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"content": "复平面内, 若$|z-1+\\mathrm{i}|+|z-1-\\mathrm{i}|=2$, 则复数$z$的对应的点的轨迹是\\blank{50}.\n\\fourch{圆}{两条射线}{射线}{线段}", - "objs": [], + "objs": [ + "K0514007B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -50846,7 +51023,9 @@ "002016": { "id": "002016", "content": "已知集合$P=\\{z||z-\\mathrm{i}|=|z+\\mathrm{i}|, \\ z\\in \\mathbf{C}\\}$, $Q=\\{z||z+1|=1, \\ z\\in \\mathbf{C}\\}$, 则$P\\cap Q=$\\blank{50}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0514007B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -50870,7 +51049,9 @@ "002017": { "id": "002017", "content": "如果$|z+1-\\mathrm{i}|=1$, 则$|z-3+4\\mathrm{i}|$的最大值与最小值之积为\\blank{50}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0514007B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -50896,7 +51077,10 @@ "002018": { "id": "002018", "content": "已知$|z-2|=|z|-2$, 则$|z-3+4\\mathrm{i}|$的最小值为\\blank{50}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0514006B", + "K0514007B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -50947,7 +51131,9 @@ "002020": { "id": "002020", "content": "复平面内, 点$A,B$对应的复数分别为$z_1=-2+\\mathrm{i}$, $z_2=3+4\\mathrm{i}$, 复数$z$对应的点$C$在线段$AB$上, 且满足$|z_1-z|:|z-z_2|=3:2$, 则$z=$\\blank{50}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0513005B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -50971,7 +51157,9 @@ "002021": { "id": "002021", "content": "如果复数$z$满足$|z+3-4\\mathrm{i}|=6$, 求$|z|$的最大值与最小值.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0514007B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -50995,7 +51183,12 @@ "002022": { "id": "002022", "content": "已知$z+\\dfrac{1}{z}$是实数, 满足条件的复数$z$的集合在复平面上是什么图形? 请画出草图并说明理由.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0511005B", + "K0511006B", + "K0513002B", + "K0513003B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -51019,7 +51212,10 @@ "002023": { "id": "002023", "content": "``$z_1$与$z_2$是共轭复数''是``$z_1+z_2\\in \\mathbf{R}$且$z_1z_2\\in \\mathbf{R}$''的\\blank{50}条件.\n\\fourch{充分非必要}{必要非充分}{充分必要}{既不充分又不必要}", - "objs": [], + "objs": [ + "K0512003B", + "K0512005B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -51043,7 +51239,11 @@ "002024": { "id": "002024", "content": "若$z_1$与$z_2$互为共轭的虚数, 则满足$|z-z_1|^2-|z_2-z_1|^2=|z-z_2|^2$的复数$z$在复平面内所对应的点的轨迹是\\blank{50}.\n\\twoch{一条垂直于实轴的直线}{一条垂直于虚轴的直线}{线段}{圆}", - "objs": [], + "objs": [ + "K0511005B", + "K0514003B", + "K0513003B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -51067,7 +51267,11 @@ "002025": { "id": "002025", "content": "以下各命题:\\\\ \n(1) $a,b,c,d\\in \\mathbf{C}$, 若$a+b\\mathrm{i}=c+d\\mathrm{i}$, 则$a=c$且$b=d$.\\\\ \n(2) $3+\\mathrm{i}>1+\\mathrm{i}$.\\\\ \n(3) 若$z\\in\\mathbf{C}$, 则$z+\\bar{z}$一定是实数.\\\\ \n(4) 若$z\\in \\mathbf{C}$, 则$z-\\bar{z}$一定是纯虚数.\\\\ \n(5) 若$|z|=1$, 则$z=1$, $z=-1$, $z=\\mathrm{i}$或$z=-\\mathrm{i}$.\\\\ \n中, 是真命题的有\\blank{80}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0511004B", + "K0512003B", + "K0514001B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -51091,7 +51295,12 @@ "002026": { "id": "002026", "content": "以下各命题:\\\\ \n(1) $\\sqrt{z^2}=|z|$.\\\\ \n(2) $|z|=|\\bar{z}|$.\\\\ \n(3) $|z|^2=z^2$.\\\\ \n(4) $\\overline{z_1+2\\bar{z_2}}=\\bar{z_1}+2z_2$.\\\\ \n(5) $\\overline{z_1+\\mathrm{i}\\bar{z_2}}=\\bar{z_1}+\\mathrm{i} z_2$.\\\\ \n中, 是真命题的有\\blank{80}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0511008B", + "K0512005B", + "K0512006B", + "K0514001B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -51115,7 +51324,9 @@ "002027": { "id": "002027", "content": "复数$\\dfrac{(1+\\mathrm{i})^{10}}{(3+\\mathrm{i})^4}$的模为\\blank{50}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0514004B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -51167,7 +51378,9 @@ "002029": { "id": "002029", "content": "已知$f(\\bar{z}+\\mathrm{i})=z+2\\bar{z}-2\\mathrm{i}$, 则$f(1+2\\mathrm{i})=$\\blank{50}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0511005B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -51241,7 +51454,11 @@ "002032": { "id": "002032", "content": "已知非零复数$z_1,z_2$满足$|z_1+z_2|=|z_1-z_2|$, 求证: $\\left(\\dfrac{z_1}{z_2}\\right)^2$是负实数.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0511005B", + "K0511006B", + "K0513002B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -51816,7 +52033,9 @@ "002055": { "id": "002055", "content": "负实数$a$的平方根为\\blank{50}，$-\\mathrm{i}$的平方根为\\blank{50}, $-\\mathrm{i}$的立方根为\\blank{100},\\\\ \n$8$的立方根为\\blank{100}, $1$的四次方根为\\blank{50}.", 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$x^2+4x+12=0$的解为\\blank{80}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0515003B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -52406,7 +52634,9 @@ "002079": { "id": "002079", "content": "在复数集中因式分解:\\\\ \n(1) $x^2+5y^2=$\\blank{100};\\\\ \n(2) $x^2+4xy+12y^2=$\\blank{100}.\\\\ \n(2) $a^2+2ab+b^2+c^2=$\\blank{100}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0515004B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -52430,7 +52660,9 @@ "002080": { "id": "002080", "content": "若实系数一元二次方程的一个根是$\\dfrac{1}{3}-\\dfrac{4\\sqrt{5}}{3}\\mathrm{i}$, 则这个方程可以是\\blank{80}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0515007B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -52458,7 +52690,9 @@ "002081": { "id": "002081", "content": "若实系数一元二次方程$2x^2+bx+c=0$的一个虚根是$\\sqrt{2}-\\sqrt{3}\\mathrm{i}$, 则$c=$\\blank{80}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0515007B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -52556,7 +52790,9 @@ "002085": { "id": "002085", "content": "求证: 对任意的实数$a$, 总存在复数$z$使得$z+\\dfrac{1}{z}=a$.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0515003B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -52580,7 +52816,10 @@ "002086": { "id": "002086", "content": "已知关于$x$的方程$x^2+x+p=0$的两个复数根$\\alpha,\\beta$满足$|\\alpha-\\beta|=3$, 求实数$p$的值.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0515003B", + "K0515007B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -52628,7 +52867,10 @@ "002088": { "id": "002088", "content": "若非零复数$x,y$满足$x^2+xy+y^2=0$, 则$\\left(\\dfrac{x}{x+y}\\right)^{2012}+\\left(\\dfrac{y}{x+y}\\right)^{2012}=$\\blank{50}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0511008B", + "K0515003B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -85884,7 +86126,10 @@ "003502": { "id": "003502", "content": "设复数$z=1-2\\mathrm{i}$, 则复数$z-\\overline{z+1}=$\\blank{50}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0511005B", + "K0512005B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -85905,7 +86150,10 @@ "003503": { "id": "003503", "content": "已知$a$是实常数, 则$\\dfrac{a+\\mathrm{i}}{1+\\mathrm{i}}$的虚部$\\mathrm{Im}\\dfrac{a+\\mathrm{i}}{1+\\mathrm{i}}=$\\blank{50}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0511006B", + "K0512002B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -85926,7 +86174,11 @@ "003504": { "id": "003504", "content": 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z=0$.\t& & \\\\ \\hline\n (2) 复数$z$是纯虚数的充要条件是$z+\\overline z=0$. & & \\\\ \\hline\n (3) $z+\\overline{z}$和$z\\cdot \\overline{z}$都是实数. & & \\\\ \\hline\n (4) 已知$|z|=2$, 那么$z=\\pm 2$或$\\pm 2\\mathrm{i}$. & & \\\\ \\hline\n \\end{tabular}\n\\end{center}", - "objs": [], + "objs": [ + "K0512003B", + "K0512005B", + "K0514001B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -86033,7 +86297,9 @@ "003509": { "id": "003509", "content": "求当$a$为何实数时, 复数$z=\\dfrac{a^2+a-30}{a+2}+(a^2-3a-10)\\mathrm{i}$分别是:\\\\\n(1) 实数;\\\\\n(2) 虚数;\\\\\n(3) 纯虚数;\\\\\n(4) 零.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0512003B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -86054,7 +86320,12 @@ "003510": { "id": "003510", "content": "已知复数$w$满足$w-4=(3-2w)\\mathrm{i}$, $z=\\dfrac 5w+|w-2|$, 求$|z|$.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0511005B", + "K0511006B", + "K0511007B", + "K0514001B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -86075,7 +86346,13 @@ "003511": { "id": "003511", "content": "已知$z$是虚数, $w=z+\\dfrac{1}{z}$是实数, 且$-10$, 那么$z_1>-z_2$;\\\\\n(4) 若$|z|\\le 1$, 则$-1\\le z\\le 1$;\\\\\n(5) 若$z\\in \\mathbf{C}$, 那么$|z^2|=|z|^2$;\\\\\n(6) 若$z\\in \\mathbf{C}$, 那么$|z|=\\sqrt{z^2}$.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0511005B", + "K0511008B", + "K0514001B", + "K0514003B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -86203,7 +86496,12 @@ "003517": { "id": "003517", "content": "已知虚数$z$使得$m=z+\\dfrac 4z$是实数.\\\\\n(1) 求$|z|$的值;\\\\\n(2) 求$m$的取值范围;\\\\\n(3) 若$(z+2)(1+\\mathrm{i})$是纯虚数, 求$z$的值.\\\\", - "objs": [], + "objs": [ + "K0511005B", + "K0511006B", + "K0512003B", + "K0513002B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -86245,7 +86543,10 @@ "003519": { "id": "003519", "content": "复数$z$与$\\overline z$在复平面内对应的点\\bracket{20}.\n\\fourch{关于原点对称}{关于$x$轴对称}{关于$y$轴对称}{关于直线$y=x$对称}", - "objs": [], + "objs": [ + "K0512005B", + "K0513003B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -86266,7 +86567,9 @@ "003520": { "id": "003520", "content": "若复数$z_1$、$z_2$满足$z_1+z_2=0$, 则$z_1$、$z_2$在复平面上对应的点$Z_1$、$Z_2$\\bracket{20}.\n\\fourch{关于原点对称}{关于$x$轴对称}{关于$y$轴对称}{关于直线$y=x$对称}", - "objs": [], + "objs": [ + "K0513003B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -86287,7 +86590,11 @@ "003521": { "id": "003521", "content": "满足$\\begin{cases} |z-\\mathrm{i}|\\le 1, \\\\ \\mathrm {Re}z\\ge 0 \\end{cases}$的复数、在复平面内对应点所构成图形的面积为\\blank{50}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0512002B", + "K0513003B", + "K0514007B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -86308,7 +86615,9 @@ "003522": { "id": "003522", "content": "平行四边形$ABCD$的三个顶点$A,B,C$依次对应复数$z_1=0$, $z_2=1+\\mathrm{i}$, $z_3=-1+2\\mathrm{i}$, 则点$D$对应的复数为\\blank{50}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0513004B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -86329,7 +86638,11 @@ "003523": { "id": "003523", "content": "设$z=a+b\\mathrm{i}$($a,b\\in\\mathbf{R}$), 则$\\mathrm{i}\\cdot \\overline{z}$所表示的点、关于直线$y=x$对称的点的复数表示为\\blank{50}.", - "objs": [], + "objs": [ + "K0511005B", + "K0512005B", + "K0513003B" + ], "tags": [ "第五单元" ], @@ -86350,7 +86663,9 @@ "003524": { "id": "003524", "content": "满足下列条件的复数$z$所对应点的轨迹是什么? 在空格内填入轨迹类型和直角坐标系下方程.\\\\\n例子: (0) $|z|=1$: 圆$x^2+y^2=1$;\\\\\n(1) 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