diff --git a/题库0.3/Problems.json b/题库0.3/Problems.json index c64bd48d..f64a63f9 100644 --- a/题库0.3/Problems.json +++ b/题库0.3/Problems.json @@ -494441,7 +494441,9 @@ "id": "019304", "content": "命题``存在 $x \\in \\mathbf{R}$, 使得 $x^2+2 x+2 \\leq 0$''的否定是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -494461,7 +494463,9 @@ "id": "019305", "content": "设不等式 $\\dfrac{a(x-2)}{x+3}<2$ 的解集为 $A$, 且 $1 \\notin A$, 则实数 $a$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -494481,7 +494485,9 @@ "id": "019306", "content": "迎春杯数学竞赛后, 甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖. 甲说:``如果我能获奖, 那么乙也能获奖.''乙说:``如果我能获奖, 那么丙也能获奖.''丙说:``如果丁没获奖, 那么我也不能获奖.''实际上, 他们之中只有一个人没有获奖, 并且甲、乙、丙说的话都是正确的. 那么没能获奖的同学是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -494501,7 +494507,9 @@ "id": "019307", "content": "若关于 $x$ 的不等式 $x^2+a x-a-2>0$ 和 $2 x^2+2(2 a+1) x+4 a^2+1>0$ 的解集依次为 $A$ 和 $B$, 那么, 使得 $A=\\mathbf{R}$ 和 $B=\\mathbf{R}$ 至少有一个成立的实数 $a$\\bracket{20}.\n\\onech{可以是 $\\mathbf{R}$ 中的任何一个数}{有无穷多个, 但并不是 $\\mathbf{R}$ 中所有的实数都能满足要求}{有且仅有一个}{不存在}", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -495281,7 +495365,9 @@ "id": "019346", "content": "若 $x_1$、$x_2$ 是方程 $a^x=(\\dfrac{1}{a})^{-\\frac{1}{x}+1}$($a>1$) 的两个实数解, 则 $x_1+x_2=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -495301,7 +495387,9 @@ "id": "019347", "content": "已知不等式 $a x^2+b x+c>0$ 的解为 $-30$, $n>0$, 且 $m+n=1$, 求 $\\dfrac{1}{m}+\\dfrac{1}{n}$ 的最小值''提出各自的解题思路:\\\\\n甲: $\\dfrac{1}{m}+\\dfrac{1}{n}=\\dfrac{m+n}{m}+\\dfrac{m+n}{n}=2+\\dfrac{n}{m}+\\dfrac{m}{n}$, 可用基本不等式求解;\\\\\n乙: $\\dfrac{1}{m}+\\dfrac{1}{n}=\\dfrac{m+n}{m m}=\\dfrac{1}{m n}=\\dfrac{1}{m(1-m)}$, 可用二次函数配方法求解;\\\\\n丙: $\\dfrac{1}{m}+\\dfrac{1}{n}=(\\dfrac{1}{m}+\\dfrac{1}{n})(m+n)=2+\\dfrac{n}{m}+\\dfrac{m}{n}$, 可用基本不等式求解;\\\\\n参考上述解题思路, 可求得当 $x=$\\blank{50}时, $y=\\dfrac{a^2}{x^2}+\\dfrac{1}{100-x^2}$($00$) 有最小值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -495401,7 +495497,9 @@ "id": "019352", "content": "下列不等式一定成立的是\\bracket{20}.\n\\twoch{$\\lg (x^2+\\dfrac{1}{4})>\\lg x$($x>0$)}{$\\sin x+\\dfrac{1}{\\sin x}\\geq 2$($x \\neq k \\pi$, $k \\in \\mathbf{Z}$)}{$x^2+1 \\geq 2|x|$($x \\in \\mathbf{R}$)}{$\\dfrac{1}{x^2+1}>1$($x \\in \\mathbf{R}$)}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -495421,7 +495519,9 @@ "id": "019353", "content": "若不等式 $a \\leq|x-1|-|x-3| \\leq b$ 对任意实数 $x$ 恒成立, 则 $b-a$ 的最小值为\\bracket{20}.\n\\fourch{$4$}{$2$}{$-4$}{$-2$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -495441,7 +495541,9 @@ "id": "019354", "content": "若不等式 $(|x-a|-b) \\sin (\\pi x+\\dfrac{\\pi}{6}) \\leq 0$ 对 $x \\in[-1,1]$ 恒成立, 则 $a+b$ 的值等于\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\dfrac{2}{3}$}{$\\dfrac{5}{6}$}{$1$}{$2$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -495461,7 +495563,9 @@ "id": "019355", "content": "某热力公司每年燃料费约 $24$ 万元, 为了``环评''达标, 需要安装一块面积为 $x$ (其中 $x \\geq 0$, 单位: 平方米) 可用 15 年的太阳能板, 其工本费为 $\\dfrac{x}{2}$ (单位: 万元), 并与燃料供热互补工作, 从此, 公司每年的燃料费为 $\\dfrac{k}{20 x+100}$($x \\geq 0$, $k$ 为常数) 万元. 记 $y$ 为该公司安装太阳能板的费用与 15 年的燃料费之和.\\\\\n(1) 求 $k$ 的值, 并建立 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式;\\\\\n(2) 求 $y$ 的最小值, 并求出此时所安装太阳能板的面积.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -495481,7 +495585,9 @@ "id": "019356", "content": "已知 $x_1$、$x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $4 k x^2-4 k x+k+1=0$ 的两个实数根.\\\\\n(1) 是否存在实数 $k$, 使得 $(2 x_1-x_2)(x_1-2 x_2)=-\\dfrac{3}{2}$ 成立? 若存在, 求出 $k$ 的值; 若不存在, 请说明理由;\\\\\n(2) 若 $k \\in \\mathbf{Z}$, 求使 $\\dfrac{x_1}{x_2}+\\dfrac{x_2}{x_1}-2$ 的值为整数的实数 $k$ 的值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -495501,7 +495607,9 @@ "id": "019357", "content": "若函数 $f(x)$ 满足: 对于任意正数 $s, t$, 都有 $f(s)>0$, $f(t)>0$, 且 $f(s)+f(t)\\dfrac{x}{2}-\\dfrac{2}{x}$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -495521,7 +495629,9 @@ "id": "019358", "content": "下列图形中, (是以 $x$ 为自变量的) 函数的图像的是\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (0,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (1.5,0) node [below] {\\textcircled{1}};\n\\foreach \\i in {0.1,0.2,...,2.5}\n{\\filldraw (\\i,{1.5+sin((\\i-0.1)/2.4*360)*1.2}) circle (0.02);};\n\\end{tikzpicture}\n\\hspace*{3em}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (0,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (1.5,0) node [below] {\\textcircled{2}};\n\\draw (0,0) -- (0.5,2.8) -- (1,0.4) -- (1.5,2.6) -- (2,0.8) -- (2.5,2.4) -- (2.8,1.5);\n\\draw [dashed] (2.8,1.5) -- (2.8,0);\n\\end{tikzpicture}\n\\hspace*{3em}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (0,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (1.5,0) node [below] {\\textcircled{3}};\n\\draw (1.5,1.5) circle (1.3);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - 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(用区间表示)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -495561,7 +495673,9 @@ "id": "019360", "content": "函数 $f(x)=\\begin{cases}(\\dfrac{1}{2})^x,& x<0,\\\\\\log _{\\frac{1}{2}}x,& x \\geq 0,\\end{cases}$ 则 $f(\\dfrac{1}{4})+f(\\log _2 \\dfrac{1}{6})=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -495581,7 +495695,9 @@ "id": "019361", "content": "设 $D$ 是含数$1$的有限实数集, $f(x)$ 是定义在 $D$ 上的函数, 若 $f(x)$ 的图像绕原点逆时针旋转 $\\dfrac{\\pi}{6}$ 后与原图像重合, 则在以下各项中, $f(1)$ 的取值只能是\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\sqrt{3}$}{$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$}{$\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}$}{$0$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -495601,7 +495717,9 @@ "id": "019362", "content": "设曲线 $C$ 与函数 $f(x)=\\dfrac{\\sqrt{3}}{12}x^2$($00\\end{cases}$为奇函数, 则$a=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -495641,7 +495761,9 @@ "id": "019364", "content": "已知 $a \\in\\{-2,-1,-\\dfrac{1}{2}, \\dfrac{1}{2}, 1,2,3\\}$, 若幂函数 $f(x)=x^a$ 为奇函数, 且在 $(0,+\\infty)$ 上严格减, 则 $a=$\\blank{50}.", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -496001,7 +496157,9 @@ "id": "019382", "content": "已知函数 $f(x), g(x)$ 在数集 $D$ 上都有定义, 对于任意的 $x_1, x_2 \\in D$, 当 $x_1b$}{$a ba^2$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -496421,7 +496619,9 @@ "id": "019403", "content": "如图为函数 $y=f(x)$ 的导函数 $y=f'(x)$ 的图像, 那么函数 $y=f(x)$ 的图像可能为\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.5]\n\\draw [->] (-1,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = -1:3] plot (\\x,{\\x*(\\x-2)});\n\\draw (2,0.2) -- (2,0) node [below] {$2$};\n\\draw (1,0.2) -- (1,0) node [below] {$1$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.8]\n\\draw [->] (-1,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = -0.2:2.4] plot (\\x,{1.1*\\x*(\\x-1)*(\\x-2)});\n\\draw (2,0.2) -- (2,0) node [below] {$2$};\n\\draw (1,0.2) -- (1,0) node [below] {$1$};\n\\end{tikzpicture}}{\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.8]\n\\draw [->] (-1,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = -0.4:2.2] plot (\\x,{-\\x*(\\x-1)*(\\x-2)});\n\\draw [dashed] ({(3-sqrt(3))/3},{-2/3/sqrt(3)}) -- ({(3-sqrt(3))/3},0) node [above] {$1$};\n\\end{tikzpicture}}{\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.8]\n\\draw [->] (-1,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = -1:2.85] plot (\\x,{-\\x*\\x+\\x*\\x*\\x/3+1});\n\\draw [dashed] (2,{-4+8/3+1}) -- (2,0) node [above] {$2$};\n\\end{tikzpicture}}{\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.8]\n\\draw [->] (-1,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [above left] {$O$};\n\\draw [domain = -1:2.85] plot (\\x,{\\x*\\x-\\x*\\x*\\x/3-0.5});\n\\draw [dashed] (2,{4-8/3-0.5}) -- (2,0) node [below] {$2$};\n\\end{tikzpicture}}", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -496981,7 +497235,9 @@ "id": "019431", "content": "已知关于 $t$ 的方程 $t^2-2 t+a=0$($a \\in \\mathbf{R}$) 有两个虚根 $t_1$、$t_2$, 且满足 $|t_1-t_2|=2 \\sqrt{3}$.\\\\\n(1) 求方程的两个根以及实数 $a$ 的值;\\\\\n(2) 若对于任意 $x \\in \\mathbf{R}$, 不等式 $\\log _a(x^2+a) \\geq-k^2+2 m k-2 k$ 对于任意的 $k \\in[2,3]$ 恒成立, 求实数 $m$ 的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -497001,7 +497257,9 @@ "id": "019432", "content": "在直角坐标平面 $xOy$ 上的一列点 $A_1(1, a_1), A_2(2, a_2), \\cdots, A_n(n, a_n), \\cdots$, 简记为 $\\{A_n\\}$. 若由 $b_n=\\overrightarrow{A_n A_{n+1}}\\cdot \\overrightarrow{j}$ 构成的数列 $\\{b_n\\}$ 满足 $b_{n+1}>b_n$, $n=1,2, \\cdots$, 其中 $\\overrightarrow{j}$ 为方向与 $y$ 轴正方向相同的单位向量, 则称 $\\{A_n\\}$ 为 $T$ 点列.\\\\\n(1) 判断 $A_1(1,1), A_2(2, \\dfrac{1}{2}), A_3(1, \\dfrac{1}{3}), \\cdots, A_n(n, \\dfrac{1}{n}), \\cdots$, 是否为 $T$ 点列, 并说明理由;\\\\\n(2) 若 $\\{A_n\\}$ 为 $T$ 点列, 则点 $A_2$ 在点 $A_1$ 的右上方. 任取其中连续三点 $A_k$、$A_{k+1}$、$A_{k+2}$. 判断 $\\triangle A_k A_{k+1}A_{k+2}$ 的形状 (锐角三角形、直角三角形、钝角三角形), 并予以证明;\\\\\n(3) 若 $\\{A_n\\}$ 为 $T$ 点列, 正整数 $1 \\leq m \\overrightarrow{A_m A_p}\\cdot \\overrightarrow{j}$.", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -497161,7 +497433,9 @@ "id": "019440", "content": "一个二面角的余弦值为 $-\\dfrac{3}{5}$, 则这个二面角的大小为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -497181,7 +497455,9 @@ "id": "019441", "content": "已知向量 $\\overrightarrow{m}=(\\dfrac{1}{2}, \\dfrac{1}{2}\\sin 2 x+\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cos 2 x)$, $\\overrightarrow{n}=(f(x),-1)$, 且 $\\overrightarrow{m}\\perp \\overrightarrow{n}$. 则函数 $f(x)$ 在 $x \\in[0, \\pi]$ 上的减区间为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -497201,7 +497477,9 @@ "id": "019442", "content": "已知函数 $f(x)=\\sin (\\omega x+\\dfrac{\\pi}{3})$($\\omega>0$), 若 $f(\\dfrac{\\pi}{6})=f(\\dfrac{\\pi}{3})$, 且 $f(x)$ 在区间 $(\\dfrac{\\pi}{6}, \\dfrac{\\pi}{3})$ 内有最小值无最大值, 则实数 $\\omega=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -497221,7 +497499,9 @@ "id": "019443", "content": "已知关于 $x$ 的方程 $\\sqrt{3}\\sin 2 x+\\cos 2 x=k+1$ 在区间 $[0, \\dfrac{\\pi}{2}]$ 内有相异两个实数根, 则实数 $k$ 的取值范围为\\blank{50}.", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -497481,7 +497785,9 @@ "id": "019456", "content": "如图, 某海岸线可近视地看成曲线段 $A-B-C$, 其中 $AB$ 为线段, $\\overset\\frown{BC}$ 为四分之一的圆弧, $BD=39.2 \\mathrm{km}$, $\\angle BDC=22^{\\circ}$, $\\angle CBD=68^{\\circ}$, $\\angle BDA=58^{\\circ}$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}\n\\path (0,0) coordinate (D) node [below right] {$D$};\n\\path (112:3.92) coordinate (B) node [above left] {$B$};\n\\path (0,3.63456) coordinate (C) node [above right] {$C$};\n\\path (-4.2365,0.747) coordinate (A) node [left] {$A$};\n\\draw (D) -- (C) -- (B) (A) -- (D) -- (B);\n\\draw [very thick] (C) arc (45:135:1.0383565) (A) -- (B);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求 $\\overset\\frown{BC}$ 的长度;\\\\\n(2) 若 $AB=40 \\mathrm{km}$, 求点 $D$ 到海岸线 $A-B-C$ 的最短距离.(精确到 $0.001 \\mathrm{km}$)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -497501,7 +497807,9 @@ "id": "019457", "content": "已知数列 $\\{a_n\\}$ 满足 $a_1=2$ 若对任意的正整数 $p, q$, 都有 $a_{p+q}=a_p+a_q$, 则 $a_{2023}=$\\blank{50}, 若对任意的正整数 $p, q$, 都有 $a_{p+q}=a_p \\cdot a_q$, 则 $a_{2023}=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -497521,7 +497829,9 @@ "id": "019458", "content": "已知无穷数列 $\\{a_n\\}$ 的通项公式 $a_n=\\dfrac{9^n(n+1)}{10^n}$, 试判断此数列是否有最大项, 若有, 求出第几项最大, 若没有, 说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -497541,7 +497851,9 @@ "id": "019459", "content": "已知 $S_n$ 为数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $n$ 项和, 点 $(a_n, S_n)$ 在直线 $y=2 x-3 n$ 上.\\\\\n(1) 若数列 $\\{a_n+c\\}$ 成等比, 求常数的值;\\\\\n(2) 求数列 $\\{a_n\\}$ 的通项公式;\\\\\n(3) 数列 $\\{a_n\\}$ 中是否存在三项, 它们可以构成等差数列? 若存在, 请求出一组适合条件的项; 若不存在, 请说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -497561,7 +497873,9 @@ "id": "019460", "content": "已知数列 $\\{x_n\\}$ 满足 $x_1=\\dfrac{1}{2}$, $x_{n+1}=\\dfrac{1}{1+x_n}$, $n \\in \\mathbf{N}$, $n \\geq 1$. 猜想数列 $\\{x_{2 n}\\}$ 的单调性, 并证明你的结论.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -497581,7 +497895,9 @@ "id": "019461", "content": "已知数列 $\\{a_n\\}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列, $a_1=\\dfrac{3}{2}$, 数列 $\\{b_n\\}$ 是等比数列, 且 $b_1=a_1$, $b_2=-a_3$, $b_3=a_4$, 数列 $\\{b_n\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 记点 $Q_n(b_n, S_n), n \\in \\mathbf{N}$, $n \\geq 1$.\\\\\n(1) 求数列 $\\{b_n\\}$ 的通项公式;\\\\\n(2) 证明: 点 $Q_1$、$Q_2$、$Q_3$、$\\cdots$、$Q_n$、$\\cdots$ 在同一直线 $l$ 上, 并求出直线 $l$ 的方程;\\\\\n(3) 若 $A \\leq S_n-\\dfrac{1}{S_n}\\leq B$ 对 $n \\in \\mathbf{N}$, $n \\geq 1$ 恒成立, 求 $B-A$ 的最小值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -497601,7 +497917,9 @@ "id": "019462", "content": "记 $S_n$ 为等差数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_1=-2$, $a_2+a_6=2$, 则 $S_{10}=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -497621,7 +497939,9 @@ "id": "019463", "content": "若正项等比数列 $\\{a_n\\}$ 满足: $a_3+a_5=4$, 则 $a_4$ 的最大值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -497641,7 +497961,9 @@ "id": "019464", "content": "已知数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且满足 $S_m+S_n=S_{m+n}$, 若 $a_1=2$, 则 $a_{20}=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -497661,7 +497983,9 @@ "id": "019465", "content": "已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 若 $a_4, S_5, S_7 \\in\\{-10,0\\}$, 则 $S_n$ 的最小值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -497681,7 +498005,9 @@ "id": "019466", "content": "设数列 $\\{a_n\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 若 $a_1=1$, $S_n-\\dfrac{1}{3}a_{n+1}=0$($n \\in \\mathbf{N}$, $n \\geq 1$), 则 $\\{a_n\\}$ 的通项公式为\\blank{50}.", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -498401,7 +498797,9 @@ "id": "019502", "content": "某团队开发一款``猫捉老鼠''的游戏. 如图所示, $A$、$B$ 两个信号源相距 $10$ 米, $O$ 是 $AB$ 的中点, 过点 $O$ 的直线 $l$ 与直线 $AB$ 的夹角为 $45^{\\circ}$. 机器猫在直线 $l$ 上运动, 机器鼠的运动轨迹始终满足: 接收到点 $A$ 的信号比接收到点 $B$ 的信号晩 $\\dfrac{8}{v_0}$ 秒, 其中 $v_0$ (单位: 米/ 秒) 是信号传播的速度. 游戏设定: 机器鼠在距离直线 $l$ 不超过 $1.5$ 米的区域运动时, 有``被抓''的风险, 如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变, 是否有``被抓''的风险?\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below right] {$O$};\n\\filldraw (-1,0) circle (0.03) node [below] {$A$} coordinate (A);\n\\filldraw (1,0) circle (0.03) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (-1.6,-1.6) -- (1.6,1.6) node [right] {$l$};\n\\draw (0.8,0.8) node [fill = white] {\\rotatebox{45}{猫}};\n\\draw ({4/3},0.8) node {鼠};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -498421,7 +498819,9 @@ "id": "019503", "content": "如图, 设 $F$ 是椭圆 $\\dfrac{x^2}{3}+\\dfrac{y^2}{4}=1$ 的下焦点, 直线 $y=k x-4$($k>0$) 与椭圆相交于 $A$、$B$ 两点, 与 $y$ 轴交于 $P$ 点.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.5]\n\\draw [->] (-3,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-5) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$} coordinate (O);\n\\draw (O) ellipse ({sqrt(3)} and 2);\n\\draw (0,-1) node [left] {$F$} coordinate (F);\n\\draw (0,-4) node [left] {$P$} coordinate (P);\n\\draw ({3*sqrt(5)/8},{-7/4}) node [below right] {$A$} coordinate (A);\n\\draw ($(P)!2!(A)$) node [right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw ($(P)!-0.2!(B)$) -- ($(B)!-0.2!(P)$);\n\\draw (A)--(F)--(B);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 若 $\\overrightarrow{PA}=\\overrightarrow{AB}$, 求 $k$ 的值;\\\\\n(2) 求证: $\\angle AFP=\\angle BFO$;\\\\\n(3) 求 $\\triangle ABF$ 面积的最大值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -498441,7 +498841,9 @@ "id": "019504", "content": "已知抛物线 $\\Gamma: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$, 若 $\\triangle ABC$ 的三个顶点都在抛物线 $\\Gamma$ 上, 且\n$\\overrightarrow{FA}+\\overrightarrow{FB}+\\overrightarrow{FC}=\\overrightarrow{0}$, 则称该三角形为``核心三角形''.\\\\\n(1) 是否存在``核心三角形'', 其中两个顶点的坐标分别为 $(0,0)$ 和 $(1,2)$? 请说明理由;\\\\\n(2) 设``核心三角形''$ABC$ 的一边 $AB$ 所在直线的斜率为 4 , 求直线 $AB$ 的方程;\\\\\n(3) 已知 $\\triangle ABC$ 是``核心三角形'', 证明: 点 $A$ 的横坐标小于 $2$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -498461,7 +498863,9 @@ "id": "019505", "content": "已知椭圆 $C: \\dfrac{x^2}{4}+\\dfrac{y^2}{3}=1$, 直线 $l$ 经过椭圆的右焦点 $F$, 交椭圆 $C$ 于 $P$、$Q$ 两点 (点 $P$ 在第二象限), 若 $Q$ 关于 $x$ 轴对称的点为 $Q'$, 且满足 $PQ \\perp FQ'$, 则直线 $l$ 的方程为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -498481,7 +498885,9 @@ "id": "019506", "content": "若曲线 $C: y^2-2 y-x+3=0$ 和直线 $l: y=k x+\\dfrac{3}{2}$ 只有一个公共点, 则实数 $k$ 的取值范围为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -498501,7 +498907,9 @@ "id": "019507", "content": "已知抛物线: $y^2=2 p x$($p>0$), 若第一象限的 $A$、$B$ 两点在抛物线上, 焦点为 $F$, $|AF|= 2$, $|BF|=4$, $|AB|=3$, 则直线 $AB$ 的斜率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -498521,7 +498929,9 @@ "id": "019508", "content": "已知双曲线 $\\dfrac{x^2}{a^2}-y^2=1$($a>0$), 双曲线右支上有任意两点 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ 满足 $x_1 x_2-y_1 y_2>0$ 恒成立, 则 $a$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -498541,7 +498951,9 @@ "id": "019509", "content": "$P$ 为双曲线 $\\dfrac{x^2}{9}-\\dfrac{y^2}{16}=1$ 的右支上一点, $M, N$ 分别是圆 $(x+5)^2+y^2=4$ 和 $(x-5)^2+ y^2=4$ 上的点, 则 $|PM|-|PN|$ 的最大值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -498561,7 +498973,9 @@ "id": "019510", "content": "双曲线 $C: x^2-\\dfrac{y^2}{2}=1$, 过定点 $A(-1,0)$ 的两条垂线分别交双曲线于 $P, Q$ 两点, 直线 $PQ$ 恒过定点\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -498581,7 +498995,9 @@ "id": "019511", "content": "已知直线方程 $f(x, y)=0$ 表示直线 $l$, 点 $P(x_0, y_0)$ 为定点, 若点 $P$ 不在直线 $l$ 上, 则 $f(x, y)=f(x_0, y_0)$ 一定表示\\bracket{20}.\n\\twoch{过 $P$ 而与直线 $l$ 相交的直线}{过 $P$ 而与直线 $l$ 平行的直线}{过 $P$ 而与直线 $l$ 垂直的直线}{过 $P$ 而与直线 $l$ 重合的直线}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -498601,7 +499017,9 @@ "id": "019512", "content": "如图, 某绿色蔬菜种植基地在 $A$ 处, 要把此处生产的蔬菜沿道路 $AA_1$ 或 $AA_2$ 运送到四边形区域 $A_1A_2A_3A_4$ 的农贸市场. 现要求在农贸市场中确定一条界线, 使位于界线一侧的点沿道路 $AA_1$ 比沿道路 $AA_2$ 运送蔬菜近, 而另一侧的点则反之, 该界线所在曲线为\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) node [left] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw (2,0) node [right] {$A_2$} coordinate (A_2);\n\\draw (0.5,-1.5) node [below] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (2.5,1) node [right] {$A_3$} coordinate (A_3);\n\\draw (0.3,1.8) node [above] {$A_4$} coordinate (A_4);\n\\filldraw [pattern = north east lines] (A_1)--(A_2)--(A_3)--(A_4)--cycle;\n\\draw (A_1)--(A)--(A_2);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{直线}{椭圆}{双曲线}{抛物线}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -498621,7 +499039,9 @@ "id": "019513", "content": "在直角坐标平面内, 点 $A, B$ 的坐标分别为 $(-1,0),(1,0)$, 则满足 $\\tan \\angle PAB \\cdot \\tan \\angle PBA=m$ ($m$ 为非零常数) 的点 $P$ 的轨迹方程是\\bracket{20}.\n\\fourch{$x^2-\\dfrac{y^2}{m}=1$($y \\neq 0$)}{$x^2-\\dfrac{y^2}{m}=1$}{$x^2+\\dfrac{y^2}{m}=1$($y \\neq 0$)}{$x^2+\\dfrac{y^2}{m}=1$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -498641,7 +499061,9 @@ "id": "019514", "content": "如图, 双曲线 $\\Gamma: \\dfrac{x^2}{3}-y^2=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过 $F_2$ 作直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $Q$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.3]\n\\draw [->] (-10,0) -- (10,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-6) -- (0,6) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = -5.5:5.5, samples = 100] plot ({sqrt(3+3*\\x*\\x)},\\x);\n\\draw [domain = -5.5:5.5, samples = 100] plot ({-sqrt(3+3*\\x*\\x)},\\x);\n\\filldraw (-2,0) circle (0.1) node [below left] {$F_1$};\n\\filldraw (2,0) circle (0.1) node [below right] {$F_2$};\n\\draw (0,-2) node [right] {$Q$};\n\\draw (-4,-6) -- (8,6);\n\\draw [dashed] (-10,{-10/sqrt(3)}) -- (10,{10/sqrt(3)});\n\\draw [dashed] (10,{-10/sqrt(3)}) -- (-10,{10/sqrt(3)});\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 当直线 $l$ 平行于 $\\Gamma$ 的一条渐近线时, 求点 $F_1$ 到直线 $l$ 的距离;\\\\\n(2) 当直线 $l$ 的斜率为 $1$ 时, 在 $\\Gamma$ 的右支上是否存在点 $P$, 满足 $\\overrightarrow{F_1P}\\cdot \\overrightarrow{F_1Q}=0$ ? 若存在,求出 $P$ 点的坐标; 若不存在, 说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -498661,7 +499083,9 @@ "id": "019515", "content": "在平面直角坐标系中, $A$、$B$ 分别为椭圆 $\\Gamma: \\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 的上、下顶点, 若动直线 $l$ 过点 $P(0, b)$($b>1$), 且与椭圆 $\\Gamma$ 相交于 $C$、$D$ 两个不同点 (直线 $l$ 与 $y$ 轴不重合, 且 $C$、$D$ 两点在 $y$ 轴右侧, $C$ 在 $D$ 的上方), 直线 $AD$ 与 $BC$ 相交于点 $Q$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1.5) -- (0,1.9) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\filldraw (-1,0) circle (0.03) node [above] {$F_1$};\n\\filldraw (1,0) circle (0.03) node [above] {$F_2$};\n\\draw (0,1.6) node [right] {$P(0,b)$} coordinate (P);\n\\draw (1.5,-1) coordinate (R) node [right] {$l$};\n\\draw [name path = l] ($(P)!-0.1!(R)$) -- (R);\n\\draw [name path = elli] (0,0) ellipse ({sqrt(2)} and 1);\n\\draw [name intersections = {of = l and elli, by = {C,D}}];\n\\draw (C) node [above] {$C$};\n\\draw (D) node [below] {$D$};\n\\draw (0,1) node [above left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (0,-1) node [below left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw [name path = BC] (B)--(C);\n\\draw [name path = AD] (A)--(D);\n\\draw [name intersections = {of = BC and AD, by = Q}];\n\\draw (Q) node [left] {$Q$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 设 $\\Gamma$ 的两焦点为 $F_1$、$F_2$, 求 $\\angle F_1AF_2$ 的值;\\\\\n(2) 若 $b=3$, 且 $\\overrightarrow{PD}=\\dfrac{3}{2}\\overrightarrow{PC}$, 求点 $Q$ 的横坐标;\\\\\n(3) 是否存在这样的点 $P$, 使得点 $Q$ 的纵坐标恒为 $\\dfrac{1}{3}$ ? 若存在, 求出点 $P$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -498681,7 +499105,9 @@ "id": "019516", "content": "已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过抛物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点 $F$, 且与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$.\\\\\n(1) 若点 $A$ 和 $B$ 到抛物线准线的距离分别为 $\\dfrac{3}{2}$ 和 $3$, 求 $|AB|$;\\\\\n(2) 若 $|AF|+|AB|=2|BF|$, 求 $k$ 的值;\\\\\n(3) 点 $M(t, 0)$, $t>0$, 对任意确定的实数 $k$, 若 $\\triangle AMB$ 是以 $AB$ 为斜边的直角三角形,判断符合条件的点 $M$ 有几个, 并说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -498701,7 +499127,9 @@ "id": "019517", "content": "过正方体中心的平面截正方体所得的截面中, 不可能的图形是\\bracket{20}.\n\\fourch{三角形}{长方形}{对角线不相等的菱形}{六边形}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -498721,7 +499149,9 @@ "id": "019518", "content": "已知平面 $\\alpha$、$\\beta$、$\\gamma$ 两两垂直, 直线 $a$、$b$、$c$ 满足: $a \\subset \\alpha, b \\subset \\beta, c \\subset \\gamma$, 则直线 $a$、$b$、$c$ 不可能满足以下哪种关系\\bracket{20}.\n\\fourch{两两垂直}{两两平行}{两两相交}{两两异面}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -498741,7 +499171,9 @@ "id": "019519", "content": "如果 $a$、$b$ 是异面直线, $P$ 是不在 $a$、$b$ 上的一点, 下列四个结论:\\\\\n\\textcircled{1} 过 $P$ 一定可作直线 $l$ 与 $a$、$b$ 都异面;\\\\\n\\textcircled{2} 过 $P$ 一定可作直线 $l$ 与 $a$、$b$ 都垂直;\\\\\n\\textcircled{3} 过 $P$ 一定可作平面 $\\alpha$ 与 $a$、$b$ 都平行;\\\\\n\\textcircled{4} 过 $P$ 一定可作直线 $l$ 与 $a$、$b$ 都平行.\\\\\n其中正确的结论有\\bracket{20}.\n\\fourch{0 个}{1 个}{2 个}{3 个}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -498761,7 +499193,9 @@ "id": "019520", "content": "如图, 正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $P$、$Q$、$R$、$S$ 分别为棱 $AB$、$BC$、$BB_1$、$CD$ 的中点, 联结 $A_1S$、$B_1D$. 空间任意两点 $M$ 、 $N$, 若线段 $MN$ 上不存在点在线段 $A_1S$、$B_1D$ 上, 则称 $M$、$N$ 两点可视,则下列选项中与点 $D_1$ 可视的为\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) node [below left] {$A$} coordinate (A) --++ (2,0) node [below right] {$B$} coordinate (B) --++ (45:{2/2}) node [right] {$C$} coordinate (C)\n--++ (0,2) node [above right] {$C_1$} coordinate (C1)\n--++ (-2,0) node [above left] {$D_1$} coordinate (D1) --++ (225:{2/2}) node [left] {$A_1$} coordinate (A1) -- cycle;\n\\draw (A) ++ (2,2) node [right] {$B_1$} coordinate (B1) -- (B) (B1) --++ (45:{2/2}) (B1) --++ (-2,0);\n\\draw [dashed] (A) --++ (45:{2/2}) node [left] {$D$} coordinate (D) --++ (2,0) (D) --++ (0,2);\n\\filldraw ($(A)!0.5!(B)$) circle (0.05) node [below] {$P$};\n\\filldraw ($(C)!0.5!(B)$) circle (0.05) node [below right] {$Q$};\n\\filldraw ($(B1)!0.5!(B)$) circle (0.05) node [above right] {$R$};\n\\filldraw ($(C)!0.5!(D)$) circle (0.05) node [above] {$S$} coordinate (S);\n\\draw [dashed] (A1) -- (S) (B1) -- (D);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{点 $P$}{点 $B$}{点 $R$}{点 $Q$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -498781,7 +499215,9 @@ "id": "019521", "content": "已知直二面角 $\\alpha-l-\\beta$, 直线 $a \\subset$ 平面 $\\alpha$, 直线 $b \\subset$ 平面 $\\beta$, 且 $a$ 与 $l$ 不垂直, $b$ 与 $l$ 不垂直, 那么\\bracket{20}.\n\\twoch{$a$ 与 $b$ 可能垂直, 但不可能平行}{$a$ 与 $b$ 可能垂直, 也可能平行}{$a$ 与 $b$ 不可能垂直, 但可能平行}{$a$ 与 $b$ 不可能垂直, 也不可能平行}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -498801,7 +499237,9 @@ "id": "019522", "content": "如图, 在棱长为 $10$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $P$ 为左侧面 $ADD_1A_1$ 上一点, 已知点 $P$ 到 $A_1D_1$ 的距离为 $3, P$ 到 $AA_1$ 的距离为 $2$ , 则与过点 $P$ 且与 $A_1C$ 平行的直线相交的面是\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.2]\n\\def\\l{10}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,-\\l) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,0,-\\l) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) -- (B) -- (C);\n\\draw [dashed] (A) -- (D) -- (C);\n\\draw (A) ++ (0,\\l,0) node [left] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw (B) ++ (0,\\l,0) node [right] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw (C) ++ (0,\\l,0) node [above right] {$C_1$} coordinate (C_1);\n\\draw (D) ++ (0,\\l,0) node [above left] {$D_1$} coordinate (D_1);\n\\draw (A_1) -- (B_1) -- (C_1) -- (D_1) -- cycle;\n\\draw (A) -- (A_1) (B) -- (B_1) (C) -- (C_1);\n\\draw [dashed] (D) -- (D_1);\n\\draw [dashed] (C)--(A_1);\n\\draw [dashed] ($(A)!0.7!(A_1)$) --++ (0,0,-2) node [right] {$P$} --++ (0,3,0);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{面 $AA_1B_1B$}{面 $BB_1C_1C$}{面 $CC_1D_1D$}{面 $ABCD$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -498821,7 +499259,9 @@ "id": "019523", "content": "如图, $ABCD$ 是矩形, $PA \\perp$ 平面 $ABCD, E$、$F$ 分别是 $AB$、$PC$ 的中点.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,0) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (3,0,0) node [right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (3,0,2) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,0,2) node [left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (0,1.5,0) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw ($(A)!0.5!(B)$) node [left] {$E$} coordinate (E);\n\\draw ($(C)!0.5!(P)$) node [right] {$F$} coordinate (F);\n\\draw (P)--(B)--(C)--(D)--cycle(P)--(C);\n\\draw [dashed] (B)--(A)--(D)(A)--(P)(E)--(F);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证: $CD \\perp PD$;\\\\\n(2) 求证: $EF\\parallel $ 平面 $PAD$;\\\\\n(3) 当平面 $PCD$ 与平面 $ABCD$ 成多大角时, 直线 $EF \\perp$ 平面 $PCD$?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -498841,7 +499281,9 @@ "id": "019524", "content": "在四面体 $ABCD$ 中, 面 $ABD$ 、面 $ACD$ 是全等的直角三角形, $AD$ 是公共的斜边, 且 $AD=\\sqrt{3}$, $BD=CD=1$, 面 $ABC$ 是等边三角形.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 1.5]\n\\draw (0,0,0) node [left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (1,0,0) node [right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (D) ++ (0,0,1) node [below] {$C$} coordinate (C);\n\\draw ($(B)!0.5!(C)$) ++ (0,{sqrt(6)/2},0) node [above] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle(A)--(C);\n\\draw [dashed] (B)--(D);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求异面直线 $AC$ 与 $BD$ 所成的角的大小;\\\\\n(2) 求二面角 $B-AD-C$ 的大小;\\\\\n(3) 过点 $A$ 作 $AO \\perp$ 平面 $BCD$, 垂足为 $O$, 求证: 四边形 $OBDC$ 是正方形; 并点 $A$ 到平面 $BCD$ 的距离;\\\\\n(4) 在直线 $AC$ 上是否存在一点 $E$, 使得 $ED$ 与面 $BCD$ 成 $30^{\\circ}$ 角? 若存在, 确定点 $E$ 的位置, 若不存在, 说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -498861,7 +499303,9 @@ "id": "019525", "content": "在正四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, 底面 $ABCD$ 的边长为 $3$, $BD_1$ 与底面所成角的大小为 $\\arctan \\dfrac{2}{3}$, 则该正四棱柱的高等于\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.6]\n\\def\\l{3}\n\\def\\m{3}\n\\def\\n{{2*sqrt(2)}}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,-\\m) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,0,-\\m) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) -- (B) -- (C);\n\\draw [dashed] (A) -- (D) -- (C);\n\\draw (A) ++ (0,\\n,0) node [left] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw (B) ++ (0,\\n,0) node [right] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw (C) ++ (0,\\n,0) node [above right] {$C_1$} coordinate (C_1);\n\\draw (D) ++ (0,\\n,0) node [above left] {$D_1$} coordinate (D_1);\n\\draw (A_1) -- (B_1) -- (C_1) -- (D_1) -- cycle;\n\\draw (A) -- (A_1) (B) -- (B_1) (C) -- (C_1);\n\\draw [dashed] (D) -- (D_1)(B)--(D_1);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -498881,7 +499325,9 @@ "id": "019526", "content": "如图, 在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $E$ 为 $A_1B_1$ 的中点, $AB=BB_1=2$, $AC=2 \\sqrt{5}$, 则异面直线 $BE$ 与 $AC$ 所成角的大小为\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.6]\n\\def\\l{2}\n\\def\\m{4}\n\\def\\n{2}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,-\\m) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,0,-\\m) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) -- (B) -- (C);\n\\draw [dashed] (A) -- (D) -- (C);\n\\draw (A) ++ (0,\\n,0) node [left] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw (B) ++ (0,\\n,0) node [right] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw (C) ++ (0,\\n,0) node [above right] {$C_1$} coordinate (C_1);\n\\draw (D) ++ (0,\\n,0) node [above left] {$D_1$} coordinate (D_1);\n\\draw (A_1) -- (B_1) -- (C_1) -- (D_1) -- cycle;\n\\draw (A) -- (A_1) (B) -- (B_1) (C) -- (C_1);\n\\draw [dashed] (D) -- (D_1);\n\\draw ($(A_1)!0.5!(B_1)$) node [above] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (B)--(E);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -498901,7 +499347,9 @@ "id": "019527", "content": "如图, 在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $E$ 为 $A_1B_1$ 的中点, $AB=BB_1=2$, $AC=2 \\sqrt{5}$, 则二面角 $C_1-BD-C$ 的大小为\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.6]\n\\def\\l{2}\n\\def\\m{4}\n\\def\\n{2}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,-\\m) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,0,-\\m) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) -- (B) -- (C);\n\\draw [dashed] (A) -- (D) -- (C);\n\\draw (A) ++ (0,\\n,0) node [left] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw (B) ++ (0,\\n,0) node [right] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw (C) ++ (0,\\n,0) node [above right] {$C_1$} coordinate (C_1);\n\\draw (D) ++ (0,\\n,0) node [above left] {$D_1$} coordinate (D_1);\n\\draw (A_1) -- (B_1) -- (C_1) -- (D_1) -- cycle;\n\\draw (A) -- (A_1) (B) -- (B_1) (C) -- (C_1);\n\\draw [dashed] (D) -- (D_1);\n\\draw ($(A_1)!0.5!(B_1)$) node [above] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (B)--(E);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -498921,7 +499369,9 @@ "id": "019528", "content": "设 $m$、$n$ 是空间两条不同直线, $\\alpha$、$\\beta$ 是两个不同平面, 下面有四个命题:\\\\\n\\textcircled{1} $m \\perp \\alpha$, $n \\parallel \\beta$, $\\alpha \\parallel \\beta \\Rightarrow m \\perp n$;\\\\\n\\textcircled{2} $m \\perp n$, $\\alpha \\parallel \\beta$, $m \\perp \\alpha \\Rightarrow n \\parallel \\beta$;\\\\\n\\textcircled{3} $m \\perp n$, $\\alpha \\parallel \\beta$, $m \\parallel \\alpha \\Rightarrow n \\perp \\beta$;\\\\\n\\textcircled{4} $m \\perp \\alpha$, $m \\parallel n$, $\\alpha \\parallel \\beta \\Rightarrow n \\perp \\beta$.\\\\\n其中真命题的编号是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -498941,7 +499391,9 @@ "id": "019529", "content": "已知集合 $A$、$B$、$C$, $A=\\{$ 直线 $\\}$, $B=\\{$ 平面 $\\}$, $C=A \\cup B$, 若 $a \\in A$, $b \\in B$, $c \\in C$, 下面给出四个命题:\\\\\n\\textcircled{1} $\\begin{cases}a \\perp b,\\\\c \\perp b\\end{cases}\\Rightarrow a \\parallel c$; \\textcircled{2} $\\begin{cases}a \\perp b,\\\\c \\parallel b\\end{cases}\\Rightarrow a \\perp c$; \\textcircled{3} $\\begin{cases}a \\parallel b,\\\\c \\parallel b\\end{cases}\\Rightarrow a \\parallel c$; \\textcircled{4} $\\begin{cases}a \\parallel b,\\\\c \\perp b\\end{cases}\\Rightarrow a \\perp c$.\n其中所有正确命题的序号为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -498961,7 +499413,9 @@ "id": "019530", "content": "已知正方体的棱长为 $1$, 每条棱所在的直线与平面所成的角相等, 则平面截此正方体所得截面面积的最大值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -498981,7 +499435,9 @@ "id": "019531", "content": "两条直线 $a$、$b$ 分别和异面直线 $c$、$d$ 都相交, 则直线 $a$、$b$ 的位置关系是\\bracket{20}.\n\\twoch{一定是异面直线}{一定是相交直线}{可能是平行直线}{可能是异面直线, 也可能是相交直线}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -499001,7 +499457,9 @@ "id": "019532", "content": "平面 $\\alpha$ 外有两条直线 $m$、$n$, 如果 $m$、$n$ 在平面 $\\alpha$ 内的射影分别是直线 $m'$、$n'$, 给出下列四个命题:\\\\\n\\textcircled{1} $m' \\perp n' \\Rightarrow m \\perp n$; \\textcircled{2} $m \\perp n \\Rightarrow m' \\perp n'$; \\textcircled{3} 若 $m'$ 和 $n'$ 相交, 则 $m$ 和 $n$ 相交或重合; \\textcircled{4} 若 $m'$ 和 $n'$ 平行, 则 $m$ 和 $n$ 平行或重合;\n其中真命题的个数是\\bracket{20}.\n\\fourch{0 个}{1 个}{2 个}{3 个}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -499021,7 +499479,9 @@ "id": "019533", "content": "如图, 已知正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1, AC=AA_1, E$、$F$ 分别是棱 $BC, A_1C_1$ 上的点. 记 $EF$ 与 $AA_1$ 所成的角为 $\\alpha$, $EF$ 与平面 $ABC$ 所成的角为 $\\beta$, 二面角 $F-BC-A$ 的平面角为 $\\gamma$, 则\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\def\\l{2}\n\\def\\h{2}\n\\draw ({-\\l/2},0,0) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (0,0,{\\l/2*sqrt(3)}) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw ({\\l/2},0,0) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,\\h) node [left] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw (B) ++ (0,\\h) node [below right] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw (C) ++ (0,\\h) node [right] {$C_1$} coordinate (C_1);\n\\draw (A) -- (B) -- (C) (A) -- (A_1) (B) -- (B_1) (C) -- (C_1) (A_1) -- (B_1) -- (C_1) (A_1) -- (C_1);\n\\draw [dashed] (A) -- (C);\n\\draw ($(B)!0.5!(C)$) node [below] {$E$} coordinate (E);\n\\draw ($(A_1)!0.7!(C_1)$) node [above] {$F$} coordinate (F);\n\\draw [dashed] (E)--(F);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{$\\alpha \\leq \\gamma \\leq \\beta$}{$\\alpha \\leq \\beta \\leq \\gamma$}{$\\beta \\leq \\alpha \\leq \\gamma$}{$\\beta \\leq \\gamma \\leq \\alpha$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -499041,7 +499501,9 @@ "id": "019534", "content": "如图, 已知 $ABCD$ 是矩形, $SA \\perp$ 平面 $ABCD$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,0) node [above right] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (2,0,0) node [right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (2,0,2) node [below] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,0,2) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (0,2,0) node [above] {$S$} coordinate (S);\n\\filldraw ($(S)!0.3!(C)$) circle (0.03) node [left] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (B)--(C)--(D)--(S)--cycle(S)--(C);\n\\draw [dashed] (B)--(A)--(D)(A)--(C)(A)--(S);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) $E$ 是 $SC$ 上一点, 求证: $BE$ 不可能垂直于平面 $SCD$;\\\\\n(2) 若 $SA=AB=2$, 求直线 $AC$ 与平面 $SCD$ 所成的角的大小.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499061,7 +499523,9 @@ "id": "019535", "content": "如图, 已知 $P$ 是平行四边形 $ABCD$ 所在平面外一点, $M$、$N$ 分别是 $AB$、$PC$ 的中点.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,0) node [below] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (0,0,2) node [below] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (2,0,2) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (2,0,0) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,2,1) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw ($(P)!0.5!(C)$) node [above] {$N$} coordinate (N);\n\\draw ($(A)!0.5!(B)$) node [below] {$M$} coordinate (M);\n\\draw (A)--(B)--(C)--(P)--cycle(M)--(N);\n\\draw [dashed] (A)--(D)--(C)(D)--(P);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证: $MN\\parallel$ 平面 $PAD$;\\\\\n(2) 若 $MN=BC=4$, $PA=4 \\sqrt{3}$, 求异面直线 $PA$ 与 $MN$ 所成的角的大小.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499081,7 +499545,9 @@ "id": "019536", "content": "《九章算术 -- 商功》: ``斜解立方, 得两堑堵. 斜解堑堵, 其一为阳马, 一为鳖臑. 阳马居二, 鳖臑居一, 不易之率也. 合两鳖臑三而一, 验之以基, 其形露矣.'' 刘徽注: ``此术臑者, 背节也, 或曰半阳马, 其形有似鳖肘, 故以名云. 中破阳马, 得两鳖臑, 鳖臑之起数, 数同而实据半, 故云六而一即得.'' \n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.6]\n\\draw (0,0,0) coordinate (A);\n\\draw (3,0,0) coordinate (B);\n\\draw (3,0,-2) coordinate (C);\n\\draw (0,0,-2) coordinate (D);\n\\draw (C) ++ (0,2,0) coordinate (C_1);\n\\draw (D) ++ (0,2,0) coordinate (D_1);\n\\fill [gray!30] (B)--(C)--(D_1)--cycle;\n\\draw (A)--(B)--(C)--(C_1)--(D_1)--cycle(D_1)--(B)--(C_1);\n\\draw [dashed] (A)--(D)--(C)--(D_1)--(D);\n\\draw (1.5,0,0) node [below] {堑堵};\n\\end{tikzpicture}\n\\hspace*{3em}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.6]\n\\draw (0,0,0) coordinate (A);\n\\draw (3,0,0) coordinate (B);\n\\draw (3,0,-2) coordinate (C);\n\\draw (0,0,-2) coordinate (D);\n\\draw (C) ++ (0,2,0) coordinate (C_1);\n\\draw (D) ++ (0,2,0) coordinate (D_1);\n\\fill [gray!30] (B)--(C)--(D_1)--cycle;\n\\draw (A)--(B)--(C)--(D_1)--cycle(D_1)--(B);\n\\draw [dashed] (A)--(D)--(C)(D_1)--(D);\n\\draw (1.5,0,0) node [below] {阳马};\n\\end{tikzpicture}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.6]\n\\draw (0,0,0) coordinate (A);\n\\draw (3,0,0) coordinate (B);\n\\draw (3,0,-2) coordinate (C);\n\\draw (0,0,-2) coordinate (D);\n\\draw (C) ++ (0,2,0) coordinate (C_1);\n\\draw (D) ++ (0,2,0) coordinate (D_1);\n\\fill [gray!30] (B)--(C)--(D_1)--cycle;\n\\draw (B)--(C)--(C_1)--(D_1)--cycle(B)--(C_1);\n\\draw [dashed] (C)--(D_1);\n\\draw (1.5,0,0) node [below] {鳖臑};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n如图, 在鳖臑 $ABCD$ 中, 侧棱 $AB \\perp$ 底面 $BCD$, 底面 $BCD$ 为直角三角形.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,0) node [left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (2,0,0) node [right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (2,0,2) node [below] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,2,0) node [above] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle(A)--(C);\n\\draw [dashed] (B)--(D);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 若 $\\angle ADB=\\theta_1$, $\\angle BDC=\\theta_2$, $\\angle ADC=\\theta_3$, 求证: $\\cos \\theta_1 \\cdot \\cos \\theta_2=\\cos \\theta_3$;\\\\\n(2) 若 $AB=1$, $BC=2$, $CD=1$, 求异面直线 $AC$ 与 $BD$ 所成角的余弦值;\\\\\n(3) 若 $BD \\perp CD, AB=BD=CD=2$, 点 $P$ 在棱 $AC$ 上运动, 试求 $\\triangle PBD$ 面积的最小值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499101,7 +499567,9 @@ "id": "019537", "content": "下列命题中: \\textcircled{1} 底面是矩形的平行六面体是长方体; \\textcircled{2} 底面是正方形的直平行六面体是正四棱柱; \\textcircled{3} 底面正方形的直四棱柱是正方体; \\textcircled{4} 所有棱长都相等的直平行六面体是正方体. 正确的序号为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499121,7 +499589,9 @@ "id": "019538", "content": "《九章算术》中, 称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马, 设 $AA_1$ 是正六棱柱的一条侧棱, 如图, 若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点, 以 $AA_1$ 为底面矩形的一边, 则这样的阳马的个数是\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}\n\\coordinate (A) at (0,0) node [below] {$A$};\n\\path (A) --++ (45:{sqrt(3)/2}) --++ (0.5,0) coordinate (B);\n\\path (A) --++ (45:{sqrt(3)}) coordinate (C);\n\\path (C) --++ (-1,0) coordinate (D);\n\\path (B) --++ (-2,0) coordinate (E);\n\\coordinate (F) at (-1,0);\n\\draw (F) -- (A) -- (B) -- (C);\n\\draw [dashed] (C) -- (D) -- (E) -- (F);\n\\foreach \\i in {(A),(B),(C),(F)}{\\draw \\i --++ (0,2);};\n\\foreach \\i in {(D),(E)}{\\draw [dashed] \\i --++ (0,2);};\n\\path (A) --++ (0,2) coordinate (A1) node [above] {$A_1$};\n\\path (B) --++ (0,2) coordinate (B1);\n\\path (C) --++ (0,2) coordinate (C1);\n\\path (D) --++ (0,2) coordinate (D1);\n\\path (E) --++ (0,2) coordinate (E1);\n\\path (F) --++ (0,2) coordinate (F1);\n\\draw (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- (E1) -- (F1) -- cycle;\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{$4$}{$8$}{$12$}{$16$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -499141,7 +499611,9 @@ "id": "019539", "content": "如图, 已知正四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$, $AB=BC=2$, $AA_1=a$, 若在棱 $AA_1$ 上存在点 $M$ 使得 $MC_1 \\perp MB$, 则 $a$ 的取值范围是\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\def\\l{2}\n\\def\\m{2}\n\\def\\n{3}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,-\\m) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,0,-\\m) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) -- (B) -- (C);\n\\draw [dashed] (A) -- (D) -- (C);\n\\draw (A) ++ (0,\\n,0) node [left] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw (B) ++ (0,\\n,0) node [right] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw (C) ++ (0,\\n,0) node [above right] {$C_1$} coordinate (C_1);\n\\draw (D) ++ (0,\\n,0) node [above left] {$D_1$} coordinate (D_1);\n\\draw (A_1) -- (B_1) -- (C_1) -- (D_1) -- cycle;\n\\draw (A) -- (A_1) (B) -- (B_1) (C) -- (C_1);\n\\draw [dashed] (D) -- (D_1);\n\\draw ($(A)!0.65!(A_1)$) node [left] {$M$} coordinate (M);\n\\draw (B)--(M);\n\\draw [dashed] (M)--(C_1);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499161,7 +499633,9 @@ "id": "019540", "content": "已知三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的 $6$ 个顶点都在球 $O$ 的球面上, 若 $AB=3$, $AC=4, AB \\perp AC$, $AA_1=12$, 则球 $O$ 的半径为\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\dfrac{3 \\sqrt{17}}{2}$}{$2 \\sqrt{10}$}{$\\dfrac{13}{2}$}{$3 \\sqrt{10}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -499181,7 +499655,9 @@ "id": "019541", "content": "已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为 $1$ 和 $2$, 将这个三角形分别绕其两条直角边旋转得到两个圆锥, 则这两个圆锥的体积之比为\\bracket{20}.\n\\fourch{$1$}{$2$}{$4$}{$8$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -499201,7 +499677,9 @@ "id": "019542", "content": "正四棱锥 $P-ABCD$ 的底面边长为 $2 \\sqrt{3}$, 侧面积为 $8 \\sqrt{3}$, 则它的体积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499221,7 +499699,9 @@ "id": "019543", "content": "一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的 $2$ 倍. 若圆锥的高为 $1$ ,则球的表面积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499241,7 +499721,9 @@ "id": "019544", "content": "已知圆柱的底面半径为 $2$ , 高为 $4$, 经过圆柱两条母线的截面与圆柱的轴之间的距离为 $\\sqrt{3}$, 则该截面的面积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499261,7 +499743,9 @@ "id": "019545", "content": "圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆, 则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499281,7 +499765,9 @@ "id": "019546", "content": "矩形 $ABCD$ 中, $AB=4$, $BC=3$, 沿 $AC$ 将矩形 $ABCD$ 折成一个直二面角 $B-AC-D$, 则四面体 $ABCD$ 的外接球的体积为\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\dfrac{125}{12}\\pi$}{$\\dfrac{125}{9}\\pi$}{$\\dfrac{125}{6}\\pi$}{$\\dfrac{125}{3}\\pi$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -499301,7 +499787,9 @@ "id": "019547", "content": "如图所示, 在边长为 $4$ 的正方形纸片 $ABCD$ 中, $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$, 剪去 $\\triangle AOB$, 将剩余部分沿 $OC$、$OD$ 折叠,使 $OA$、 $OB$ 重合, 则以 $A(B)$、$C$、$D$、$O$ 为顶点的四面体的体积是\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) node [below] {$A$} coordinate (A) (2,0) node [below] {$B$} coordinate (B) (2,2) node [above] {$C$} coordinate (C) (0,2) node [above] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (1,1) node [above] {$O$} coordinate (O);\n\\fill [pattern = north east lines] (A)--(B)--(O)--cycle;\n\\draw (A) rectangle (C) (A)--(C)(B)--(D);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499321,7 +499809,9 @@ "id": "019548", "content": "课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法. 祖暅原理也可用来求旋转体的体积. 现介绍用祖暅原理求球体体积公式的做法: 可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱, 然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点, 圆柱上底面为底面的圆锥, 用这样一个几何体与半球应用祖暅原理, 即可求得球的体积公式. 请研究和理解球的体积公式求法的基础上, 解答以下问题: 已知椭圆的标准方程 $\\dfrac{x^2}{4}+\\dfrac{y^2}{25}=1$, 将此椭圆绕 $y$ 轴旋转一周后, 得一橄榄状的几何体, 求其体积.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}\n\\draw (0,0) arc (180:0:2) arc (0:-180:2 and 0.5);\n\\draw [dashed] (0,0) arc (180:0:2 and 0.5) -- (0,0);\n\\fill [color = gray!30] (2,1) ellipse ({sqrt(3)} and {sqrt(3)/4});\n\\draw ({2-sqrt(3)},{1}) arc (180:360:{sqrt(3)} and {sqrt(3)/4});\n\\draw [dashed] ({2-sqrt(3)},{1}) arc (180:0:{sqrt(3)} and {sqrt(3)/4});\n\\draw [dashed] (2,0) -- (2,1) (2,0.2) node [left] {$h$};\n\\draw [dashed] (2,0) -- ({2+sqrt(3)},1) (3,0) node [below] {$R$};\n\\filldraw [even odd rule, gray!30] (7,1) ellipse (2 and 0.5) (7,1) ellipse (1 and 0.25);\n\\draw (5,0) arc (180:360:2 and 0.5) (5,2) arc (180:-180:2 and 0.5) (5,0) -- (5,2) (9,0) -- (9,2);\n\\draw [dashed] (5,0) -- (9,0) (7,0) -- (7,1) (7,0) -- (5,2) (7,0) -- (9,2) (8,0) node [below] {$R$} (7,0.4) node [left] {$h$};\n\\draw (5,1) arc (180:360:2 and 0.5);\n\\draw [dashed] (5,1) arc (180:0:2 and 0.5) (6,1) arc (180:-180:1 and 0.25);\n\\end{tikzpicture}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (0,0) ellipse (1 and 1.5);\n\\draw [dashed] (0,0) ellipse (0.5 and 1.5);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499341,7 +499831,9 @@ "id": "019549", "content": "正三棱锥的高为$1$, 底面边长为 $2 \\sqrt{6}$, 内有一个球与它的四个面都相切, 求:\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw ({-sqrt(6)},0,0) coordinate (A);\n\\draw ({sqrt(6)},0,0) coordinate (B);\n\\draw (0,0,{-3*sqrt(2)}) coordinate (C);\n\\draw (0,1,{-sqrt(2)}) coordinate (D);\n\\draw (D)--(A)--(B)--(C)--cycle(D)--(B);\n\\draw [dashed] (A)--(C);\n\\filldraw (0,{sqrt(6)-2},{-sqrt(2)}) coordinate (O) circle (0.03);\n\\draw [dashed] (O) circle ({sqrt(6)-2});\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 正三棱锥的表面积;\\\\\n(2) 内切球的表面积与体积.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499361,7 +499853,9 @@ "id": "019550", "content": "若圆柱的侧面积为 $2 \\pi$, 底面积为 $\\pi$, 则该圆柱的体积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499381,7 +499875,9 @@ "id": "019551", "content": "已知正四棱锥 $S-ABCD$ 中, $SA=2 \\sqrt{3}$, 它的高为 $2$, 则它的侧面积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499401,7 +499897,9 @@ "id": "019552", "content": "正四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面边长 $AB=2$, 若直线 $B_1C$ 与底面 $ABCD$ 所成的角的大小为 $\\arctan 2$, 则正四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的侧面积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499421,7 +499919,9 @@ "id": "019553", "content": "若一个圆锥的侧面展开图是面积为 $2 \\pi$ 的半圆面, 则该圆锥的体积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499441,7 +499941,9 @@ "id": "019554", "content": "如图, 在棱长为 $a$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $P$ 是 $C_1B_1$ 的中点, 若 $E$、$F$ 都是 $AB$ 上的点, 且 $|EF|=\\dfrac{a}{2}, Q$ 是 $A_1B_1$ 上的点,则四面体 $EFPQ$ 的体积是\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\def\\l{2}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,-\\l) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,0,-\\l) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) -- (B) -- (C);\n\\draw [dashed] (A) -- (D) -- (C);\n\\draw (A) ++ (0,\\l,0) node [left] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw (B) ++ (0,\\l,0) node [right] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw (C) ++ (0,\\l,0) node [above right] {$C_1$} coordinate (C_1);\n\\draw (D) ++ (0,\\l,0) node [above left] {$D_1$} coordinate (D_1);\n\\draw (A_1) -- (B_1) -- (C_1) -- (D_1) -- cycle;\n\\draw (A) -- (A_1) (B) -- (B_1) (C) -- (C_1);\n\\draw [dashed] (D) -- (D_1);\n\\filldraw ($(B_1)!0.5!(C_1)$) node [left] {$P$} coordinate (P) circle (0.03);\n\\filldraw ($(A_1)!0.6!(B_1)$) node [below] {$Q$} coordinate (Q) circle (0.03);\n\\filldraw ($(A)!0.2!(B)$) node [below] {$E$} coordinate (E) circle (0.03);\n\\filldraw ($(A)!0.7!(B)$) node [below] {$F$} coordinate (F) circle (0.03);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499461,7 +499963,9 @@ "id": "019555", "content": "正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $\\sqrt{3}$, 以顶点 $A$ 为球心 $2$ 为半径的球面被正方体的表面 $ABB_1A_1$、$BCC_1B_1$ 截得的两段弧长之和为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499481,7 +499985,9 @@ "id": "019556", "content": "一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是 $\\dfrac{32}{3}\\pi$, 那么该三棱柱的体积是\\bracket{20}.\n\\fourch{$48 \\sqrt{3}$}{$16 \\sqrt{3}$}{$24 \\sqrt{3}$}{$96 \\sqrt{3}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -499501,7 +500007,9 @@ "id": "019557", "content": "圆锥形容器的高为 $h$, 顶点向上放置时, 圆锥内水面的高为 $h_1$, 且 $h_1=\\dfrac{1}{3}h$, 若将圆锥倒置, 顶点向下放置, 水面高为 $h_2$, 则 $h_2$ 等于\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\dfrac{2}{3}h$}{$\\dfrac{19}{27}h$}{$\\dfrac{\\sqrt[3]{6}}{3}h$}{$\\dfrac{\\sqrt[3]{19}}{3}h$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -499521,7 +500029,9 @@ "id": "019558", "content": "如图, 正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$, 则下列四个命题:\\\\\n\\textcircled{1} 点 $P$ 在直线 $BC_1$ 上运动时, 三棱锥 $A-D_1PC$ 的体积不变;\\\\\n\\textcircled{2} 点 $P$ 在直线 $BC_1$ 上运动时, 直线 $AP$ 与平面 $ACD_1$ 所成角的大小不变;\\\\\n\\textcircled{3} 点 $P$ 在直线 $BC_1$ 上运动时, 二面角 $P-AD_1-C$ 的大小不变;\\\\\n\\textcircled{4} 若点 $M$ 是平面 $A_1B_1C_1D_1$ 上到点 $D$ 和 $C_1$ 距离相等的点, 则点 $M$ 的轨迹是过点 $D_1$ 的直线.\\\\\n其中所有真命题是\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, z = {(235:0.5cm)}]\n\\def\\l{2}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw (A_1) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw (A_1) ++ (\\l,0,-\\l) node [right] {$C_1$} coordinate (C_1);\n\\draw (A_1) ++ (0,0,-\\l) node [left] {$D_1$} coordinate (D_1);\n\\draw (A_1) -- (B_1) -- (C_1);\n\\draw [dashed] (A_1) -- (D_1) -- (C_1);\n\\draw (A_1) ++ (0,\\l,0) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (B_1) ++ (0,\\l,0) node [right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (C_1) ++ (0,\\l,0) node [above right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (D_1) ++ (0,\\l,0) node [above left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;\n\\draw (A_1) -- (A) (B_1) -- (B) (C_1) -- (C);\n\\draw [dashed] (D_1) -- (D);\n\\draw (B)--(C_1)(A)--(C);\n\\draw [dashed] (A)--(D_1)--(C);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{\\textcircled{1}\\textcircled{2}\\textcircled{4}}{\\textcircled{1}\\textcircled{3}}{\\textcircled{1}\\textcircled{3}\\textcircled{4}}{\\textcircled{3}\\textcircled{4}}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -499541,7 +500051,9 @@ "id": "019559", "content": "在如图所示的组合体中, 三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的侧面 $ABB_1A_1$ 是圆柱的轴截面, $C$ 是圆柱底面圆周上不与 $A$、$B$ 重合的一个点.\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\filldraw (0,0) coordinate (O) circle (0.03);\n\\filldraw (0,2) coordinate (O_1) circle (0.03);\n\\draw (-1,0) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (1,0) node [right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (-1,2) node [left] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw (1,2) node [right] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw (O) ++ (250:1 and 0.25) node [below] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (C) ++ (0,2) node [below right] {$C_1$} coordinate (C_1);\n\\draw (A) arc (180:360:1 and 0.25) -- (B_1) (A_1)--(A) (A_1)--(B_1) (A_1)--(C_1)--(B_1) (C)--(C_1);\n\\draw (O_1) ellipse (1 and 0.25);\n\\draw [dashed] (A) arc (180:0:1 and 0.25)(A)--(B)(A_1)--(C)(A_1)--(B)(A)--(C)--(B);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 圆柱的轴截面是正方形, 当点 $C$ 是弧 $AB$ 的中点时, 求异面直线 $A_1C$ 与 $AB_1$ 的所成角的大小;\\\\\n(2) $C$ 是弧 $AB$ 的中点时, 求四棱锥 $A_1-BCC_1B_1$ 与圆柱的体积比.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499561,7 +500073,9 @@ "id": "019560", "content": "已知圆锥的顶点为 $P$, 底面圆心为 $O$, 半径为 $2$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}\n\\node (0,0) [left] {$O$} coordinate (O);\n\\draw (-1.5,0) arc (180:360:1.5 and {1.5/3}) node [right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw [dashed] (1.5,0) arc (0:180:1.5 and {1.5/3}) coordinate (C);\n\\draw (C) -- (0,3) node [above] {$P$} coordinate (P) -- (B); \n\\coordinate (A) at ({1.5*cos(250)},{0.5*sin(250)});\n\\draw [dashed] (A) node [below left] {$A$} -- (O) -- (B) -- cycle;\n\\coordinate (M) at ($(A)!0.5!(B)$);\n\\draw [dashed] (O) -- (P) -- (M) node [shift = {(-45:0.5)}] {$M$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 设圆锥的母线长为 $4$, 求圆锥的体积;\\\\\n(2) 设 $PO=4, OA$、$OB$ 是底面半径, 且 $\\angle AOB=90^{\\circ}, M$ 为线段 $AB$ 的中点, 求异面直线 $PM$ 与 $OB$ 所成角的大小.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499581,7 +500095,9 @@ "id": "019561", "content": "已知三棱锥 $P-ABC, PA \\perp$ 平面 $ABC, PA=AB=BC=2$, 直线 $PC$ 与平面 $ABC$ 所成角的大小为 $\\arctan \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,0) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw ({sqrt(2)},0,{sqrt(2)}) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw ({2*sqrt(2)},0,0) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,2,0) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw ($(P)!0.5!(C)$) node [above right] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (A)--(P)--(C)--(B)--cycle(P)--(B);\n\\draw [dashed] (A)--(C)(A)--(E);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证: $BC \\perp$ 平面 $PAB$;\\\\\n(2) 设 $E$ 为线段 $PC$ 的中点, 求异面直线 $AE$ 与 $BC$ 所成角的大小;\\\\\n(3) 设 $M$ 是三棱锥 $P-ABC$ 内 (包括边界) 的动点, 且满足 $|AM| \\leq \\sqrt{2}$, 求点 $M$ 所形成的几何体的全面积.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499601,7 +500117,9 @@ "id": "019562", "content": "在平行六面体 $ABCD-A' B' C' D'$ 中, 点 $M$ 在对角线 $A' B$ 上, 且 $|\\overrightarrow{A' M}|=\\dfrac{1}{2}|\\overrightarrow{MB}|$, 点 $N$ 在对角线 $A' C$ 上, 且 $|\\overrightarrow{A' N}|=\\dfrac{1}{3}|\\overrightarrow{NC}|$. 记 $\\overrightarrow{AB}=\\overrightarrow{a}$, $\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{b}$, $\\overrightarrow{AA'}=\\overrightarrow{c}$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\def\\l{2}\n\\def\\m{2}\n\\def\\n{2}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (D) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (D) ++ (2.3,0,-\\m) node [right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (D) ++ (0.3,0,-\\m) node [left] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (D) -- (A) -- (B);\n\\draw [dashed] (D) -- (C) -- (B);\n\\draw (D) ++ (0.4,\\n,-0.2) node [left] {$D'$} coordinate (D');\n\\draw (A) ++ (0.4,\\n,-0.2) node [right] {$A'$} coordinate (A');\n\\draw (B) ++ (0.4,\\n,-0.2) node [above right] {$B'$} coordinate (B');\n\\draw (C) ++ (0.4,\\n,-0.2) node [above left] {$C'$} coordinate (C');\n\\draw (D') -- (A') -- (B') -- (C') -- cycle;\n\\draw (D) -- (D') (A) -- (A') (B) -- (B');\n\\draw [dashed] (C) -- (C');\n\\filldraw ($(A')!{1/3}!(B)$) node [right] {$M$} coordinate (M) circle (0.03);\n\\filldraw ($(A')!{1/4}!(C)$) node [left] {$N$} coordinate (N) circle (0.03);\n\\draw (A')--(B);\n\\draw [dashed] (A')--(C);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证: $M$、$N$、$D'$ 三点共线;\\\\\n(2) $\\overrightarrow{AP}=\\dfrac{1}{5}\\overrightarrow{a}+\\dfrac{2}{5}\\overrightarrow{b}+\\dfrac{2}{5}\\overrightarrow{c}$, 求证: 点 $P \\in$ 平面 $A' BD$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499621,7 +500139,9 @@ "id": "019563", "content": "如图, 在三棱锥 $D-ABC$ 中, $\\angle DAC=\\angle BAC= 60^{\\circ}$, $AC=1$, $AB=2$, $AD=3$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,0) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (2,0,0) node [right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (1.5,0,{-1.5*sqrt(3)}) node [above] {$D$} coordinate (D);\n\\draw ({1/2},{sqrt(6)/3},{-sqrt(3)/6}) node [above] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A)--(B)--(C)--(D)(A)--(C)(B)--(D);\n\\draw [dashed] (A)--(D);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求 $\\overrightarrow{AC}\\cdot \\overrightarrow{BD}$, 并说明异面直线 $AC$ 与 $BD$ 所成的角 $\\theta$ 的大小在棱 $BD$ 长度增大时是怎样变化的;\\\\\n(2) 若 $\\overrightarrow{AC}\\cdot \\overrightarrow{BC}=0$, 判断点 $D$ 在平面 $ABC$ 上的射影是否可能在直线 $BC$ 上, 并说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499641,7 +500161,9 @@ "id": "019564", "content": "如图, 在圆柱 $OO_1$ 中, 它的轴截面 $ABB_1A_1$ 是一个边长为 2 的正方形, 点 $C$ 为棱 $BB_1$ 的中点, 点 $C_1$ 为弧 $A_1B_1$ 的中点. 求.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\filldraw (0,0) coordinate (O) circle (0.03) node [below] {$O$};\n\\filldraw (0,2) coordinate (O_1) circle (0.03) node [above] {$O_1$};\n\\draw (-1,0) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (1,0) node [right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (-1,2) node [left] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw (1,2) node [right] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw ($(B)!0.5!(B_1)$) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (O_1) ++ (260:1 and 0.25) node [below left] {$C_1$} coordinate (C_1);\n\\draw (A) arc (180:360:1 and 0.25) -- (B_1) (A_1)--(A) (A_1)--(B_1)(A_1)--(C_1);\n\\draw (O_1) ellipse (1 and 0.25);\n\\draw [dashed] (A)--(B)(O)--(A_1)(O)--(C_1)(O)--(C)(C_1)--(C)(A_1)--(C);\n\\draw [dashed] (A) arc (180:0:1 and 0.25);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 异面直线 $OC$ 与 $A_1C_1$ 所成角的大小;\\\\\n(2) 直线 $CC_1$ 与圆柱 $OO_1$ 底面所成角的大小.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499661,7 +500183,9 @@ "id": "019565", "content": "四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是平行四边形, $PF \\perp$ 平面 $ABCD$, 垂足 $F$ 在 $AD$ 上, 且 $AF=\\dfrac{1}{3}FD, FB \\perp FC$, $FB=FC=2, E$ 是 $BC$ 的中点, 四面体 $P-BCF$ 的体积为 $\\dfrac{8}{3}$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.6]\n\\draw (0,0,0) node [above right] {$F$} coordinate (F);\n\\draw (F) ++ (0,4,0) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw (F) ++ ({-sqrt(2)/2},0) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (F) ++ ({3*sqrt(2)/2},0) node [right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (F) ++ (0,0,{sqrt(2)}) node [below] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (E) ++ ({-sqrt(2)},0) node [left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (E) ++ ({sqrt(2)},0) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (B)--(C)--(D)--(P)--cycle (P)--(C);\n\\draw [dashed] (B)--(A)--(D)(B)--(F)--(C)(E)--(F)--(P)(A)--(P);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求二面角 $B-PC-F$ 的大小;\\\\\n(2) 求点 $D$ 到平面 $PBF$ 的距离;\\\\\n(3) 设三棱锥 $F-PCD$ 的体积为 $V$, 是否存在体积为 $n V$ ($n$ 为正整数), 且各棱长均相等的直平行六面体, 使得它的所有棱长和为$24$, 若存在, 请构造出这样的一个直平行六面体; 若不存在, 请说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499681,7 +500205,9 @@ "id": "019566", "content": "在棱长为 $a$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $E$、$F$ 分别是棱 $BC$、$CD$ 上的点, 且 $BE=CF$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\def\\l{2}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (B) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (B) ++ (\\l,0,-\\l) node [right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (B) ++ (0,0,-\\l) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (B) -- (C) -- (D);\n\\draw [dashed] (B) -- (A) -- (D);\n\\draw (B) ++ (0,\\l,0) node [left] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw (C) ++ (0,\\l,0) node [above] {$C_1$} coordinate (C_1);\n\\draw (D) ++ (0,\\l,0) node [above right] {$D_1$} coordinate (D_1);\n\\draw (A) ++ (0,\\l,0) node [above left] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw (B_1) -- (C_1) -- (D_1) -- (A_1) -- cycle;\n\\draw (B) -- (B_1) (C) -- (C_1) (D) -- (D_1);\n\\draw [dashed] (A) -- (A_1);\n\\draw ($(B)!0.3!(C)$) node [below] {$E$} coordinate (E);\n\\draw ($(C)!0.3!(D)$) node [right] {$F$} coordinate (F);\n\\draw [dashed] (B_1)--(F)(D_1)--(E); \n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 若 $BE=CF=\\dfrac{1}{2}a$, 求证: $EF\\parallel $ 平面 $AB_1D_1$;\\\\\n(2) 求证: $B_1F \\perp D_1E$;\\\\\n(3) 是否存在点 $E$、$F$, 使 $A_1C \\perp$ 面 $C_1EF$ ?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499701,7 +500227,9 @@ "id": "019567", "content": "已知向量 $\\overrightarrow{a}=(1,0,2)$, $\\overrightarrow{b}=(2,1,0)$, 则向量 $\\overrightarrow{a}$ 与 $\\overrightarrow{b}$ 的夹角为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499721,7 +500249,9 @@ "id": "019568", "content": "若 $(0,-2,4)$ 和 $(-\\sqrt{15}, 1,2)$ 分别是平面 $\\alpha, \\beta$ 的一个法向量, 则 $\\alpha$ 与 $\\beta$ 构成的二面角大小为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499741,7 +500271,9 @@ "id": "019569", "content": "在四棱锥 $P-ABCD$ 中, 设向量 $\\overrightarrow{AB}=(4,-2,3)$, $\\overrightarrow{AD}=(-4, 1,0)$, $\\overrightarrow{AP}=(-6,2,-8)$, 则顶点 $P$ 到底面 $ABCD$ 的距离为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499761,7 +500293,9 @@ "id": "019570", "content": "如图, 长方体 $EPFC-ADBO$ 中, $OA=AD=1$, $AE=2$, 则\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\def\\l{1}\n\\def\\m{1}\n\\def\\n{2}\n\\draw (0,0,0) node [above left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,-\\m) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (A) ++ (0,0,-\\m) node [left] {$O$} coordinate (O);\n\\draw (A) -- (D) -- (B);\n\\draw [dashed] (A) -- (O) -- (B);\n\\draw (A) ++ (0,\\n,0) node [left] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (D) ++ (0,\\n,0) node [right] {$P$} coordinate (P);\n\\draw (B) ++ (0,\\n,0) node [above right] {$F$} coordinate (F);\n\\draw (O) ++ (0,\\n,0) node [above left] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (E) -- (P) -- (F) -- (C) -- cycle;\n\\draw (A) -- (E) (D) -- (P) (B) -- (F);\n\\draw [dashed] (O) -- (C);\n\\draw [->] (A) -- ($(O)!1.5!(A)$) node [left] {$x$};\n\\draw [->] (B) -- ($(O)!1.5!(B)$) node [right] {$y$};\n\\draw [->] (C) -- ($(O)!1.2!(C)$) node [right] {$z$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 异面直线 $OP$ 与 $AC$ 所成的角为\\blank{50}.\\\\\n(2) 直线 $DF$ 与平面 $ODPC$ 所成的角为\\blank{50}.\\\\\n(3) 写出平面 $ABC$ 的一个法向量 $\\overrightarrow{n}=$\\blank{50}.\\\\\n(4) 二面角 $O-AB-C$ 的大小为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499781,7 +500315,9 @@ "id": "019571", "content": "圆柱底面半径为$1$, 高为 $2$, $AB$ 为上底底面的直径, 点 $C$ 是下底底面圆弧上的一个动点, 点 $C$ 绕着下底底面旋转一周, 则 $\\triangle ABC$ 面积的范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499801,7 +500337,9 @@ "id": "019572", "content": "已知边长为 $4 \\sqrt{2}$ 的正三角形 $ABC$ 中, $E, F$ 分别为 $BC$ 和 $AC$ 的中点, $PA \\perp$ 面 $ABC$, 且 $PA=2$, 设平面 $\\alpha$ 过 $PF$ 且与 $AE$ 平行, 则 $AE$ 与平面 $\\alpha$ 间的距离为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -499821,7 +500359,9 @@ "id": "019573", "content": "正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $E, F$ 分别是 $AA_1$ 与 $CC_1$ 的中点, 则直线 $ED$ 与 $D_1F$ 所成角的余弦值是\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\dfrac{1}{5}$}{$\\dfrac{1}{3}$}{$\\dfrac{1}{2}$}{$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -499841,7 +500381,9 @@ "id": "019574", "content": "棱长都为 $2$ 的直平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $\\angle BAD=60^{\\circ}$, 则对角线 $A_1C$ 与侧面 $DCC_1D_1$ 所成角的正弦值为\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$}{$\\dfrac{1}{2}$}{$\\dfrac{\\sqrt{3}}{4}$}{$\\dfrac{\\sqrt{3}}{8}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -499861,7 +500403,9 @@ "id": "019575", "content": "设 $A, B, C, D$ 是半径为 $1$ 的球面上的四个不同点, 且满足 $\\overrightarrow{AB}\\cdot \\overrightarrow{AC}=0$, $\\overrightarrow{AC}\\cdot \\overrightarrow{AD}=0$, $\\overrightarrow{AD}\\cdot \\overrightarrow{AB}=0$, 用 $S_1, S_2, S_3$ 分别表示 $\\triangle ABC$、$\\triangle ACD$、$\\triangle ABD$ 的面积, 则 $S_1+S_2+S_3$ 的最大值是\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\dfrac{1}{2}$}{$2$}{$4$}{$8$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -499881,7 +500425,9 @@ "id": "019576", "content": "四棱锥 $P-ABCD$, 底面为正方形 $ABCD$, 边长为 $4$, $E$ 为 $AB$ 中点, $PE \\perp$ 平面 $ABCD$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,0) node [above right] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (2,0,0) node [right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (2,0,2) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,0,2) node [left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (0,0,1) node [below] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (2,0,1) node [right] {$F$} coordinate (F);\n\\draw (E) ++ (0,{sqrt(3)},0) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw (P)--(B)--(C)--(D)--cycle(P)--(C)(P)--(F);\n\\draw [dashed] (P)--(E)--(F)(P)--(A)--(C)(B)--(A)--(D);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 若 $\\triangle PAB$ 为等边三角形, 求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积;\\\\\n(2) 若 $CD$ 的中点为 $F$, $PF$ 与平面 $ABCD$ 所成角为 $45^{\\circ}$, 求 $PD$ 与 $AC$ 所成角的大小.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499901,7 +500447,9 @@ "id": "019577", "content": "如图, 直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中, $\\angle BAC=90^{\\circ}$, $AA_1=AB=AC=1$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,0) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (2,0,0) node [right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (0,0,2) node [left] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,2,0) node [above] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw (B) ++ (0,2,0) node [right] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw (C) ++ (0,2,0) node [left] {$C_1$} coordinate (C_1);\n\\draw ($(B)!0.5!(B_1)$) node [right] {$M$} coordinate (M);\n\\draw (C)--(B)--(B_1)--(A_1)--(C_1)--cycle(B_1)--(C_1)--(M);\n\\draw [dashed] (C_1)--(A)--(B)(C)--(A)--(M)(A)--(A_1);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 设 $M$ 是棱 $BB_1$ 的中点, 求 $C$ 到平面 $MAC_1$ 的距离;\\\\\n(2) 若 $M$ 是棱 $BB_1$ 上的任意一点 (包括端点), 求二面角 $M-AC_1-A_1$ 的大小的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499921,7 +500469,9 @@ "id": "019578", "content": "在三棱锥 $P-ABC$ 中, $AB \\perp BC, AB=BC=k PA$, 点 $O, D$ 分别是 $AC, PC$ 的中点, $OP \\perp$ 底面 $ABC$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,0) node [below] {$O$} coordinate (O);\n\\draw (-2,0,0) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (2,0,0) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,0,2) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (0,2,0) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw ($(P)!0.5!(C)$) node [right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (P)--(A)--(B)--(C)--cycle(P)--(B);\n\\draw [dashed] (A)--(C)(P)--(O)--(D);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证: $OD\\parallel $ 平面 $PAB$;\\\\\n(2) 当 $k=\\dfrac{1}{2}$ 时, 求直线 $PA$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小;\\\\\n(3) 当 $k$ 为何值时, $O$ 在平面 $PBC$ 内的射影恰好为 $\\triangle PBC$ 的重心?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499941,7 +500491,9 @@ "id": "019579", "content": "从 $5$ 个男生和 $4$ 个女生中选出 $4$ 名学生参加一次会议, 共有多少种不同的选法?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499961,7 +500513,9 @@ "id": "019580", "content": "用五种不同颜色给图中四个区域涂色, 如果每个区域涂一种颜色, 相邻区域不同色, 共有多少种不同的涂色方法?\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) rectangle (2,1.5);\n\\draw (0,0.75) -- (1,1.5);\n\\draw (0.3,1.25) node {$1$};\n\\draw (0.5,1.125) -- (2,1.125) (1,0) -- (1,1.125);\n\\draw (1.3,1.3125) node {$2$};\n\\draw (0.5,0.625) node {$3$} (1.5,0.625) node {$4$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -499981,7 +500535,9 @@ "id": "019581", "content": "$6$ 位选手依次演讲, 其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲, 则不同的演讲次序共有\\blank{50}种.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500001,7 +500557,9 @@ "id": "019582", "content": "某食堂规定, 每份午餐可以在四种水果中任选两种, 则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500021,7 +500579,9 @@ "id": "019583", "content": "在报名的 $3$ 名男教师和 $6$ 名女教师中, 选取 $5$ 人参加义务献血, 要求男、女教师都有, 则不同的选取方式的种数为\\blank{50}. (结果用数值表示)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500041,7 +500601,9 @@ "id": "019584", "content": "$6$ 个人排成一行, 其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有\\blank{50}种.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500061,7 +500623,9 @@ "id": "019585", "content": "从 $3$ 名骨科、$4$ 名脑外科和 $5$ 名内科医生中选派 $5$ 人组成一个抗震救灾医疗小组, 则骨科、脑外科和内科医生都至少有 $1$ 人的选派方法种数是\\blank{50}(用数字作答)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500081,7 +500645,9 @@ "id": "019586", "content": "将序号分别为 $1,2,3,4,5$ 的 $5$ 张参观券全部分给 $4$ 人, 每人至少 $1$ 张, 如果分给同一人的 $2$ 张参观券连号, 那么不同的分法种数是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500101,7 +500667,9 @@ "id": "019587", "content": "某同学有同样的画册 $2$ 本, 同样的集邮册 $3$ 本, 从中取出 $4$ 本赠送给 $4$ 位朋友每位朋友 $1$ 本, 则不同的赠送方法共有\\bracket{20}.\n\\fourch{$4$ 种}{$10$ 种}{$18$ 种}{$20$ 种}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -500121,7 +500689,9 @@ "id": "019588", "content": "$4$ 位同学每人从甲、乙、丙 $3$ 门课程中选修 $1$ 门, 则恰有 $2$ 人选修课程甲的不同选法共有\\bracket{20}.\n\\fourch{$12$ 种}{$24$ 种}{$30$ 种}{$36$ 种}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -500141,7 +500711,9 @@ "id": "019589", "content": "求 $(1+2 x)^7$ 的展开式的第四项的系数.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -500161,7 +500733,9 @@ "id": "019590", "content": "设常数 $a \\in \\mathbf{R}$. 若 $(x^2+\\dfrac{a}{x})^5$ 的二项展开式中 $x^7$ 项的系数为 $-10$, 则 $a=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500181,7 +500755,9 @@ "id": "019591", "content": "在 $(1+x+\\dfrac{1}{x^{2015}})^{10}$ 的展开式中, $x^2$ 项的系数为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500201,7 +500777,9 @@ "id": "019592", "content": "已知 $(1-2 x)^7=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\\cdots+a_7 x^7$, 则 $a_1+a_2+\\cdots+a_7= a_1+a_3+a_5+a_7= ;|a_0|+|a_1|+\\cdots+|a_7|=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500221,7 +500799,9 @@ "id": "019593", "content": "$(x+\\dfrac{a}{x})(2 x-\\dfrac{1}{x})^5$ 的展开式中各项系数的和为 $2$, 则该展开式中常数项为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500241,7 +500821,9 @@ "id": "019594", "content": "若多项式 $x^2+x^{11}=a_0+a_1(x+1)+n(x+1)^2+\\cdots+a_{11}(x+1)^{11}$, 则 $n=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500261,7 +500843,9 @@ "id": "019595", "content": "随机抽取 $9$ 个同学中, 至少有 $2$ 个同学在同一月出生的概率是\\blank{50}(默认每月天数相同, 结果精确到$0.001$).", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500281,7 +500865,9 @@ "id": "019596", "content": "为强化安全意识, 某商场拟在未来连续 $10$ 天中随机选择 $3$ 天进行紧急疏散演练, 则选择 $3$ 天恰好为连续 $3$ 天的概率是\\blank{50}(结果用最简分数表示).", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500301,7 +500887,9 @@ "id": "019597", "content": "在 $30$ 瓶饮料中, 有 $3$ 瓶已过了保质期, 从这 $30$ 瓶饮料中任取 $2$ 瓶,则至少取到 $1$ 瓶已过保质期饮料的概率为\\blank{50}. (结果用最简分数表示)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500321,7 +500909,9 @@ "id": "019598", "content": "有 $3$ 个兴趣小组, 甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, 每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500341,7 +500931,9 @@ "id": "019599", "content": "现有 $10$ 个数, 它们能构成一个以 $1$ 为首项, $-3$ 为公比的等比数列, 若从这 $10$ 个数中随机抽取一个数, 则它小于 $8$ 的概率是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500361,7 +500953,9 @@ "id": "019600", "content": "在二项式 $(x+1)^9$ 的展开式中任取 $2$ 项, 则取出的 $2$ 项中系数均为奇数的概率为\\blank{50}. (用分数表示结果)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500381,7 +500975,9 @@ "id": "019601", "content": "有 $8$ 本互不相同的书, 其中数学书 $3$ 本、外文书 $2$ 本、其他书 $3$ 本, 若将这些书排成一排放在书架上, 则数学书排在一起, 外文书也排在一起的概率是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500401,7 +500997,9 @@ "id": "019602", "content": "为了检测学生的自体素质指标, 从游泳类 $1$ 项,球类 $3$ 项, 田径类 $4$ 项共 $8$ 项项目中随机抽取 $4$ 项进行检测, 则每一类都初抽到的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500421,7 +501019,9 @@ "id": "019603", "content": "电视台连续播放 $6$ 个广告, 其中含 $4$ 个不同的商业广告和 $2$ 个不同的公益广告, 要求首尾必须播放公益广告, 则共有种\\blank{50}不同的播放方式. (结果用数值表示)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500441,7 +501041,9 @@ "id": "019604", "content": "甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球, 这些小球除颜色外完全相同, 其中甲袋装有 $4$ 个红球、 $2$ 个白球, 乙袋装有 $1$ 个红球、$5$ 个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为\\blank{50}. (答案用分数表示)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500461,7 +501063,9 @@ "id": "019605", "content": "从 $20$ 名男同学, $10$ 名女同学中任选 $3$ 名参加体能测试, 则选到的 $3$ 名同学中既有男同学又有女同学的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500481,7 +501085,9 @@ "id": "019606", "content": "从甲、乙等 $10$ 位同学中任选 $3$ 位去参加某项活动, 则所选 $3$ 位中有甲但没有乙的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500501,7 +501107,9 @@ "id": "019607", "content": "$(1+3 x)^n$($n \\in \\mathbf{N}$, $n \\geq 6$) 的展开式中 $x^5$ 与 $x^6$ 的系数相等, 则 $n=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500521,7 +501129,9 @@ "id": "019608", "content": "设二项式 $(x-\\dfrac{a}{\\sqrt{x}})^6$($a>0$) 的展开式中 $x^3$ 的系数为 $A$, 常数项为 $B$, 若 $B=4A$, 则 $a$ 的值是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -500541,7 +501151,9 @@ "id": "019609", "content": "如果把两条异面直线看作``一对'', 则在五棱锥的棱所在的直线中, 异面直线有\\bracket{20}.\n\\fourch{$15$ 对}{$25$ 对}{$30$ 对}{$20$ 对}", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -500641,7 +501261,9 @@ "id": "019614", "content": "已知 $(a^2+1)^n$ 展开式中的各项系数的和等于 $(\\dfrac{16}{5}x^2+\\dfrac{1}{\\sqrt{x}})^5$ 的展开式的常数项, 而 $(a^2+1)^n$ 展开式的系数最大的项等于$54$, 求 $a$ 的值 ($a \\in \\mathbf{R}$).", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -501001,7 +501623,9 @@ "id": "019632", "content": "某校从学生文艺部 $6$ 名成员 ($4$ 男 $2$ 女) 中, 挑选 $2$ 人参加学校举办的文艺汇演活动.\\\\\n(1) 求男生甲被选中的概率;\\\\\n(2) 在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率;\\\\\n(3) 在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -501021,7 +501645,9 @@ "id": "019633", "content": "设某工厂有两个车间生产同型号家用电器, 第一车间的合格率为 $0.85$, 第二车间的合格率为 $0.88$, 两个车间的成品都混合堆放在一个仓库, 假设第一, 二车间生产的成品比例为 $2: 3$, 今有一客户从成品仓库中随机提一台产品.\\\\\n(1) 求这台产品是合格品的概率;\\\\\n(2) 已知取到的是合格品, 求它来自第一车间生产的概率.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -501041,7 +501667,9 @@ "id": "019634", "content": "现有 $7$ 张卡片, 分别写上数字 $1,2,2,3,4,5,6$. 从这 $7$ 张卡片中随机抽取 $3$ 张, 记所抽取卡片上数字的最小值为 $X$, 则 $P(X=2)=$\\blank{50}, $E[X]=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501061,7 +501689,9 @@ "id": "019635", "content": "甲、乙两名篮球运动员, 甲投篮一次命中的概率为 $\\dfrac{3}{5}$, 乙投篮一次命中的概率为 $\\dfrac{1}{2}$, 其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.\\\\\n(1) 求甲投篮三次恰好命中两次的概率;\\\\\n(2) 若甲、乙各投篮三次, 且甲、乙第一次投篮都命中, 求甲获胜 (甲投篮命中数比乙多) 的概率;\\\\\n(3) 若甲、乙各投篮两次, 设 $X$ 为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值, 求 $X$ 的数学期望.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -501081,7 +501711,9 @@ "id": "019636", "content": "某学校的两个班共有 $100$ 名学生, 一次考试后数学成绩 $X$($X \\in \\mathbf{N}$) 服从正态分布 $N(100,10^2)$, 已知 $P(90 \\leq X \\leq 100)=0.4$, 估计该班学生数学成绩在 $110$ 分以上的人数为\\bracket{20}.\n\\fourch{$20$}{$10$}{$7$}{$5$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -501101,7 +501733,9 @@ "id": "019637", "content": "已知 $P(B | A)=\\dfrac{1}{2}$, $P(AB)=\\dfrac{3}{10}$, 则 $P(A)=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501121,7 +501755,9 @@ "id": "019638", "content": "已知随机变量 $X$ 的分布为 $\\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 \\\\ a & b & c\\end{pmatrix}$, 其中 $a, b, c$ 成等差数列, 则 $P(|X|=1)=$\\blank{50}, 公差 $d$ 的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501141,7 +501777,9 @@ "id": "019639", "content": "一批产品的二等品率为 $0.02$, 从这批产品中每次随机取一件, 有放回地抽取 $100$ 次, $X$ 表示抽到的二等品件数, 则 $D[X]=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501161,7 +501799,9 @@ "id": "019640", "content": "有 $N$ 件产品, 其中有 $M$ 件次品, 从中不放回地抽 $n$ 件产品, 抽到的次品数的数学期望值是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501181,7 +501821,9 @@ "id": "019641", "content": "已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(2, \\sigma^2)$, 且 $P(22.5)=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501201,7 +501843,9 @@ "id": "019642", "content": "甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军, 若比赛为``三局两胜''制 (无平局), 甲在每局比赛中获胜的概率均为 $\\dfrac{2}{3}$, 且各局比赛结果相互独立, 则在甲获得冠军的条件下, 比赛进行了三局的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501221,7 +501865,9 @@ "id": "019643", "content": "设随机变量 $Y$ 满足 $Y \\sim B(4, \\dfrac{1}{2})$, 则函数 $f(x)=x^2-4 x+4Y$ 无零点的概率是\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\dfrac{11}{16}$}{$\\dfrac{5}{16}$}{$\\dfrac{31}{32}$}{$\\dfrac{1}{2}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -501241,7 +501887,9 @@ "id": "019644", "content": "设 $0=latex, xscale = 0.06, yscale = 180]\n\\draw [->] (0,0) -- (105,0) node [below] {年龄/岁};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,0.03) node [left] {$\\dfrac{\\text{频率}}{\\text{组距}}$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\foreach \\i/\\j in {0/0.001,10/0.002,20/0.012,30/0.017,40/0.023,50/0.020,60/0.017,70/0.006,80/0.002}\n{\\draw (\\i,0) node [below] {$\\i$} --++ (0,\\j) --++ (10,0) --++ (0,-\\j);};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {0/0.001,20/0.012,40/0.023,50/0.020,60/0.017,70/0.006,80/0.002}\n{\\draw [dashed] (\\i,\\j) -- (0,\\j) node [left] {$\\k$};};\n\\draw (90,0) node [below] {$90$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);\\\\\n(2) 估计该地区一人患这种疾病年龄在区间 $[20,70)$ 的概率;\\\\\n(3) 已知该地区这种疾病的患病率为 $0.1 \\%$, 该地区年龄位于区间 $[40,50)$ 的人口占该地区总人口的 $16 \\%$, 从该地区任选一人,若此人年龄位于区间 $[40,50)$, 求此人患该种疾病的概率. (样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率, 精确到 $0.0001$)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -501341,7 +501997,9 @@ "id": "019649", "content": "某超市统计了最近 $5$ 年的商品销售额与利润率数据, 经计算相关系数 $r= 0.862$, 则下列判断正确的是\\bracket{20}.\n\\onech{商品销售额与利润率正相关, 且具有较弱的相关关系}{商品销售额与利润率正相关, 且具有较强的相关关系}{商品销售额与利润率负相关, 且具有较弱的相关关系}{商品销售额与利润率负相关, 且具有较强的相关关系}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -501361,7 +502019,9 @@ "id": "019650", "content": "某地经过多年的环境治理, 已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量, 随机选取了 $10$ 棵这种树木, 测量每棵树的根部横截面积 (单位: $\\mathrm{m}^2$ ) 和材积量 (单位: $\\mathrm{m}^3$ ), 得到如下数据:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\\hline 样本号 $i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 总和 \\\\\n\\hline 根部横截面积 $x_i$ & 0.04 & 0.06 & 0.04 & 0.08 & 0.08 & 0.05 & 0.05 & 0.07 & 0.07 & 0.06 & 0.6 \\\\\n\\hline 材积量 $y_i$ & 0.25 & 0.40 & 0.22 & 0.54 & 0.51 & 0.34 & 0.36 & 0.46 & 0.42 & 0.40 & 3.9 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n并计算得 $\\displaystyle\\sum_{i=1}^{10}x_i^2=0.038$, $\\displaystyle\\sum_{i=1}^{10}y_i^2=1.6158$, $\\displaystyle\\sum_{i=1}^{10}x_i y_i=0.2474$.\\\\\n(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;\\\\\n(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数 (精确到 $0.01$);\\\\\n(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 $186 \\mathrm{m}^2$. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.\n附 : 相关系数 $r=\\dfrac{\\displaystyle\\sum_{i=1}^n(x_i-\\overline{x})(y_i-\\overline{y})}{\\sqrt{\\displaystyle\\sum_{i=1}^n(x_i-\\overline{x})^2 \\displaystyle\\sum_{i=1}^n(y_i-\\overline{y})^2}}, \\sqrt{1.896}\\approx 1.377$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -501381,7 +502041,9 @@ "id": "019651", "content": "变量 $x, y$ 之间的一组相关数据如表所示: 若 $x, y$ 之间的线性回归方程为 $y= \\hat{a}x+12.28$, 则 $\\hat{a}$ 的值为\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}\\hline$x$ & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\\n\\hline$y$ & 8.2 & 7.8 & 6.6 & 5.4 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n\\fourch{$-0.92$}{$-0.94$}{$-0.96$}{$-0.98$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -501401,7 +502063,9 @@ "id": "019652", "content": "某新兴科技公司为了确定新研发的产品下一季度的营销计划, 需了解月宣传费 $x$ (单位: 万元) 对月销售量 $y$ (单位: 千件)的影响, 收集了 2020 年 3 月至 2020 年 8 月共 6 个月的月宣传费 $x$ 和月销售量 $y$ 的数据如表:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\\hline 月份 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\\\\n\\hline 宣传费 $x$ & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\\\n\\hline 月销售量 $y$ & 0.4 & 3.5 & 5.2 & 7.0 & 8.6 & 10.7 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n现分别用模型 \\textcircled{1} $y=\\hat{a}x+\\hat{b}$ 和模型\\textcircled{2} $y=\\mathrm{e}^{\\hat{m}x+\\hat{n}}$ 对以上数据进行拟合, 得到回归模型, 并计算出模型的离差如表: (模型\\textcircled{1}和模型\\textcircled{2}的离差分别为 $\\hat{e}_1$ 和 $\\hat{e}_2$, 离差$=$实际值$-$预报值)\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline$x$ & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\\\n\\hline$y$ & 0.4 & 3.5 & 5.3 & 7.0 & 8.6 & 10.7 \\\\\n\\hline$\\hat{e}_1$ & -0.6 & 0.54 & 0.28 & 0.12 & -0.24 & -0.1 \\\\\n\\hline$\\hat{e}_2$ & -0.63 & 1.71 & 2.10 & 1.63 & -0.7 & -5.42 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n(1) 根据上表的离差数据, 应选择哪个模型来拟合月宣传费 $x$ 与月销售量 $y$ 的关系较为合适,简要说明理由;\\\\\n(2) 为了优化模型, 将 (1) 中选择的模型离差绝对值最大所对应的一组数据 $(x, y)$ 剔除, 根据剩余的 $5$ 组数据,求该模型的回归方程, 并预测月宣传费为 $12$ 万元时, 该公司的月销售量.\\\\\n(剔除数据前的参考数据: $\\overline{x}=7.5$, $\\overline{y}=5.9$, $\\displaystyle\\sum_{i=1}^6 x_i y_i=299.8$, $\\displaystyle\\sum_{i=1}^6 x_i^2=355$, $z=\\ln y$. $\\overline{z}\\approx-1.41$, $\\displaystyle\\sum_{i=1}^6 x_i y_i=-73.10$, $\\ln 10.7 \\approx 2.37$, $\\mathrm{e}^{4.034}\\approx 56.49$)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -501421,7 +502085,9 @@ "id": "019653", "content": "甲、乙两城之间的长途客车均由 $A$ 和 $B$ 两家公司运营, 为了解这两家公司长途客车的运行情况, 随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次, 得到下面列联表:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|}\n\\hline & 准点班次数 & 末准点班次数 \\\\\n\\hline$A$ & 240 & 20 \\\\\n\\hline$B$ & 210 & 30 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n(1) 根据上表, 分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;\\\\\n(2) 能否有 $90 \\%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?\\\\\n附: $\\chi^2=\\dfrac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline $P(\\chi^2 \\geq k$) & 0.100 & 0.050 & 0.010 \\\\\n\\hline $k$ & 2.706 & 3.841 & 6.635 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -501441,7 +502107,9 @@ "id": "019654", "content": "某商家今年上半年各月的人均销售额 (单位: 千元) 与利润率统计表如下:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline 月份 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\\n\\hline 人均销售额 & 6 & 5 & 8 & 3 & 4 & 7 \\\\\n\\hline 利润率(\\%) & 12.6 & 10.4 & 18.5 & 3.0 & 8.1 & 16.3 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n\\textcircled{1} 利润率与人均销售额成正相关关系 ; \\textcircled{2} 利润率与人均销售额成负相关关系; \\textcircled{3} 利润率与人均销售额成正比例函数关系; \\textcircled{4} 利润率与人均销售额成反比例函数关系根据表中数据, 上述说法正确的是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501461,7 +502129,9 @@ "id": "019655", "content": "已知变量 $x$ 和变量 $y$ 的 3 对随机观测数据 $(2,2),(3,-1),(5,-7)$, 则成对样本数据的样本相关系数是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501481,7 +502151,9 @@ "id": "019656", "content": "已知 $x$ 与 $y$ 之间的一组数据:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\n\\hline$x$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\\\\n\\hline$y$ & $m$ & 3 & 5.5 & 7 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n已求得关于 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程 $y=2.3 x+0.85$, 则 $m$ 的值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501501,7 +502173,9 @@ "id": "019657", "content": "研究变量 $x, y$ 得到一组样本数据, 进行回归分析, 有以下结论\\\\\n\\textcircled{1} 离差平方和越小的模型, 拟合的效果越好;\\\\\n\\textcircled{2} 用相关指数 $\\chi^2$ 来刻画回归效果, $\\chi^2$ 越小说明拟合效果越好;\\\\\n\\textcircled{3} 在回归直线方程 $y=-0.2 x+0.8$ 中, 当解释变量 $x$ 每增加 $1$ 个单位时, 预报变量 $y$ 平均减少 $0.2$ 个单位;\\\\\n\\textcircled{4} 若变量 $y$ 和 $x$ 之间的相关系数为 $r=-0.9462$, 则变量 $y$ 和 $x$ 之间的负相关很强.\\\\\n以上正确说法的是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501521,7 +502195,9 @@ "id": "019658", "content": "某市通过随机询问 $100$ 名性别不同的居民是否能做到``光盘''行动, 得到如下列联表:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|}\n\\hline & 做不到``光盘''& 能做到``光盘''\\\\\n\\hline 男 & 45 & 10 \\\\\n\\hline 女 & 30 & 15 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n根据上表, \\blank{50}(填``可以''或``不可以'')确定``该市居民能否做到``光盘''与性别有关''.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -501541,7 +502217,9 @@ "id": "019659", "content": "下列关于相关系数 $r$ 的说法不正确的是\\bracket{20}.\n\\onech{相关系数 $r$ 越大两个变量间相关性越强}{相关系数 $r$ 的取值范围为 $[-1,1]$}{相关系数 $r>0$ 时两个变量正相关, $r<0$ 时两个变量负相关}{相关系数 $r=1$ 时, 样本点在同一直线上}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -501561,7 +502239,9 @@ "id": "019660", "content": "为了研究某班学生的脚长 $x$ (单位: 厘米) 和身高 $y$ (单位: 厘米)的关系, 从该班随机抽取 $10$ 名学生, 根据测量数据的散点图可以看出 $y$ 与 $x$ 之间有线性相关关系, 设其回归直线方程为 $y=\\hat{a}x+\\hat{b}$. 已知 $\\displaystyle\\sum_{i=1}^{10}x_i=225$, $\\displaystyle\\sum_{i=1}^{10}y_i=1600$, $\\hat{a}=4$. 该班某学生的脚长为 $24$, 据此估计其身高为\\bracket{20}.\n\\fourch{$160$}{$163$}{$166$}{$170$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -501581,7 +502261,9 @@ "id": "019661", "content": "``独立性检验''中, 在犯错误的概率不超过 $0.05$ 的前提下认为事件 $A$ 和 $B$ 有关, 则算出的数据满足\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\chi^2<6.63$}{$\\chi^2<3.84$}{$\\chi^2>3.84$}{$\\chi^2>6.63$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -501601,7 +502283,9 @@ "id": "019662", "content": "下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 $y$ (单位: 亿元) 的折线图. 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额, 建立了 $y$ 与时间变量 $t$ 的两个线性回归模型. 根据 2000 年至 2016 年的数据 (时间变量 $t$ 的值依次为 $1,2, \\cdots, 17$ ) 建立模型\\textcircled{1}: $y=-30.4+13.5 t$; 根据 2010 年至 2016 年的数据 (时间变量 $t$ 的值依次为 $1,2, \\cdots, 7$ ) 建立模型\\textcircled{2}: $y=99+17.5 t$.\\\\\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, xscale = 0.8]\n\\draw [->] (0,0) -- (18,0) node [below] {年份};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,5.5) node [left] {投资额};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\foreach \\i in {2000,2001,...,2016}\n{\\draw ({\\i-1999},0.05) --++ (0,-0.05) node [below] {$\\i$};};\n\\foreach \\i in {20,40,...,240}\n{\\draw (0.05,{\\i/50}) --++ (-0.05,0) node [left] {$\\i$};};\n\\foreach \\i/\\j in {1/11,2/19,3/25,4/35,5/37,6/42,7/42,8/47,9/53,10/56,11/122,12/129,13/148,14/171,15/184,16/209,17/220}\n{\\filldraw (\\i,{\\j/50}) circle (0.03) node [above] {$\\j$};};\n\\draw (1,0.22)--(2,0.38)--(3,0.5)--(4,0.7)--(5,0.74)--(6,0.84)--(7,0.84)--(8,0.94)--(9,1.06)--(10,1.12)--(11,2.44)--(12,2.58)--(13,2.96)--(14,3.42)--(15,3.68)--(16,4.18)--(17,4.4);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 分别利用这两个模型, 求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值;\\\\\n(2) 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠? 并说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -501621,7 +502305,9 @@ "id": "019663", "content": "为保护农民种粮收益, 促进粮食生产, 确保国家粮食安全, 调动广大农民生产粮食的积极性, 国家实施了对种粮农民直接补贴的政策. 通过对 2017-2021 年的数据进行调查, 发现某地区发放粮食补贴额 $x$ (单位: 亿元) 与该地区粮食产量 $y$ (单位: 万亿吨) 之间存在着线性相关关系,统计数据如下表:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline 年份 & 2017 & 2018 & 2019 & 2020 & 2021 \\\\\n\\hline 补贴额 $x$ (亿元) & 9 & 10 & 12 & 11 & 8 \\\\\n\\hline 粮食产量 $y$ (万亿吨) & 25 & 26 & 31 & 37 & 21 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n(1) 请根据上表所给的数据, 求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归直线方程 $y=\\hat{a}x+\\hat{b}$;\\\\\n(2) 通过对该地区粮食产量的分析研究, 计划 2022 年在该地区发放粮食补贴 $7$ 亿元, 请根据 (1) 中所得到的线性回归直线方程, 预测 2022 年该地区的粮食产量.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -501641,7 +502327,9 @@ "id": "019664", "content": "甲、乙两台机床生产同种产品, 产品按质量分为一级品和二级品, 为了比较两台机床产品的质量, 分别用两台机床各生产了 200 件产品, 产品的质量情况统计如下表:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline & 一级品 & 二级品 & 合计 \\\\\n\\hline 甲机床 & 150 & 50 & 200 \\\\\n\\hline 乙机床 & 120 & 80 & 200 \\\\\n\\hline 合计 & 270 & 130 & 400 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n(1) 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?\\\\\n(2) 能否有 $99 \\%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?\\\\\n附: $\\chi^2=\\dfrac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline $P(\\chi^2 \\geq k$) & 0.050 & 0.010 & 0.001 \\\\\n\\hline $k$ & 3.841 & 6.635 & 10.828 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "",