添加复数单元知识梳理
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f2c89ec704
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@ -1921,5 +1921,156 @@
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"K0313003B"
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"K0313003B"
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],
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"content": "和差化积公式:\\\\\n$\\sin \\alpha+\\sin \\beta=$\\blank{100}, $\\sin \\alpha-\\sin \\beta=$\\blank{100},\\\\\n$\\cos \\alpha+\\cos \\beta=$\\blank{100}, $\\cos \\alpha-\\cos \\beta=$\\blank{100}."
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"content": "和差化积公式:\\\\\n$\\sin \\alpha+\\sin \\beta=$\\blank{100}, $\\sin \\alpha-\\sin \\beta=$\\blank{100},\\\\\n$\\cos \\alpha+\\cos \\beta=$\\blank{100}, $\\cos \\alpha-\\cos \\beta=$\\blank{100}."
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},
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"B00266": {
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"lesson": "K0511",
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"objs": [
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"K0511002B",
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"K0511003B"
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"content": "复数的定义: 形如\\blank{100}的数称为一个复数, 其中数 $\\mathrm{i}$ 称为\\blank{50}, 并规定\\blank{50}."
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},
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"B00267": {
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"lesson": "K0511",
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"objs": [
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"K0511003B",
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"K0511004B"
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"content": "全体复数构成的集合用字母\\blank{20}表示.\\\\\n约定: (1) 复数 $a+b \\mathrm{i}=0$($a,b \\in \\mathbf{R}$)$\\Leftrightarrow$\\blank{100};\\\\\n(2) 复数 $a+b \\mathrm{i}=c+d \\mathrm{i}$($a,b,c,d \\in \\mathbf{R}$)$\\Leftrightarrow$\\blank{100}."
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"B00268": {
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"lesson": "K0511",
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"objs": [
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"K0511005B",
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"K0511006B",
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"K0511007B"
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"content": "复数的四则运算:\\\\\n(1) 加法和减法: $(a+b \\mathrm{i}) \\pm(c+d \\mathrm{i})=$\\blank{100}($a, b, c, d \\in \\mathbf{R}$).\\\\\n(2) 乘法: $(a+b\\mathrm{i})(c+d\\mathrm{i})=$\\blank{150}($a, b, c, d \\in \\mathbf{R}$).\\\\\n复数的加法与乘法满足\\blank{30}律、\\blank{30}律与\\blank{30}律.\\\\\n(3) 除法: $\\dfrac{a+b\\mathrm{i}}{c+d\\mathrm{i}}= $\\blank{150}($a,b,c,d \\in \\mathbf{R}$, $c+d\\mathrm{i} \\neq 0$)."
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},
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"B00269": {
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"lesson": "K0511",
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"objs": [
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"K0511008B"
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],
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"content": "复数的乘方\\\\\n(1) $(a+b\\mathrm{i})^n$ 表示\\blank{150}($a,b \\in \\mathbf{R}$, $n$ 为正整数), $(a+b\\mathrm{i})^{-n}=$\\blank{100}, $(a+b\\mathrm{i})^0=$\\blank{50}.($a+b\\mathrm{i} \\neq 0$)\\\\\n(2) $(a+b\\mathrm{i})^n(c+d\\mathrm{i})^n=$\\blank{150}, $[(a+b\\mathrm{i})^m]^n=$\\blank{50}."
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},
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"B00270": {
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"lesson": "K0512",
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"objs": [
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"K0512001B",
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"K0512002B"
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],
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"content": "复数的表达方式\\blank{100}称为它的代数形式, 其中复数的实部是\\blank{20}, 记作\\blank{50}, 虚部是\\blank{20}, 记作\\blank{50}."
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},
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"B00271": {
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"lesson": "K0512",
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"objs": [
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"K0512003B"
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],
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"content": "对于复数 $z=a+b\\mathrm{i}$($a$、$b \\in \\mathbf{R}$)\\\\\n(1) $z$ 是实数 $\\Leftrightarrow$\\blank{50}.\\\\\n(2) $z$ 是虚数 $\\Leftrightarrow$\\blank{50}.\\\\\n(3) $z$ 是纯虚数 $\\Leftrightarrow$\\blank{50}."
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},
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"B00272": {
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"lesson": "K0512",
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"objs": [
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"K0512005B",
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"K0512006B"
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],
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"content": "复数 $z=a+b\\mathrm{i}$($a$、$b \\in \\mathbf{R}$) 的共轭复数是\\blank{50}, 记作\\blank{50}.\\\\\n共轭复数有如下性质:\n$\\overline{\\overline{z}}=$\\blank{50}, $\\overline{z_1 \\pm z_2}=$\\blank{50}, $\\overline{z_1 z_2}=$\\blank{50}, $\\overline{(\\dfrac{z_1}{z_2})}=$\\blank{50}($z_2 \\neq 0$)."
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},
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"B00273": {
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"lesson": "K0513",
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"objs": [
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"K0513001B",
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"K0513002B",
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"K0513003B"
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],
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"content": "复平面:\\\\\n在平面上建立直角坐标系, 以坐标为 $(a, b)$ 的点 $Z$ 表示复数 $z=a+b\\mathrm{i}$, 就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一一对应. 这样用来表示复数的平面叫做\\blank{50}.\\\\\n在复平面上, $x$ 轴称为\\blank{50}, $x$ 轴上的点都对应\\blank{20}数; $y$ 轴称为\\blank{50}, $y$ 轴上的点(除坐标原点) 都对应\\blank{20}数; 坐标原点对应数\\blank{20}.\\\\\n共轭复数: $z=a+b\\mathrm{i}$ 与 $\\overline{z}=a-b i$($a, b \\in \\mathbf{R}$) 在复平面上所对应的点关于\\blank{20}轴对称, 特别地, $z$ 是实数, 则\\blank{50}, 此时 $z$、$\\overline{z}$ 在复平面上所对应的点是位于\\blank{50}的同一个点."
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},
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"B00274": {
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"lesson": "K0513",
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"objs": [
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"K0513004B",
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"K0513005B"
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],
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"content": "复数的向量表示:\\\\\n(1) 复数 $z=a+b\\mathrm{i}$($a, b \\in \\mathbf{R}$) 对应平面向量 $\\overrightarrow{OZ}=$\\blank{50}.\\\\\n(2) 复数 $z_1=a+b\\mathrm{i}$($a, b \\in \\mathbf{R}$) 对应向量 $\\overrightarrow{OZ_1}=$\\blank{50}和 $z_2=c+d\\mathrm{i}$($c, d \\in \\mathbf{R}$) 对应向量 $\\overrightarrow{OZ_2}=$\\blank{50}, 则 $z_1+z_2$ 对应向量\\blank{100}, $z_1-z_2$ 对应向量\\blank{100}."
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},
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"B00275": {
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"lesson": "K0514",
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"objs": [
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"K0514001B",
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"K0514002B"
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],
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"content": "复数的模:\\\\\n复数 $z=a+b\\mathrm{i}$($a, b \\in \\mathbf{R}$) 所对应的点 $Z(a, b)$ 到原点的距离叫做复数 $z$ 的模, 记作 $|z|$.\\\\\n$|z|=$\\blank{80}$=$\\blank{80}. 复数的模与可以说成是它对应的\\blank{50}的模."
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},
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"B00276": {
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"lesson": "K0514",
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"objs": [
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"K0514003B",
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"K0514006B"
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],
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"content": "复数的模有如下性质:\n$|z|=$\\blank{50}; $z\\overline{z}=$\\blank{50}; $|z_1z_2|=$\\blank{50}; $|\\dfrac{z_1}{z_2}|=$\\blank{50};\\\\\n$|z_1|+|z_2|\\ge$\\blank{80}; $|z_1-z_2|=$\\blank{100}$=$\\blank{50}$=$\\blank{50}."
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},
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"B00277": {
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"lesson": "K0515",
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"objs": [
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"K0515001B"
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],
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"content": "复数的平方根定义: 若复数 $a+b\\mathrm{i}$ 和 $c+d\\mathrm{i}$($a, b, c, d \\in \\mathbf{R}$) 满足 $(a+b\\mathrm{i})^2=c+d\\mathrm{i}$, 则称 $a+b\\mathrm{i}$ 是 $c+d\\mathrm{i}$ 的(一个)平方根.\\\\\n注: 由定义可知, 若 $a+b\\mathrm{i}$ 是 $c+d\\mathrm{i}$ 的平方根, 则\\blank{50}也是 $c+d\\mathrm{i}$ 的平方根."
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},
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"B00278": {
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"lesson": "K0515",
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"objs": [
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"K0515002B"
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],
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"content": "如何求一个复数的平方根\\\\\n一般情况: $a+b\\mathrm{i}$ 是 $c+d\\mathrm{i}$ 的平方根, 即 $(a+b\\mathrm{i})^2=c+d\\mathrm{i}$, 即 $a^2-b^2+2 a b \\mathrm{i}=c+d \\mathrm{i}$, 根据复数相等的定义, 即$\\begin{cases}a^2-b^2=c,\\\\2 a b=d.\\end{cases}$\n特别地, 若 $d=0$ , 则 $c+d\\mathrm{i}$ 为实数, 此时 $2 a b=0$, 当\\\\\n\\textcircled{1} $c=0$ 时, $a^2=b^2$, 此时 $a=b=0$ , 即零的平方根是\\blank{50}.\\\\\n\\textcircled{2} $c>0$ 时, 则只能 $b=0$ , 此时 $a= \\pm \\sqrt{c}$, 即正数$c$的平方根是\\blank{50}, 是两个\\blank{20}数.\\\\\n\\textcircled{3} $c<0$ 时, 则只能 $a=0$ , 此时 $b= \\pm \\sqrt{-c}$ ; 即负数$c$的平方根是\\blank{50}, 是两个\\blank{20}数."
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},
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"B00279": {
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"lesson": "K0515",
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"objs": [
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"K0515003B",
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"K0515005B"
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],
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"content": "实系数一元二次方程的解对于方程 $a x^2+b x+c=0$($a, b, c \\in \\mathbf{R}$, $a \\neq 0$) 配方得 $(x+\\dfrac{b}{2 a})^2=\\dfrac{b^2-4 a c}{4 a^2}$.\\\\\n\\textcircled{1} 当 $\\Delta=b^2-4 a c>0$ 时, 方程有两个不等实数根: $x_{1,2}=$\\blank{100};\\\\\n\\textcircled{2} 当 $\\Delta=b^2-4 a c=0$ 时, 方程有两个相等的实数根: $x_1=x_2=$\\blank{100};\\\\\n\\textcircled{3} 当 $\\Delta=b^2-4 a c<0$ 时, 方程有一对共轭虚根: $x_{1,2}=$\\blank{100}."
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},
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"B00280": {
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"lesson": "K0515",
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"objs": [
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"K0515006B"
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],
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"content": "实系数一元二次方程的根与系数的关系:\\\\\n由必修课程第 2 章已经知道, 对于实系数一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$($a, b, c \\in \\mathbf{R}$, $a \\neq 0$), 当 $\\Delta=b^2-4 a c \\geq 0$ 时, 方程有两个实根满足 $x_1+x_2=-\\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2=\\dfrac{c}{a}$; 容易验证当 $\\Delta=b^2-4 a c<0$ 时, 方程的一对共轭虚根, 同样满足如下关系: $x_1+x_2=$\\blank{50}, $x_1 x_2=$\\blank{50}.\\\\\n反之, 若 $x_1+x_2=-\\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2=\\dfrac{c}{a}$, 则 $x_1, x_2$ 是方程 $a x^2+b x+c=0$($a \\neq 0$) 的根."
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},
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"B00281": {
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"lesson": "K0516",
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"objs": [
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"K0516001B",
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"K0516002B"
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],
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"content": "复数 $z=a+b\\mathrm{i}$($a$、$b \\in \\mathbf{R}$) 的辐角 $\\theta$ 及辐角主值: 以原点 $O$ 为顶点, $x$ 轴的正半轴为始边、射线 $OZ$ 为终边的角 $\\theta$, 叫做复数 $z$ 的\\blank{50}, 记作\\blank{50}. 规定: 复数 $0$ 的辐角的大小是\\blank{80}. 在复数的 $z$ 所有辐角中, 满足\\blank{100}的辐角称为 $z$ 的辐角主值, 记为\\blank{50}."
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},
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"B00282": {
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"lesson": "K0516",
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"objs": [
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"K0516003B"
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],
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"content": "复数 $z=a+b\\mathrm{i}$($a$、$b \\in \\mathbf{R}$) 的三角形式: $z=$\\blank{100}, 其中 $r=$\\blank{50}, $a=$\\blank{50}, $b=$\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-0.5,0) -- (3,0) node [below] {$x$} coordinate (x);\n\\draw [->] (0,-0.5) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$} coordinate (O);\n\\draw (2.5,1.5) node [above] {$Z(a,b)$} coordinate (Z);\n\\draw [->] (0,0) -- (Z) node [midway, above left] {$r$};\n\\draw [dashed] (2.5,0) node [below] {$a$} -- (2.5,1.5) -- (0,1.5) node [left] {$b$};\n\\draw pic [draw, \"$\\theta$\", scale = 0.8, angle eccentricity = 1.6] {angle = x--O--Z};\n\\filldraw (Z) circle (0.03);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}"
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},
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"B00283": {
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"lesson": "K0517",
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"objs": [
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"K0517001B",
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"K0517002B",
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"K0517003B",
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"K0517004B",
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"K0517005B",
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"K0517006B"
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],
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"content": "三角形式下复数的乘除法与乘方:\\\\\n若 $z_1=r_1(\\cos \\theta_1+\\mathrm{i} \\sin \\theta_1)$, $z_2=r_2(\\cos \\theta_2+\\mathrm{i} \\sin \\theta_2)$, 其中 $r_1=|z_1| \\geq 0$, $r_2=|z_2| \\geq 0$, 则\\\\\n$z_1 z_2=$\\blank{100}; $\\dfrac{z_1}{z_2}=$\\blank{100}; $z_1^n=$\\blank{100}($n$ 为正整数).\\\\\n复数乘法的几何意义: 一般地, 把复数 $z_1=r_1(\\cos \\theta_1+\\mathrm{i} \\sin \\theta_1)$, 其中 $r_1=|z_1| \\geq 0$, 乘以任意一个复数 $z_2=r_2(\\cos \\theta_2+\\mathrm{i} \\sin \\theta_2)$, 其中 $r_2=|z_2| \\geq 0$, 在几何上就是把向量 $\\overrightarrow{OZ_1}$ 的模 $r_1$ 伸缩为\\blank{50}, 再旋转\\blank{50}角."
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},
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"B00284": {
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"lesson": "K0517",
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"objs": [
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"K0517007B"
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],
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"content": "三角形式下复数的开方:\\\\\n复数 $z=r(\\cos \\theta+\\mathrm{i} \\sin \\theta)$($r=|z| \\geq 0$), 则对任何正整数 $n$ 有 $z^n=r^n(\\cos n \\theta+\\mathrm{i} \\sin n \\theta)$, 则 $z$ 的 $n$ 次方根为: \\blank{200}, 共有\\blank{20}个值."
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Reference in New Issue