diff --git a/题库0.3/BasicKnowledge.json b/题库0.3/BasicKnowledge.json index 52ebc4ba..c5cb159a 100644 --- a/题库0.3/BasicKnowledge.json +++ b/题库0.3/BasicKnowledge.json @@ -1534,5 +1534,153 @@ "K0509004B" ], "content": "三角形面积的向量坐标公式: 在 $\\triangle ABC$ 中, 设 $\\overrightarrow{CA}=\\overrightarrow{a}=(x_1, y_1)$, $\\overrightarrow{CB}=\\overrightarrow{b}=(x_2, y_2)$, 记 $\\triangle ABC$ 的面积为 $S$, 有 $S=\\dfrac{1}{2}\\sqrt{\\overrightarrow{a}^2 \\cdot \\overrightarrow{b}^2-(\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b})^2}=\\dfrac{1}{2}|x_1 y_2-x_2 y_1|$." + }, + "B00213": { + "lesson": "K0227", + "objs": [ + "K0227001X", + "K0227002X", + "K0227003X" + ], + "content": "已知函数 $y=f(x)$, 对于自变量某个给定值 $x_0$, 赋予 $x_0$ 一个变化量 $h$, 当变化量 $h$ 趋近于 0 时, 若函数值的变化量 $f(x_0+h)-f(x_0)$ 相对于自变量变化量 $h$ 的比值\\blank{100}趋近于某个稳定值, 这个稳定值的存在, 说明 $\\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 在 $h$ 趋近于 $0$ 时有\\blank{50}, 并把这个极限值记作 $\\displaystyle\\lim _{h \\to 0}\\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. 称为函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的\\blank{50}, 记作 $f'(x_0)$ , 即\\blank{100}." + }, + "B00214": { + "lesson": "K0227", + "objs": [ + "K0227003X", + "K0227004X" + ], + "content": "$\\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 称为函数 $y=f(x)$ 在区间 $[x_0, x_0+h]$ 上的\\blank{50};\\\\\n$f'(x_0)=\\displaystyle\\lim _{h \\to 0}\\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 称为函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的\\blank{50}." + }, + "B00215": { + "lesson": "K0228", + "objs": [ + "K0228001X" + ], + "content": "连接曲线上任意两点的直线称为这条曲线的一条\\blank{50}." + }, + "B00216": { + "lesson": "K0228", + "objs": [ + "K0228001X" + ], + "content": "给定曲线上的一点 $P$, 考虑以 $P$ 为端点的一条小曲线段 $PQ$ 和割线 $PQ$. 当点 $Q$ 越来越靠近点 $P$ 时, 如果割线 $PQ$ 趋近于一条确定的直线, 就将这条直线称为曲线在点 $P$ 处的\\blank{50}." + }, + "B00217": { + "lesson": "K0228", + "objs": [ + "K0228001X", + "K0228003X" + ], + "content": "函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 就是曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0, f(x_0))$ 处切线的\\blank{50}. 切线方程为\\blank{100}." + }, + "B00218": { + "lesson": "K0228", + "objs": [ + "K0228005X" + ], + "content": "我们将导数为零的点称为函数的\\blank{50}." + }, + "B00219": { + "lesson": "K0228", + "objs": [ + "K0228005X" + ], + "content": "曲线在其驻点处的切线是\\blank{50}直线." + }, + "B00220": { + "lesson": "K0229", + "objs": [ + "K0229001X" + ], + "content": "已知函数 $y=f(x)$ , 在导数存在的前提下, 对于不同的 $x_0$, 总有一个确定的导数值 $f'(x_0)$与之对应. 即 $f'(x)$ 也是一个关于 $x$ 的函数, 称为函数 $f(x)$ 的\\blank{40} (也简称为\\blank{30}), 记作 $f'(x)=$\\blank{80}. 求一个函数的导 (函) 数的过程常常简称为\\blank{50}." + }, + "B00221": { + "lesson": "K0229", + "objs": [ + "K0229002X", + "K0229004X", + "K0229006X" + ], + "content": "基本初等函数的导数:\\\\\n\\begin{tabular}{ll}\n(1) $(C)'=$\\blank{50}($C$为常数) & (2) $(x^\\alpha)'=$\\blank{50} ($\\alpha$ 为常数);\\\\\n(3) $(\\mathrm{e}^x)'=$\\blank{50} ($\\mathrm{e}$ 为自然常数);& (4) $(\\ln x)'=$\\blank{50};\\\\\n(5) $(\\sin x)'=$\\blank{50}; & (6) $(\\cos x)'=$\\blank{50}.\n\\end{tabular}" + }, + "B00222": { + "lesson": "K0230", + "objs": [ + "K0230001X", + "K0230002X", + "K0230003X" + ], + "content": "函数的四则运算与导数的关系:\\\\\n(1) $(f(x) \\pm g(x))'=$\\blank{100}.\\\\\n(2) $(f(x) g(x))'=$\\blank{100}; 特殊地, 当$C$为常数时, $(C f(x))'=$\\blank{100}.\\\\\n(3) $(\\dfrac{f(x)}{g(x)})'=$\\blank{100}($g(x) \\neq 0$)." + }, + "B00223": { + "lesson": "K0230", + "objs": [ + "K0230005X" + ], + "content": "一般对数函数的求导公式: 设实数 $a>0$ 且 $a \\neq 1$, 则: $(\\log _a x)'=$\\blank{50}." + }, + "B00224": { + "lesson": "K0231", + "objs": [ + "K0231001X" + ], + "content": "如果一个函数 $u=g(x)$ 的自变量 $u$ 又是另一个变量 $x$ 的函数 $u=g(x)$, 那么就可将 $y$ 直接看作变量 $x$ 的函数而得到一个新函数\\blank{50}, 这个新函数被称为两个函数的\\blank{50}." + }, + "B00225": { + "lesson": "K0231", + "objs": [ + "K0231002X" + ], + "content": "$y=f(a x+b)$ 型复合函数的求导法则: $y=f(a x+b)$ 可以看成由 $y=f(u)$ 与 $u=a x+b$ 复合而成的函数, 则 $(f(a x+b))'=$\\blank{50}, 其中 $u=$\\blank{50}." + }, + "B00226": { + "lesson": "K0231", + "objs": [ + "K0231004X" + ], + "content": "一般指数函数的求导公式: 设实数 $a>0$ 且 $a \\neq 1$, 则: $(a^x)'=$\\blank{50}." + }, + "B00227": { + "lesson": "K0232", + "objs": [ + "K0232001X" + ], + "content": "在区间 $I$ 上, 若\\blank{50}, 则函数 $y=f(x)$ 在该区间严格增; 若\\blank{50}, 则函数 $y=f(x)$ 在该区间严格减." + }, + "B00228": { + "lesson": "K0232", + "objs": [ + "K0232004X" + ], + "content": "导数的绝对值越大, 函数图像就越``陡峭'', 也就是函数值变化速度越\\blank{20}." + }, + "B00229": { + "lesson": "K0233", + "objs": [ + "K0233001X" + ], + "content": "极值: 若在 $x=x_1$ 附近存在一个小区间, 该区间内其他自变量所对应的函数值都不大于 (不小于) $f(x_1)$. 此时我们就说函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_1$ 处取得\\blank{50}(\\blank{50})$f(x_1)$, 点 $x_1$ 被称作函数 $y=f(x)$ 的\\blank{50}(\\blank{50});\n\\\\极大值和极小值统称为\\blank{50}, 极大值点和极小值点统称为\\blank{50}." + }, + "B00230": { + "lesson": "K0233", + "objs": [ + "K0233002X" + ], + "content": "求极值点与极值的步骤:\\\\\n\\textcircled{1} 通过 $f'(x)=0$ 找到函数 $y=f(x)$ 的\\blank{50};\\\\\n\\textcircled{2} 设 $x=x_0$ 是函数 $y=f(x)$ 的驻点.\\\\\n(a) 若在 $x_0$ 的左侧附近有\\blank{50}, 而在 $x_0$ 的右侧附近有\\blank{50}, 则函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值; \\\\\n(b) 若在 $x_0$ 的左侧附近有\\blank{50}, 而在 $x_0$ 的右侧附近有\\blank{50}, 则函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值." + }, + "B00231": { + "lesson": "K0234", + "objs": [ + "K0234003X" + ], + "content": "设函数 $y=f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 连续, 在开区间 $(a, b)$ 可导, 求最值步骤一般如下:\\\\\n\\textcircled{1} 利用 $f'(x)=0$ 在 $x \\in(a, b)$ 上求 $f(x)$ 的\\blank{100};\\\\\n\\textcircled{2} 比较\\textcircled{1}中所求值与\\blank{50}的大小, 其中最大的是最大值, 最小的是最小值.\n的是最大值, 最小的是最小值." + }, + "B00232": { + "lesson": "K0235", + "objs": [ + "K0235001X" + ], + "content": "导数可用来研究函数在某区间上的\\blank{50}, 对解决何时利润最大、何时用料最省等优化问题发挥着重要作用." } } \ No newline at end of file