点 $A$、$B$ 在抛物线 $y^2=4 x$ 上, 满足 $\\overrightarrow{OA}\\cdot \\overrightarrow{OB}=-4, F$ 是抛物线的焦点,则 $S_{\\triangle OFA}\\cdot S_{\\triangle OFB}=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -609462,7 +609947,10 @@ "id": "031798", "content": "定义: $\\displaystyle\\prod_{i=1}^n x_i=x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\cdots \\cdot x_n$, 其中 $n$ 为正整数. 已知 $a_1=\\dfrac{\\pi}{6}$, $a_n \\in(0, \\dfrac{\\pi}{2})$ 且 $\\tan ^2 a_{n+1}=\\tan ^2 a_n+1$, $n$ 为正整数,若 $\\displaystyle\\prod_{i=1}^m \\sin \\alpha_k=\\dfrac{1}{10}$, 则 $m=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元", + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -609482,7 +609970,9 @@ "id": "031799", "content": "函数 $f(x)=a^x$($a>0$ 且 $a \\neq 1$) 对于任意的实数 $x, y$ 都有\\bracket{20}.\n\\fourch{$f(x y)=f(x) f(y)$}{$f(x y)=f(x)+f(y)$}{$f(x+y)=f(x) f(y)$}{$f(x+y)=f(x)+f(y)$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -609502,7 +609992,9 @@ "id": "031800", "content": "若 $A$、$B$ 是 $x$ 轴上的两点, 点 $P$ 的横坐标为 $2$ 且 $|PA|=|PB|$. 若直线 $PA$ 的方程为 $x-y+1=0$, 则直线 $PB$ 的方程是\\bracket{20}.\n\\fourch{$x+y-5=0$}{$2 x-y-1=0$}{$2 y-x-4=0$}{$2 x+y-7=0$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -609522,7 +610014,9 @@ "id": "031801", "content": "无穷等比数列 $\\{a_n\\}$ 的公比为 $q$, 前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $\\displaystyle\\sum_{n=1}^{+\\infty}a_n=S$, 下列条件中, 使得 $2S_n0$, $0.60$, $0.7x$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -609604,7 +610103,10 @@ "id": "031805", "content": "某农场有一块农田, 如图所示, 它的边界由圆 $O$ 的一段圆弧 $MPN$ ($P$ 为此圆弧的中点) 和线段 $MN$ 构成, 已知圆 $O$ 的半径为 40 米, 点 $P$ 到 $MN$ 的距离为 50 米, 先规划在此农田上修建两个温室大棚, 大棚 I 内的地块形状为矩形 $ABCD$, 大棚 II 内的地块形状为 $\\triangle CDP$, 要求 $A, B$ 均在线段 $MN$ 上, $C, D$ 均在圆弧上. 设 $OC$ 与 $MN$ 所成的角为 $\\theta$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (2, 0) coordinate (R) arc (0: 180: 2) coordinate (L);\n\\draw (R) arc (0: {-asin(0.25)}: 2) node [right] {$N$} coordinate (N);\n\\draw (L) arc (180: {180+asin(0.25)}: 2) node [left] {$M$} coordinate (M);\n\\draw (0, 0) node [below left] {$O$} coordinate (O);\n\\draw [dashed] (-2, 0) -- (2, 0) (0, 2) node [above] {$P$} coordinate (P) -- ($(M)!(P)!(N)$);\n\\draw (40: 2) node [above right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (140: 2) node [above left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw ($(M)!(C)!(N)$) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw ($(M)!(D)!(N)$) node [below] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (M) -- (N);\n\\draw (A) -- (D) -- (C) -- (B);\n\\draw (C) -- (P) -- (D) (O) -- (C);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 用 $\\theta$ 分别表示矩形 $ABCD$ 和 $\\triangle CDP$ 的面积, 并确定 $\\sin \\theta$ 的取值范围;\\\\\n(2) 若大棚 I 内种植甲种蔬菜, 大棚 II 内种植乙种蔬菜, 且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4: 3$. 求当 $\\theta$ 为何值时, 能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -609646,7 +610148,9 @@ "id": "031807", "content": "设数列 $A$: $a_1, a_2, \\cdots, a_N$($N \\geq 2$), 如果对小于 $n$($2 \\leq n \\leq N$) 的每个正整数 $k$ 都有 $a_k< a_n$, 则称 $n$ 是数列 $A$ 的一个``$G$ 点''. 记 $G(A)$ 是数列 $A$ 的所有``$G$ 点''组成的集合.\\\\\n(1) 对数列 $A$: $-3,-1,3,2,6,0$, 写出 $G(A)$ 的所有元素;\\\\\n(2) 若数列 $A$: $a_1, a_2, \\cdots, a_{100}$, 满足 $a_n=\\begin{cases}3n-1,& n \\text{为奇数},\\\\2^n,& n \\text{为偶数},\\end{cases}$ 求 $G(A)$ 的所有元素之和;\\\\\n(3) 证明: 若数列 $A$ 满足 $a_n-a_{n-1}\\leq 1$($n=2,3, \\cdots, N$), 则 $G(A)$ 的元素个数不小于 $a_N-a_1$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -609732,7 +610236,9 @@ "id": "031811", "content": "在大小相同的 6 个球中, 2 个是红球, 4 个是白球, 若从中任意选取 3 个, 则所选的 3 个球中至少有一个红球的概率是\\blank{50}(结果用分数表示).", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -609775,7 +610281,9 @@ "id": "031813", "content": "若 $x_1$、$x_2$ 为方程 $2^x=(\\dfrac{1}{2})^{-\\frac{1}{x}+1}$ 的两个实数解, 则 $x_1+x_2=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -609861,7 +610369,9 @@ "id": "031817", "content": "关于函数 $f(x)=\\lg \\dfrac{x}{x^2+1}$, 有下列结论: \\textcircled{1} 函数 $f(x)$ 的定义域是 ($0,+\\infty$); \\textcircled{2} 函数 $f(x)$ 是奇函数; \\textcircled{3} 函数 $f(x)$ 的最小值为 $-\\lg 2$; \\textcircled{4} 当 $01$ 时,函数 $f(x)$ 是减函数. 其中正确结论的序号是\\blank{50}. (写出所有你认为正确的结论的序号)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -609881,7 +610391,9 @@ "id": "031818", "content": "方程 $|a x-1|=x$ 的解集为 $A$, 若 $A \\subset[0,2]$, 则实数 $a$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -609989,7 +610501,9 @@ "id": "031823", "content": "设函数 $f(x)=a_1 \\cdot \\sin (x+\\alpha_1)+a_2 \\cdot \\sin (x+\\alpha_2)+\\cdots+a_n \\cdot \\sin (x+\\alpha_n)$, 其中 $a_i, \\alpha_i (i=1,2, \\cdots, n \\in \\mathbf{N}, n \\geq 2$) 为已知实常数, $x \\in \\mathbf{R}$. 下列关于函数 $f(x)$ 的性质判断正确的个数是\\bracket{20}.\\\\\n\\textcircled{1} 若 $f(0)=f(\\dfrac{\\pi}{2})=0$, 则 $f(x)=0$ 对任意实数 $x$ 恒成立;\\\\\n\\textcircled{2} 若 $f(0)=0$, 则函数 $f(x)$ 为奇函数;\\\\\n\\textcircled{3} 若 $f(\\dfrac{\\pi}{2})=0$, 则函数 $f(x)$ 为偶函数;\\\\\n\\textcircled{4} 当 $f^2(0)+f^2(\\dfrac{\\pi}{2}) \\neq 0$ 时, 若 $f(x_1)=f(x_2)=0$, 则 $x_1-x_2=k \\pi$($k \\in \\mathbf{Z}$)\n\\fourch{$4$}{$3$}{$2$}{$1$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -610053,7 +610567,9 @@ "id": "031826", "content": "某项选拔共有三轮考核, 每轮设有一个问题, 能正确回答问题者进人下一轮考试, 否则即被淘汰, 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 $\\dfrac{4}{5}$、$\\dfrac{3}{5}$、$\\dfrac{2}{5}$, 且各轮问题能否正确回答互不影响.\\\\\n(1) 求该选手被淘汰的概率;\\\\\n(2) 该选手在选拔中回答问题的个数记为 $\\xi$, 求随机变量 $\\xi$ 的分布列与期望. (注: 本小题结果可用分数表示)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -610095,7 +610611,9 @@ "id": "031828", "content": "在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 曲线 $C$ 上的点 $S(x, y)$ 到点 $M(\\sqrt{3}, 0)$ 的距离与它到直线 $x= \\dfrac{4}{\\sqrt{3}}$ 的距离之比为 $\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, 圆 $O$ 的方程为 $x^2+y^2=4$, 曲线 $C$ 与 $x$ 轴的正半轴的交点为 $A$, 过原点 $O$ 且异于坐标轴的直线与曲线 $C$ 交于 $B, C$ 两点, 直线 $AB$ 与圆 $O$ 的另一交点为 $P$, 直线 $PD$ 与圆 $O$ 的另一交点为 $Q$, 其中 $D(-\\dfrac{6}{5}, 0)$, 设直线 $AB, AC$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$.\\\\\n(1) 求曲线 $C$ 的方程, 并证明 $S(x, y)$ 到点 $M$ 的距离 $d \\in[2-\\sqrt{3}, 2+\\sqrt{3}]$;\\\\\n(2) 求 $k_1 k_2$ 的值;\\\\\n(3) 记直线 $PQ, BC$ 的斜率分别为 $k_{PQ}, k_{BC}$, 是否存在常数 $\\lambda$, 使得 $k_{PQ}=\\lambda k_{BC}$ ? 若存在, 求 $\\lambda$ 的值;若不存在, 说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -610270,7 +610788,9 @@ "id": "031836", "content": "将 6 名冬奥会志愿者分配到花样滑冰、冰球和冰壶等 5 个不同项目进行培训, 每名志愿者只分配到 1 个项目, 每个项目至少分配 1 名志愿者, 则不同的分配方案共有\\blank{50}种.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -610334,7 +610854,9 @@ "id": "031839", "content": "设函数 $f(x)=\\cos x+\\log _2 x$($x>0$), 若正实数 $a$ 满足 $f(a)=f(2 a)$, 则 $f(2 a)-f(4 a)=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -610354,7 +610876,9 @@ "id": "031840", "content": "设正整数 $n=a_0 \\cdot 2^0+a_1 \\cdot 2+\\cdots+a_{k-1}\\cdot 2^{k-1}+a_k \\cdot 2^k$, 其中 $a_i \\in\\{0,1\\}$, $i=0,1,2, \\cdots, k$, 记 $\\omega(n)=a_0+a_1+\\cdots a_k$. 给出下列结论: \\textcircled{1} $\\omega(2 n)=\\omega(n)$; \\textcircled{2} $\\omega(2 n+3)=\\omega(n)+1$; \\textcircled{3} $\\omega(8 n+5)=\\omega(4 n+3)$; \\textcircled{4} $\\omega(2^n-1)=n$. 其中正确结论的序号为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -610396,7 +610920,9 @@ "id": "031842", "content": "已知曲线 $\\Gamma$ 的普通方程为: $x^2+y^2=4$($x \\leq 0$, $y \\geq 0$), 则曲线 $\\Gamma$ 的参数方程为\\bracket{20}.\n\\twoch{$\\begin{cases}x=2 \\cos \\theta,\\\\y=2 \\sin \\theta,\\end{cases} \\theta \\in[0, \\pi]$}{$\\begin{cases}x=2 \\sin \\theta,\\\\y=2 \\cos \\theta,\\end{cases}\\theta \\in[0, \\pi]$}{$\\begin{cases}x=2 \\sin \\theta,\\\\y=2 \\cos \\theta,\\end{cases}\\theta \\in[\\dfrac{\\pi}{2}, \\pi]$}{$\\begin{cases}x=2 \\cos \\theta,\\\\y=2 \\sin \\theta,\\end{cases}\\theta \\in[\\dfrac{\\pi}{2}, \\pi]$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -610438,7 +610964,10 @@ "id": "031844", "content": "等差数列 $a_1, a_2, \\cdots, a_n$($n \\in \\mathbf{N}$, $n \\geq 3$) 满足 $|a_1|+|a_2|+\\cdots+|a_n|=|a_1+1|+|a_2+1| +\\cdots+|a_n+1|=|a_1-2|+|a_2-2|+\\cdots+|a_n-2|=2019$, 则\\bracket{20}.\n\\fourch{$n$ 的最大值为 $50$}{$n$ 的最小值为 $50$}{$n$ 的最大值为 $51$}{$n$ 的最小值为 $51$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元", + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -610502,7 +611031,9 @@ "id": "031847", "content": "如图, 有一块边长为 $3 \\mathrm{m}$ 的正方形铁皮 $ABCD$, 其中阴影部分 $ATN$ 是一个半径为 $2 \\mathrm{m}$ 的扇形, 设这个扇形部分已经腐蚀不能使用, 但其余部分均完好. 工人师傅想在末腐蚀的部分截下一块其边落在 $BC$ 与 $CD$ 上的矩形铁皮 $PQCR$, 其中点 $P$ 在圆弧 $NT$ 上. 设 $\\angle TAP=\\theta$, 矩形 $PQCR$ 的面积为 $S \\mathrm{m}^2$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}\n\\begin{scope}[even odd rule]\n\\clip (0,0) rectangle (3,3) (0.55,0.15) circle (0.15);\n\\fill [gray!30] (0,0) -- (2,0) arc (0:90:2) -- cycle;\n\\end{scope}\n\\draw (0,0) node [below left] {$A$} -- (3,0) node [below right] {$B$} -- (3,3) node [above right] {$C$} -- (0,3) node [above left] {$D$} -- cycle;\n\\draw (0,0) -- (40:2) node [above right] {$P$} -- (3,{2*sin(40)}) node [right] {$Q$} (40:2) -- ({2*cos(40)},3) node [above] {$R$};\n\\draw (0,0) -- (2,0) node [below] {$T$} arc (0:90:2) node [left] {$N$} -- cycle;\n\\draw (0.4,0) arc (0:40:0.4) (0.55,0.15) node {$\\theta$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求 $S$ 关于 $\\theta$ 的函数表达式;\\\\\n(2) 求 $S$ 的最大值及取最大值时 $\\theta$ 的值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -610522,7 +611053,9 @@ "id": "031848", "content": "在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 已知椭圆 $E: \\dfrac{x^2}{a^2}+\\dfrac{y^2}{5}=1$($a>\\sqrt{5}$) 的左. 右顶点为 $A$, $B$, $G$ 为 $E$ 的上项点, $\\overrightarrow{AG}\\cdot \\overrightarrow{GB}=4$. 设过点 $T(t, m)$ 的直线 $TA, TB$ 与椭圆分别交于点 $M(x_1, y_1)$, $N(x_2, y_2)$, 其中 $y_1>0$, $y_2<0$, $m>0$.\\\\\n(1) 求椭圆 $E$ 的右焦点 $F$ 的坐标;\\\\\n(2) 设 $x_1=2$, $x_2=\\dfrac{1}{3}$, 求点 $T$ 的坐标;\\\\\n(3) 若点 $T$ 为直线 $x=9$ 上的动点,求证: 直线 $MN$ 必过 $x$ 轴上的定点 $D(1,0)$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -610542,7 +611075,9 @@ "id": "031849", "content": "设数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$. 若对于任意的正整数 $n$, 都有 $\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\in[\\dfrac{1}{2}, 2]$, 则称数列 $\\{a_n\\}$ 是``$M$ 型数列''.\\\\\n(1) 若 $\\{a_n\\}$ 是``$M$ 型数列'', 且 $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=m$, $a_4=5$, 求 $m$ 的取值范围;\\\\\n(2) 若数列 $\\{a_n\\}$ 为等差数列, 公差为 $d$, 且 $02$.\\\\\n其中正确的序号为\\blank{50}.(填写出所有假设正确的序号)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -610756,7 +611295,9 @@ "id": "031859", "content": "对于函数 $f(x)$, 若在定义域 $D$ 上存在实数 $x$, 满足 $f(-x)=-f(x)$, 则称 $f(x)$ 为 $D$ 上``局部奇函数''. 已知 $f(x)=2^x+m$ 是定义在 $[-1,1]$ 上的``局部奇函数'', 则实数 $m$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -610820,7 +611361,9 @@ "id": "031862", "content": "直线 $l_1: x+a y+2=0$ 和直线 $l_2:(a-2) x+3 y+6 a=0$, 则``$a=3$''是``$l_1 \\parallel l_2$''的\\bracket{20}.\n\\twoch{充分非必要条件}{必要非充分条件}{充要条件}{既非充分也非必要条件}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -610840,7 +611383,9 @@ "id": "031863", "content": "$y=x^2$ 与 $y=\\ln (x+a)$ 有一条斜率为 $2$ 的公切线, 则 $a=$\\bracket{20}.\n\\fourch{$-\\dfrac{1}{2}\\ln 2$}{$\\dfrac{1}{2}\\ln 2$}{$-\\ln 2$}{$\\ln 2$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -610860,7 +611405,10 @@ "id": "031864", "content": "下列命题正确的是\\bracket{20}.\n\\twoch{若 $a b \\neq 0$, 则 $\\dfrac{b}{a}+\\dfrac{a}{b}\\geq 2$}{若 $a<0$, 则 $a+\\dfrac{4}{a}\\geq-4$}{若 $a>0$, $b>0$, 则 $\\lg a+\\lg b \\geq 2 \\sqrt{\\lg a \\cdot \\lg b}$}{若 $x \\neq k \\pi$, $k \\in \\mathbf{Z}$, 则 $\\sin ^2 x+\\dfrac{4}{\\sin ^2 x}\\geq 5$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元", + "第三单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -610902,7 +611450,9 @@ "id": "031866", "content": "如图, $A, B$ 是单位圆 $O$ 上的动点, $C$ 是圆与 $x$ 轴正半轴的交点, 设 $\\angle COA=\\alpha$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (0,0) circle (1);\n\\draw (1,0) node [below right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0.6,0.8) node [above right] {$A$} coordinate (A);\n\\draw ({60+atan(4/3)}:1) node [above left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (0,0) -- (A)(0,0) --(B) --(C);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 当点 $A$ 的坐标为 $(\\dfrac{3}{5}, \\dfrac{4}{5})$ 时, 求 $\\dfrac{\\cos 2 \\alpha}{1+\\sin 2 \\alpha}$ 的值;\\\\\n(2) 若 $0 \\leq \\alpha \\leq \\dfrac{\\pi}{3}$, 且当点 $A, B$ 在圆上沿逆时针方向移动时, 总有 $\\angle AOB=\\dfrac{\\pi}{3}$, 试求 $BC$ 的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -610944,7 +611494,9 @@ "id": "031868", "content": "研究表明, 过量的排放会导致全球气候变暖等环境问题, 减少碳排放具有深远的意义. 中国明确提出节能减排的目标与各项措施, 在公路交通运输领域, 新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一, 中国某地区从 2015 年至 2021 年每年汽车总销量如图, 每年新能源汽车销量占比如表. (注: 汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和)\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline 年份 & 2015 & 2016 & 2017 & 2018 & 2019 & 2020 & 2021 \\\\\n\\hline 新能源汽车销量占比 & $1.5 \\%$ & $2 \\%$ & $3 \\%$ & $5 \\%$ & $8 \\%$ & $9 \\%$ & $20 \\%$ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, yscale = 0.5]\n\\draw [->] (0,0) -- (8,0) node [below] {年份};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,8) node [right] {汽车总销量(万辆)};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {2015/1/4.1,2016/2/5.6,2017/3/5.6,2018/4/5.5,2019/5/5.7,2020/6/6,2021/7/5.8}\n{\\draw (\\j,\\k) node [above] {$\\k$};\n\\draw (\\j,0) ++ (-0.3,0) --++ (0,\\k) --++ (0.6,0) --++ (0,-\\k);\n\\draw (\\j,0) node [below] {$\\i$};};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 从 2015 年至 2021 年中随机选取一年, 求这一年该地区汽车总销量不小于 $5.5$ 万辆的概率;\\\\\n(2) 从 2015 年至 2021 年随机选取两年, 设 $X$ 表示新能源汽车销量超过 $0.5$ 万辆的年份的个数,求 $X$ 的分布列和数学期望.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -610986,7 +611538,9 @@ "id": "031870", "content": "数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 若对任意的正整数 $n$, 总存在正整数 $m$, 使得 $S_n=a_m$, 则称数列 $\\{a_n\\}$ 是``$E$ 数列''.\\\\\n(1) 数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=3^n, n$ 为正整数, 判断数列 $\\{a_n\\}$ 是否为``$E$ 数列'', 并说明理由;\\\\\n(2) 数列 $\\{b_n\\}$ 是等差数列, 其首项 $b_1=1$, 公差 $d<0$, 数列 $\\{b_n\\}$ 是``$E$ 数列'', 求 $d$ 的值;\\\\\n(3) 证明: 对任意的等差数列 $\\{a_n\\}$, 总存在两个``$E$ 数列''$\\{b_n\\}$ 和 $\\{c_n\\}$, 使得 $a_n=b_n+c_n$, 对一切 $n$ 为正整数成立.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -611139,7 +611693,9 @@ "id": "031877", "content": "已知某拍卖行组织拍卖的 $10$ 幅名画中, 有 $2$ 幅是赝品. 某人在这次拍卖中随机买入了两幅画, 则此人买人的这两幅画中恰有一幅是赝品的事件的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -611159,7 +611715,9 @@ "id": "031878", "content": "已知角 $\\varphi$ 的终边经过点 $P(1,-1)$, 点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 是函数 $f(x)=\\sin (\\omega x+\\varphi) $($\\omega>0$) 图像上的任意两点, 若 $|f(x_1)-f(x_2)|=2$ 时, $|x_1-x_2|$ 的最小值为 $\\dfrac{\\pi}{3}$, 则 $f(\\dfrac{\\pi}{2})$ 的值是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -611179,7 +611737,9 @@ "id": "031879", "content": "已知圆锥底面半径与球的半径都是 $1 \\mathrm{cm}$, 如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等, 那么这个圆锥的母线长为\\blank{50}$\\mathrm{cm}$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -611199,7 +611759,9 @@ "id": "031880", "content": "函数 $f(x)=\\dfrac{1}{x-1}-2 \\sin \\pi x$ 在区间 $[-2,4]$ 上的所有零点之和等于\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -611219,7 +611781,9 @@ "id": "031881", "content": "某单位 $6$ 个员工借助互联网开展工作, 每个员工上网的概率都是 $0.5$ (相互独立), 则至少有 $3$ 人同时上网的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -611239,7 +611803,10 @@ "id": "031882", "content": "设 $M$ 是 $\\triangle ABC$ 内一点, $\\overrightarrow{AB}\\cdot \\overrightarrow{AC}=2 \\sqrt{3}$, $\\angle BAC=30^{\\circ}$, 定义 $f(M)=(m, n, p)$, 其中 $m, n, p$ 分别是 $\\triangle MBC, \\triangle MAC, \\triangle MAB$ 的面积, 若 $f(M)=(\\dfrac{1}{2}, x, y)$, $\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{4}{y}=a$ 则 $\\dfrac{a^2+2}{a}$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元", + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -611303,7 +611870,9 @@ "id": "031885", "content": "若圆柱被一平面所截, 其截面椭圆的离心率为 $\\dfrac{2 \\sqrt{2}}{3}$, 则此截面与圆柱底面所成的锐二面角的大小是\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\arcsin \\dfrac{1}{3}$}{$\\arccos \\dfrac{1}{3}$}{$\\arcsin \\dfrac{2}{3}$}{$\\arccos \\dfrac{2}{3}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -611323,7 +611892,9 @@ "id": "031886", "content": "如图所示, $f_i(x)$($i=1,2,3,4$) 是定义在 $[0,1]$ 上的四个函数, 其中满足性质:``对 $[0,1]$ 中任意的 $x_1$ 和 $x_2$, 任意 $\\lambda \\in[0,1]$, $f[\\lambda x_1+(1-\\lambda) x_2] \\leq \\lambda f(x_1)+(1-\\lambda) f(x_2)$ 恒成立''的只有\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-0.2,0) -- (1.5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-0.2) -- (0,1.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (1,0) node [below] {$1$};\n\\draw (0.65,1.3) node {$f_1(x)$};\n\\draw [domain = 0:1, samples = 100] plot (\\x,{2*(\\x-0.7)*(\\x-0.7)-0.18});\n\\end{tikzpicture}\n\\hspace*{3em}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-0.2,0) -- (1.5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-0.2) -- (0,1.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (1,0) node [below] {$1$};\n\\draw (0.65,1.3) node {$f_2(x)$};\n\\draw [domain = 0:1, samples = 100] plot (\\x,{-2*(\\x-0.7)*(\\x-0.7)+0.9});\n\\draw [dashed] (1,0.72) -- (1,0);\n\\end{tikzpicture}\n\\hspace*{3em}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-0.2,0) -- (1.5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-0.2) -- (0,1.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (1,0) node [below] {$1$};\n\\draw (0.65,1.3) node {$f_3(x)$};\n\\draw (0,0) -- (1,1);\n\\draw [dashed] (1,1) -- (1,0);\n\\end{tikzpicture}\n\\hspace*{3em}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-0.2,0) -- (1.5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-0.2) -- (0,1.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (1,0) node [below] {$1$};\n\\draw (0.65,1.3) node {$f_4(x)$};\n\\draw [domain = 0:1, samples = 100] plot (\\x,{0.5+0.5*sin(180*\\x-90)});\n\\draw [dashed] (1,1) -- (1,0);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center} \n\\fourch{$f_1(x), f_3(x)$}{$f_2(x)$}{$f_2(x), f_3(x)$}{$f_4(x)$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -611365,7 +611936,9 @@ "id": "031888", "content": "已知 $a>0$, 函数 $f(x)=\\dfrac{1-a x}{x}$, $x \\in (0,+\\infty)$. 设 $0b>0$) 的焦距与长轴长的比为 $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, $x$ 轴被曲线 $C_2: y= x^2-b$ 截得的线段长等于 $C_1$ 的短轴长. $C_2$ 与 $y$ 轴的交点为 $M$, 过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C_2$ 相交于点 $A$、$B$, 直线 $MA, MB$ 分别与 $C_1$ 相交于点 $D$、$E$.\\\\\n(1) 求 $C_1, C_2$ 的方程;\\\\\n(2) 求证: $MA \\perp MB$;\\\\\n(3) 记 $\\triangle MAB, \\triangle MDE$ 的面积分别为 $S_1$、$S_2$, 若 $\\dfrac{S_1}{S_2}=\\lambda$, 求 $\\lambda$ 的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -611425,7 +612002,9 @@ "id": "031891", "content": "已知 $\\{a_n\\}$ 是首项为 $2$, 公比为 $\\dfrac{1}{2}$ 的等比数列, $S_n$ 为它的前 $n$ 项和.\\\\\n(1) 用 $S_n$ 表示 $S_{n+1}$;\\\\\n(2) 比较 $\\dfrac{4}{a_n}$ 与 $n^2$ 的大小;\\\\\n(3) 是否存在自然数 $c$ 和 $k$, 使得 $\\dfrac{S_{k+1}-c}{S_k-c}>2$ 成立.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -611577,7 +612156,9 @@ "id": "031898", "content": "将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周, 所得几何体的体积为 $27 \\pi \\mathrm{cm}^3$, 则该几何体的侧面积为\\blank{50}$\\mathrm{cm}^2$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -611641,7 +612222,9 @@ "id": "031901", "content": "已知 $a$、$b$ 为不垂直的异面直线, $\\alpha$ 是一个平面,则 $a$、$b$ 在 $\\alpha$ 上的射影有可能是: \\textcircled{1} 两条平行直线 ; \\textcircled{2} 两条互相垂直的直线; \\textcircled{3} 同一条直线; \\textcircled{4}一条直线及其外一点. 在上面结论中, 正确结论的编号是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -611661,7 +612244,9 @@ "id": "031902", "content": "甲、乙两人玩猜子游戏, 每次甲出 1 子, 2 子或 3 子, 由乙猜. 若乙猜中, 则甲所出之子归乙, 若乙末猜中, 则乙付给甲 1 子. 已知甲出 1 子、 2 子或 3 子的概率分别为 $\\dfrac{6}{13}, \\dfrac{4}{13}, \\dfrac{3}{13}$, 乙每次猜 1 子, 2 子, 3 子的概率均为 $\\dfrac{1}{3}$, 则乙每次赢得子数的期望为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -611703,7 +612288,9 @@ "id": "031904", "content": "下列函数中, 同时具有性质: \\textcircled{1} 图像过点 $(0,1)$, \\textcircled{2} 在区间 ($0,+\\infty$) 上是严格减函数, \\textcircled{3} 是偶函数, 这样的函数是\\bracket{20}.\n\\fourch{$f(x)=x^2$}{$f(x)=\\log _2(|x|+2)$}{$f(x)=(\\dfrac{1}{2})$}{$f(x)=2$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -611723,7 +612310,9 @@ "id": "031905", "content": "若 $S_n=1-2+3-4+\\cdots+(-1)^{n-1}$, 则 $S_{17}+S_{33}+S_{50}$ 等于\\bracket{20}.\n\\fourch{$1$}{$-1$}{$0$}{$2$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -611743,7 +612332,9 @@ "id": "031906", "content": "某商场买来一车苹果, 从中随机抽取了 $10$ 个苹果, 其重量 (单位: 克) 分别为: $150,152,153,149,148,146,151,150,152,147$, 由此估计这车苹果单个重量的期望值为\\bracket{20}.\n\\fourch{$150.2$ 克}{$149.8$ 克}{$149.4$ 克}{$147.8$ 克}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -611763,7 +612354,9 @@ "id": "031907", "content": "给出定义: 若 $m-\\dfrac{1}{2}b>0$), $A_1$、$A_2$ 为椭圆 $C$ 的左、右顶点. 设 $F_1$ 为椭圆 $C$ 的左焦点, 则当且仅当椭圆 $C$ 上的点 $P$ 在椭圆的左、右顶点时 $|PF_1|$ 取得最小值与最大值.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-3,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (0,0) ellipse (2 and {sqrt(3)});\n\\draw (-1,0) node [below] {$F_1$};\n\\draw (-1,0) -- (70:2 and {sqrt(3)});\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 若椭圆 $C$ 上的点到焦点距离的最大值为 $3$, 最小值为 $1$. 求椭圆 $C$ 的标准方程;\\\\\n(2) 若直线 $l: y=k x+2$ 与 (1) 中所述椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点 ($A, B$ 不是左右顶点), 且满足 $AA_2 \\perp BA_2$, 求 $k$ 的值.\\\\\n(3) 请对问题 (2) 作进一步的研究, 提出一个你认为有价值的问题, 并作出解答.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -612041,7 +612640,9 @@ "id": "031920", "content": "在 $1,2,3,4$ 四个数中随机地抽取一个数记为 $a$, 再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为 $b$, 则``$\\dfrac{a}{b}$ 是整数''的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -612083,7 +612684,9 @@ "id": "031922", "content": "已知向量 $\\overrightarrow{m}=(1, \\cos \\omega x)$, $\\overrightarrow{n}=(\\sin \\omega x, \\sqrt{3})$($\\omega>0$), 函数 $f(x)=\\overrightarrow{m}\\cdot \\overrightarrow{n}$, 且 $f(x)$ 图像上一个最高点的坐标为 $(\\dfrac{\\pi}{12}, 2)$, 与之相邻的一个最低点的坐标为 $(\\dfrac{7 \\pi}{12},-2)$, 则 $f(x)$ 的解析式为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -612103,7 +612706,9 @@ "id": "031923", "content": "已知直线 $l: y=\\sqrt{3}(x-1)$ 交 $x$ 轴于 $A$ 点, 过原点 $O$ 作 $l$ 的垂线, 垂足为 $C$, 现将线段 $CA$ 绕原点 $O$ 旋转 $\\dfrac{\\pi}{2}$, 则在旋转过程中线段 $CA$ 所扫过的面积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -612123,7 +612728,9 @@ "id": "031924", "content": "已知 $a_1, a_2, \\cdots, a_n ; b_1, b_2, \\cdots, b_n$ ($n$ 是正整数), 令 $L_1=b_1+b_2+\\cdots+b_n$, $L_2=b_2+b_3+\\cdots+b_n, \\cdots$, $L_n=b_n$. 某人用下图分析得到恒等式: $a_1 b_1+a_2 b_2+ \\cdots+a_n b_n=a_1L_1+c_2L_2+c_3L_3+\\cdots+c_k L_k+\\cdots+ c_n L_n$, 则 $c_k=$\\blank{50}($2 \\leq k \\leq n$).\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, xscale = 1.2, yscale = 1.5]\n\\draw [->] (-0.5,0) -- (5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-0.5) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {0/0.5/0.6,0.6/0.8/0.7,1.3/1.2/0.6,3.2/2.5/0.6,3.8/2.9/0.7}\n{\\draw (\\i,0) --++ (0,\\j) --++ (\\k,0);};\n\\draw (1.9,1.2) -- (1.9,0) (4.5,2.9) -- (4.5,0);\n\\draw (2.55,1) node {$\\cdots$};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {0.3/0.5/1,0.95/0.8/2,1.6/1.2/3,3.5/2.5/n-1,4.15/2.9/n}\n{\\draw [<->] (\\i,0) -- (\\i,\\j) node [midway, fill = white] {$a_{\\k}$};};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {0/0.6/1,0.6/1.3/2,1.3/1.9/3,3.2/3.8/n-1,3.8/4.5/n}\n{\\draw ({(\\i+\\j)/2},-0.2) node {$b_{\\k}$};};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -612143,7 +612750,9 @@ "id": "031925", "content": "集合 $A=\\{x | \\dfrac{x-2}{x+1}<0\\}$, $B=\\{x |(x-a)(x-b)<0\\}$, 若``$a=-2$''是``$A \\cap B \\neq \\varnothing$''的充分条件, 则 $b$ 的取值范围是\\bracket{20}.\n\\fourch{$b<-1$}{$b>-1$}{$b \\geq-1$}{$-11$) 和双曲线 $\\dfrac{x^2}{n}-y^2=1$($n>0$), 点 $P$ 是它们的一个交点, 则 $\\triangle PF_1F_2$ 的形状是\\bracket{20}.\n\\twoch{直角三角形}{锐角三角形}{钝角三角形}{随 $m$、$n$ 的变化而变化}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -612271,7 +612882,10 @@ "id": "031931", "content": "在某地区进行某种疾病调查, 随机调查了 $100$ 位这种疾病患者的年龄, 得到如下样本数据频率分布直方图.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, xscale = 0.06, yscale = 200]\n\\draw [->] (0,0) -- (105,0) node [below] {年龄(岁)};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,0.026) node [left] {$\\dfrac{\\text{频率}}{\\text{组距}}$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\foreach \\i/\\j in {0/0.001,10/0.002,20/0.012,30/0.017,40/0.023,50/0.020,60/0.017,70/0.006,80/0.002}\n{\\draw (\\i,0) node [below] {$\\i$} --++ (0,\\j) --++ (10,0) --++ (0,-\\j);};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {0/0.001,20/0.012,40/0.023,50/0.020,60/0.017,70/0.006,80/0.002}\n{\\draw [dashed] (\\i,\\j) -- (0,\\j) node [left] {$\\k$};};\n\\draw (90,0) node [below] {$90$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄; (同一组数据用该区间的中点值作代表)\\\\\n(2) 估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间 $[20,70)$ 的概率;\\\\\n(3) 已知该地区这种疾病患者的患病率为 $0.1 \\%$, 该地区年龄位于区间 $[40,50)$ 的人口数占该地区总人口数的 $16 \\%$, 从该地区选出 $1$ 人, 若此人的年龄位于区间 $[40,50)$, 求此人患这种疾病的概率 (精确到 $0.0001$).", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元", + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -612291,7 +612905,9 @@ "id": "031932", "content": "已知函数 $f(x)=x^2+3 x$, 数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且对一切正整数 $n$, 点 $P_n(n, S_n)$ 都在函数 $f(x)$ 的图像上.\\\\\n(1) 求数列 $\\{a_n\\}$ 的通项公式;\\\\\n(2) 设 $A=\\{x | x=a_n, n \\in \\mathbf{N}, n \\geq 1\\}$, $B=\\{x | x=2(a_n-1),\\ n \\in \\mathbf{N},\\ n \\geq 1\\}$, 等差数列 $\\{b_n\\}$ 的任一项 $b_n \\in A \\cap B$, 其中 $b_1$ 是 $A \\cap B$ 中最小的数, 且 $88=latex]\n\\draw [->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1.5) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (1,{sqrt(3)}) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw (1,0) node [below right] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (190:1) node [left] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A)--(P)--(C);\n\\draw (0,0) circle (1);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -612503,7 +613125,10 @@ "id": "031942", "content": "已知 $\\theta \\in(\\pi, 2 \\pi)$, 则复数 $1+\\cos \\theta+\\mathrm{i}\\sin \\theta$ 的模为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元", + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -612545,7 +613170,9 @@ "id": "031944", "content": "关于 $x$ 的方程 $2 x|x|-a|x|=1$ 有三个不同的实数解, 则实数 $a$的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -612631,7 +613258,9 @@ "id": "031948", "content": "函数 $f(x)=\\sin (x-\\dfrac{\\pi}{3})-\\dfrac{1}{2}$, $x \\in[t, t+40]$ 零点的个数不可能是\\bracket{20}.\n\\fourch{$11$ 个}{$12$ 个}{$13$ 个}{$14$ 个}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -612651,7 +613280,9 @@ "id": "031949", "content": "已知定义在 $[0,10)$ 的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)=f(x)+a, f(x)$ 在 $[0,2]$ 上的解析式为 $f(x)=\\begin{cases}\\dfrac{a}{x+2}+1,& 0 \\leq x \\leq 1,\\\\\\dfrac{a}{3}x+1,& 10$ 都有 $f_3(x) \\geq \\dfrac{1}{2}x^3-t x^2+x+1$ 恒成立, 求 $t$ 的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -612865,7 +613500,9 @@ "id": "031959", "content": "顺次联结圆 $x^2+y^2=9$ 与双曲线 $x y=3$ 的交点, 得到一个凸四边形, 则该四边形的面积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -612907,7 +613544,9 @@ "id": "031961", "content": "若 $x, y \\in$($0,+\\infty$), 且 $3 x-2 x y=1$, 则 $\\dfrac{y}{x}$ 的最大值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -612949,7 +613588,9 @@ "id": "031963", "content": "在三角形 $\\triangle ABC$ 中, $D$ 是 $BC$ 的中点, $E$ 在边 $AB$ 上, $BE=2EA$, $AD$ 与 $CE$ 交于点 $O$, 若 $\\overrightarrow{AB}\\cdot \\overrightarrow{AC}=6 \\overrightarrow{AO}\\cdot \\overrightarrow{EC}$, 则 $\\dfrac{AB}{AC}=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -613015,7 +613656,10 @@ "id": "031966", "content": "对于三次函数 $f(x)=a x^3+b x^2+c x+d$($a \\neq 0$), 定义: 设 $f''(x)$ 是函数 $y=f(x)$ 的导数 $y=f'(x)$ 的导数, 若方程 $f''(x)=0$ 有实数解 $x_0$, 则称点 $(x_0, f(x_0))$ 为函数 $y=f(x)$ 的``拐点''. 有同学发现``任何一个三次函数都有拐点, 任何一个三次函数都有对称中心; 且拐点就是对称中心.''请你将这一发现为条件, 解答问题: 若已知函数 $f(x)=x^3-\\dfrac{3}{2}x^2+ 3 x-\\dfrac{1}{4}$, 则 $f(\\dfrac{1}{2023})+f(\\dfrac{2}{2023})+f(\\dfrac{3}{2023})+\\cdots+f(\\dfrac{2022}{2023})=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -613057,7 +613701,10 @@ "id": "031968", "content": "关于函数 $f(x)=\\sin |x|+|\\sin x|$ 有下述四个结论 : \\textcircled{1} $f(x)$ 是偶函数; \\textcircled{2} $f(x)$ 在区间 $(\\dfrac{\\pi}{2}, \\pi)$ 单调递增; \\textcircled{3} $f(x)$ 在 $[-\\pi, \\pi]$ 有 $4$ 个零点; \\textcircled{4} $f(x)$ 的最大值为 $2$ . 其中所有正确结论的编号是\\bracket{20}.\n\\fourch{\\textcircled{1}\\textcircled{2}\\textcircled{4}}{\\textcircled{2}\\textcircled{4}}{\\textcircled{1}\\textcircled{4}}{\\textcircled{1}\\textcircled{3}}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "第三单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -613077,7 +613724,9 @@ "id": "031969", "content": "如图, 上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱, 四个侧面有四个时钟, 请问相邻的两个面时钟的时针相互垂直的次数为\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\begin{scope}[x = {(-10:0.9)}]\n\\draw (0,0) -- (-2,0) -- (-2,2) -- (0,2) -- cycle;\n\\draw (-1,1) circle (0.8);\n\\draw [->] (-1,1) --++ (-45:0.5);\n\\draw [->] (-1,1) --++ (-90:0.65);\n\\foreach \\i in {1,2,...,12} {\\draw (-1,1) ++ ({30*\\i}:0.7) --++ ({30*\\i}:0.05);};\n\\end{scope}\n\\begin{scope}[x = {(40:0.7)}]\n\\draw (0,0) -- (2,0) -- (2,2) -- (0,2) -- cycle;\n\\draw (1,1) circle (0.8);\n\\draw [->] (1,1) --++ (-45:0.5);\n\\draw [->] (1,1) --++ (-90:0.65);\n\\foreach \\i in {1,2,...,12} {\\draw (1,1) ++ ({30*\\i}:0.7) --++ ({30*\\i}:0.05);};\n\\end{scope}\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{$0$}{$2$}{$4$}{$12$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -613141,7 +613790,9 @@ "id": "031972", "content": "某省食品药品监管局对 $16$ 个大学食堂的``进货渠道合格性''和``食品安全''进行量化评估, 满分为 $10$ 分, 大部分大学食堂的评分在 $7 \\sim 10$ 分之间, 以下表格记录了它们的评分情况:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\n\\hline 分数段 &{$[0,7)$}&{$[7,8)$}&{$[8,9)$}&{$[9,10]$}\\\\\n\\hline 食堂个数 & 1 & 3 & 8 & 4 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n(1) 现从 $16$ 个大学食堂中随机抽取 $3$ 个, 求至多有 $1$ 个大学食堂的评分不低于 $9$ 分的概率;\\\\\n(2) 以这 $16$ 个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况,若从全国的大学食堂中任选 $3$ 个, 记 $X$ 表示抽到评分不低于 $9$ 分的食堂个数, 求 $X$ 的分布列及数学期望.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -613161,7 +613812,9 @@ "id": "031973", "content": "以坐标原点 $O$ 为圆心的单位圆与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$, 点 $B, P$ 在单位圆上, 且 $B(-\\dfrac{\\sqrt{5}}{5}, \\dfrac{2 \\sqrt{5}}{5}), \\angle AOB=\\alpha$.\\\\\n(1) 求 $\\sin (2 \\alpha+\\dfrac{\\pi}{4})$ 的值;\\\\\n(2) 若四边形 $OAQP$ 是平行四边形. 设 $\\angle POA=\\theta$($0 \\leq \\theta \\leq 2 \\pi$), 点 $Q(m, n)$, 且 $f(\\theta)= m+\\sqrt{3}n$, 求关于 $\\theta$ 的函数 $f(\\theta)$ 的解析式, 并求其单调增区间.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -613181,7 +613834,10 @@ "id": "031974", "content": "如图, 在直角坐标系 $xOy$ 中, 有一组对角线长为 $a_n$ 的正方形 $A_n B_n C_n D_n$($n=1,2, \\cdots$), 其对角线 $B_n D_n$ 依次放置在 $x$ 轴上 (相邻顶点重合). 设 $\\{a_n\\}$ 是首项为 $a$, 公差为 $d$($d>0$) 的等差数列, 点 $B_1$ 的坐标为 $(d, 0)$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.08]\n\\draw [->] (-4,0) -- (44,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-15) -- (0,15) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (4,0) node [above left] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw (12,0) node [above] {$B_2$} coordinate (B_2) node [below] {$D_1$};\n\\draw (24,0) node [above] {$B_3$} coordinate (B_3) node [below] {$D_2$};\n\\draw (40,0) node [below] {$D_3$} coordinate (D_3);\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {8/4/1,18/6/2,32/8/3}\n{\\draw (\\i,\\j) node [above] {$A_\\k$} coordinate (A_\\k) (\\i,-\\j) node [below] {$C_\\k$} coordinate (C_\\k);};\n\\draw (B_1)--(A_1)--(B_2)--(A_2)--(B_3)--(A_3)--(D_3)--(C_3)--(B_3)--(C_2)--(B_2)--(C_1)--(B_1);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 当 $a=8$, $d=4$ 时,证明: 顶点 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 不在同一条直线上;\\\\\n(2) 在 (1) 的条件下, 证明: 所有顶点 $A_n$ 均落在抛物线 $y^2=2 x$ 上;\\\\\n(3) 为使所有顶点 $A_n$ 均落在抛物线 $y^2=2 p x$($p>0$) 上, 求 $a$ 与 $d$ 之间所应满足的关系式.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元", + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -613201,7 +613857,9 @@ "id": "031975", "content": "已知函数 $f(x)=\\log _a \\dfrac{1-x}{1+x}$($0