添加等式与不等式部分剩余全部知识梳理K0110至K0120

题库0.3/BasicKnowledge.json

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             "K0109003B"
         ],
         "content": "韦达定理 (根与系数的关系): 若一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$($a \\neq 0$) 的两个根为 $x_1$、$x_2$, 则 $x_1+x_2=$\\blank{50}, $x_1 x_2=$\\blank{50}.\\\\\n课本上给出的是因式分解法证明, 也可以用求根公式法证明:\\\\\n$\\Delta \\geq 0$ 时, $x_1+x_2=\\dfrac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2 a}+\\dfrac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2 a}=$\\blank{50}, $x_1 \\cdot x_2=\\dfrac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2 a}\\cdot \\dfrac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2 a}=\\dfrac{b^2-(b^2-4 a c)}{4 a^2}=\\dfrac{4 a c}{4 a^2}=$\\blank{50}."
+    },
+    "B00080": {
+        "lesson": "K0110",
+        "objs": [
+            "K0110001B"
+        ],
+        "content": "两个实数 $a$、$b$ 可以通过差值比大小, 规定 $b>a \\Leftrightarrow$\\blank{50}; $b=a \\Leftrightarrow$\\blank{50}; $ b<a \\Leftrightarrow$\\blank{50}."
+    },
+    "B00081": {
+        "lesson": "K0110",
+        "objs": [
+            "K0110001B",
+            " K0110002B"
+        ],
+        "content": "不等式的性质:\\\\\n(1) \\blank{40}性: 设 $a$、$b$、$c \\in \\mathbf{R}$, 如果 $a>b$, $b>c$, 那么\\blank{50};\\\\\n(2) \\blank{40}性质: 设 $a$、$b$、$c \\in \\mathbf{R}$, 如果 $a>b$, 那么\\blank{50};\\\\\n(3) \\blank{40}性质: 设 $a$、$b$、$c \\in \\mathbf{R}$, 如果 $a>b$, $c>0$, 那么\\blank{50}; 如果 $a>b$, $c<0$, 那么\\blank{50}."
+    },
+    "B00082": {
+        "lesson": "K0111",
+        "objs": [
+            "K0111001B"
+        ],
+        "content": "若 $a>b>0$, $c>d>0$, 则 $a c$\\blank{20}$b d$."
+    },
+    "B00083": {
+        "lesson": "K0111",
+        "objs": [
+            "K0111001B"
+        ],
+        "content": "$n$ 是正整数, 若 $a>b>0$, 则 $a^n$\\blank{20}$b^n$."
+    },
+    "B00084": {
+        "lesson": "K0111",
+        "objs": [
+            "K0111001B"
+        ],
+        "content": "$n$ 是正整数, 若 $a,b>0$, 且$a^n>b^n$, 则 $a$\\blank{20}$b$."
+    },
+    "B00085": {
+        "lesson": "K0111",
+        "objs": [
+            "K0111002B"
+        ],
+        "content": "对任意的实数 $a$、$b$, 总有 $a^2+b^2$\\blank{20}$2 a b$, 且等号当且仅当\\blank{50}时成立."
+    },
+    "B00086": {
+        "lesson": "K0111",
+        "objs": [
+            "K0111003B"
+        ],
+        "content": "对两个实数比较大小, 作差 (或作商) 是较为常用的方法. 对于两个实数$a,b$:\\\\\n作差: 为了说明$a>b$, 就是要说明$a-b>$\\blank{20};\\\\\n作商: 在$b$\\blank{30}的前提下, 为了说明$a>b$, 就是要说明$\\dfrac{a}{b}>$\\blank{20}."
+    },
+    "B00087": {
+        "lesson": "K0112",
+        "objs": [
+            "K0112001B"
+        ],
+        "content": "在含有未知数的不等式中, 能使此不等式成立的未知数的值称为不等式的\\blank{30}, 一个不等式的\\blank{30}的全体所组成的集合称为该不等式的\\blank{50}, 求不等式\\blank{50}的过程称为\\blank{50}."
+    },
+    "B00088": {
+        "lesson": "K0112",
+        "objs": [
+            "K0112001B"
+        ],
+        "content": "将多个含有同样的未知数的不等式联立起来, 即得到不等式组, 解不等式组就是求解不等式中的所有不等式的解集的\\blank{50}."
+    },
+    "B00089": {
+        "lesson": "K0112",
+        "objs": [
+            "K0112002B"
+        ],
+        "content": "定义: 设 $a$、$b$、$c$ 为实数, 且 $a$\\blank{30}, 形如 $a x^2+b x+c>0$($<0$, $\\geq 0$, $\\leq 0$) 的不等式统称为\\blank{80}."
+    },
+    "B00090": {
+        "lesson": "K0113",
+        "objs": [
+            "K0113001B"
+        ],
+        "content": "求解可以因式分解的二次式对应的一元二次不等式时, 可以将问题转化为考察若干由两个\\blank{50}组成的不等式组的解集."
+    },
+    "B00091": {
+        "lesson": "K0113",
+        "objs": [
+            "K0113002B"
+        ],
+        "content": "设方程 $a x^2+b x+c=0$ 中 $a>0$, 其判别式 $\\Delta=b^2-4 a c$.\\\\\n(1) 当 $\\Delta<0$ 时, 不等式 $a x^2+b x+c>0$ 的解集是\\blank{50}; 不等式 $a x^2+b x+c\\ge 0$ 的解集是\\blank{50}; \\\\\n(2) 当 $\\Delta=0$ 时, 不等式 $a x^2+b x+c>0$ 的解集是\\blank{50}; 不等式 $a x^2+b x+c\\ge 0$ 的解集是\\blank{50}."
+    },
+    "B00092": {
+        "lesson": "K0114",
+        "objs": [
+            "K0114001B"
+        ],
+        "content": "设方程 $a x^2+b x+c=0$ 中 $a>0$, 考虑与之对应的二次函数 $y=a x^2+b x+c$($a>0$), 抛物线开口向上. 不等式 $a x^2+b x+c>0$ 的解集实际上就是当函数值\\blank{30}时, 对应的自变量的取值范围. 结合二次函数的图像求解一元二次不等式充分体现了数形结合的思想方法. 设$f(x)=ax^2+bx+c$($a>0$), 填写下表:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline\n函数$y=f(x)$的图像 & \\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.7]\n\\draw [->] (-1,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = -0.5:2.5] plot (\\x,{pow(\\x-1,2)-0.5});\n\\filldraw ({1-sqrt(2)/2},0) circle (0.03) node [above] {$x_1$};\n\\filldraw ({1+sqrt(2)/2},0) circle (0.03) node [above] {$x_2$};\n\\end{tikzpicture} & \\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.7]\n\\draw [->] (-1,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = -0.5:2.5] plot (\\x,{pow(\\x-1,2)});\n\\draw (1,0) node [below] {$x_0$};\n\\end{tikzpicture} & \\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.7]\n\\draw [->] (-1,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = -0.5:2.5] plot (\\x,{pow(\\x-1,2)+0.5});\n\\end{tikzpicture} \\\\\\hline\n方程$f(x)=0$的判别式$\\Delta$ & $\\Delta>0$ & $\\Delta=0$ & $\\Delta<0$\\\\\\hline\n不等式$f(x)>0$的解集 & & & \\\\ \\hline\n不等式$f(x)<0$的解集 & & & \\\\ \\hline\n不等式$f(x)\\ge 0$的解集 & & & \\\\ \\hline\n不等式$f(x)\\le 0$的解集 & & & \\\\ \\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}"
+    },
+    "B00093": {
+        "lesson": "K0115",
+        "objs": [
+            "K0115001B"
+        ],
+        "content": "求解恒成立条件下一次或二次不等式含参数的取值范围问题时可使用以下方法(包括但不限于):\\\\\n\\textcircled{1} 利用一元二次方程根的判别式: 有关含有参数的一元二次不等式问题, 可把不等式转化成二次函数或二次方程的相关问题, 通过根的判别式或数形结合思想求解;\\\\\n\\textcircled{2} 参数大于 (大于等于) 最大值或小于 (小于等于) 最小值: 如果能够将参数分离出来, 可建立起明确的参数和变量 $x$ 的关系, 并且表达式的最大值或最小值存在, 那么就可以利用表达式的最大或最小值: 如 $a>f(x)$ 恒成立 $\\Leftrightarrow a>f(x)$的最\\blank{20}值; $a<f(x)$ 恒成立 $\\Leftrightarrow a<f(x)$的最\\blank{20}值."
+    },
+    "B00094": {
+        "lesson": "K0115",
+        "objs": [
+            "K0115002B"
+        ],
+        "content": "若不等式 $a x^2+b x+c>0$ 的解集为 $(\\alpha, \\beta)$, $\\alpha<\\beta$, $\\alpha, \\beta$ 为实数, 则可得$a$\\blank{30}, $b=$\\blank{30}, $c=$\\blank{30}, 再根据具体需要求解."
+    },
+    "B00095": {
+        "lesson": "K0116",
+        "objs": [
+            "K0116002B"
+        ],
+        "content": "求解分式不等式的一种步骤是: 移项、通分、化整式, 最后转化为一元一次或一元二次不等式(组), 求得不等式的解集."
+    },
+    "B00096": {
+        "lesson": "K0116",
+        "objs": [
+            "K0116002B"
+        ],
+        "content": "在``化整式''的过程中, 常会用到如下的等价转化: $\\dfrac{f(x)}{g(x)}>0 \\Leftrightarrow$\\blank{50}; $\\dfrac{f(x)}{g(x)}<0 \\Leftrightarrow$\\blank{50}."
+    },
+    "B00097": {
+        "lesson": "K0116",
+        "objs": [
+            "K0116002B"
+        ],
+        "content": "在``化整式''的过程中, 常会用到如下的等价转化: $\\dfrac{f(x)}{g(x)}\\geq 0 \\Leftrightarrow$\\blank{50}, 并且$g(x)$\\blank{30}; $\\dfrac{f(x)}{g(x)}\\leq 0 \\Leftrightarrow$\\blank{50}, 并且$g(x)$\\blank{30};"
+    },
+    "B00098": {
+        "lesson": "K0117",
+        "objs": [
+            "K0117001B",
+            "K0117002B"
+        ],
+        "content": "一般地, 求解绝对值不等式时, 要设法去绝对值符号. 去绝对值的方法有定义法、分类讨论、图像或数形结合法、平方法等."
+    },
+    "B00099": {
+        "lesson": "K0117",
+        "objs": [
+            "K0117001B"
+        ],
+        "content": "在``去绝对值''时, 如果$a>0$, 常会用到如下的等价转化(注: 这里``$a>0$''的条件可以不加):\\\\\n$|f(x)|>a \\Leftrightarrow$\\blank{120}; $|f(x)|<a \\Leftrightarrow$\\blank{120};\\\\\n$|f(x)| \\geq a \\Leftrightarrow$\\blank{120}; $|f(x)| \\leq a \\Leftrightarrow$\\blank{120}."
+    },
+    "B00100": {
+        "lesson": "K0117",
+        "objs": [
+            "K0117001B"
+        ],
+        "content": "在``去绝对值''时, 常会用到如下的等价转化:\\\\\n$|f(x)| \\geq g(x) \\Leftrightarrow$\\blank{120}; $|f(x)| \\leq g(x) \\Leftrightarrow$\\blank{120}."
+    },
+    "B00101": {
+        "lesson": "K0118",
+        "objs": [
+            "K0118001B"
+        ],
+        "content": "对于正数 $a, b$, 称\\blank{50}为$a, b$ 的算术平均值, 称\\blank{50}为 $a, b$ 的几何平均值."
+    },
+    "B00102": {
+        "lesson": "K0118",
+        "objs": [
+            "K0118002B"
+        ],
+        "content": "平均值不等式: 两个正数的算术平均值\\blank{30}它们的几何平均值, 即对任意的正数 $a, b$, 有\\blank{80}, 且等号当且仅当\\blank{50}时成立."
+    },
+    "B00103": {
+        "lesson": "K0118",
+        "objs": [
+            "K0118003B"
+        ],
+        "content": "定理: 对任意的实数 $a, b$, 有 $(\\dfrac{a+b}{2})^2 \\geq$\\blank{50}, 且等号当且仅当\\blank{50}时成立."
+    },
+    "B00104": {
+        "lesson": "K0119",
+        "objs": [
+            "K0119001B"
+        ],
+        "content": "当两个变化的正数 $a, b$ 的积 $a b$ 为定值时, 由 $\\dfrac{a+b}{2}\\geq \\sqrt{a b}$为定值知, 它们的和 $a+b$ 有最\\blank{20}值\\blank{50}, 当且仅当\\blank{50}时取最小值."
+    },
+    "B00105": {
+        "lesson": "K0119",
+        "objs": [
+            "K0119001B"
+        ],
+        "content": "当两个变化的正数 $a, b$ 的和 $a+b$ 为定值时, 由$ab\\le (\\dfrac{a+b}{2})^2$为定值知, 它们的积 $a b$ 有最\\blank{20}值\\blank{50}, 当且仅当\\blank{50}时取最大值."
+    },
+    "B00106": {
+        "lesson": "K0120",
+        "objs": [
+            "K0120001B"
+        ],
+        "content": "三角不等式: 对任意的实数 $a$、$b$ , 有 $|a+b|$\\blank{20}$|a|+|b|$, 且等号当且仅当\\blank{50}时成立."
+    },
+    "B00107": {
+        "lesson": "K0120",
+        "objs": [
+            "K0120002B"
+        ],
+        "content": "三角不等式的一种常见变形: 在三角不等式中, 设$a=x-y$, $b=y$, 得$|x| \\le $\\blank{40}+\\blank{20}, 移项可得对任意的实数$x$、$y$, 总成立\\blank{20}$-$\\blank{20}$\\le$\\blank{40}. 等号当且仅当\\blank{50}时成立."
     }
 }