From fe116ab27b88cf9548d1961949efe0686cdf5a9a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: WangWeiye Date: Fri, 20 Jan 2023 10:50:48 +0800 Subject: [PATCH] 20230120 morning --- 工具/修改题目数据库.ipynb | 8 +- 工具/批量添加题库字段数据.ipynb | 883 +++++- 工具/文本文件/metadata.txt | 3095 +++++++++++++++++++-- 工具/添加题目到数据库.ipynb | 2 +- 文本处理工具/剪贴板文本整理_mathpix.ipynb | 3 +- 题库0.3/Problems.json | 3018 +++++++++++++++----- 6 files changed, 5881 insertions(+), 1128 deletions(-) diff --git a/工具/修改题目数据库.ipynb b/工具/修改题目数据库.ipynb index 30ae2976..5295e0f3 100644 --- a/工具/修改题目数据库.ipynb +++ b/工具/修改题目数据库.ipynb @@ -2,7 +2,7 @@ "cells": [ { "cell_type": "code", - "execution_count": 1, + "execution_count": 33, "metadata": {}, "outputs": [ { @@ -11,7 +11,7 @@ "0" ] }, - "execution_count": 1, + "execution_count": 33, "metadata": {}, "output_type": "execute_result" } @@ -19,7 +19,7 @@ "source": [ "import os,re,json\n", "\"\"\"这里编辑题号(列表)后将在vscode中打开窗口, 编辑后保存关闭, 随后运行第二个代码块\"\"\"\n", - "problems = \"12671\"\n", + "problems = \"13274\"\n", "\n", "def 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"012560", "content": "已知函数$f(x)=2 \\sin (\\omega x+\\dfrac{\\pi}4)$($\\omega>0$)在区间$[-1,1]$上的值域为$[m, n]$, 且$n-m=3$, 则$\\omega$的值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac{5\\pi}{12}$", "solution": "", @@ -310850,7 +310872,9 @@ "id": "012561", "content": "已知平面向量$\\overrightarrow a$、$\\overrightarrow b$、$\\overrightarrow c$和实数$\\lambda$满足$|\\overrightarrow a|=|\\overrightarrow b|=|\\overrightarrow a+\\overrightarrow b|=2$, $\\overrightarrow a \\cdot \\overrightarrow c+\\overrightarrow b \\cdot \\overrightarrow c=0$, $(\\overrightarrow a-\\lambda \\overrightarrow c) \\cdot(\\overrightarrow b+\\lambda \\overrightarrow c) \\geq 0$, 则$|\\overrightarrow a-\\lambda \\overrightarrow c|+|\\overrightarrow b+\\lambda \\overrightarrow c|$的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$[2,2\\sqrt{2}]$", "solution": "", @@ -310869,7 +310893,9 @@ "id": "012562", "content": "下列不等式中, 解集为$\\{x 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使得点$T$到$l_1$和$l_2$的距离之积为定值? 若存在, 求出$l_2$的方程; 若不存在, 说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $x+2y-2=0$; (2) 证明略; (3) 存在, 直线方程为$y=\\dfrac 12$", "solution": "", @@ -311021,7 +311061,9 @@ "id": "012570", "content": "定义: 如果函数$y=f(x)$和$y=g(x)$的图像上分别存在点$M$和$N$关于$x$轴对称, 则称函数$y=f(x)$和$y=g(x)$具有$C$关系.\\\\\n(1) 判断函数$f(x)=\\log_2(8 x^2)$和$g(x)=\\log_{\\frac 12} x$是否具有$C$关系;\\\\\n(2) 若函数$f(x)=a \\sqrt {x-1}$和$g(x)=-x-1$不具有$C$关系, 求实数$a$的取值范围;\\\\\n(3) 若函数$f(x)=x e^x$和$g(x)=m \\sin x(m<0)$在区间$(0, \\pi)$上具有$C$关系, 求实数$m$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 具有$C$关系, 理由略; (2) $(-\\infty,2\\sqrt{2})$; (3) $(-\\infty,-1)$", "solution": "", @@ -311040,7 +311082,9 @@ "id": "012571", "content": "已知集合$A=\\{x||x-1 |<1\\}$, $\\mathbf{Z}$是整数集, 则$A \\cap \\mathbf{Z}=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\{1\\}$", "solution": "", @@ -311059,7 +311103,9 @@ "id": 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$$24,25,36,27,28,32,20,26,29,30,26,33$$据此预计, 该果园的总产量为千克以及第$75$百分位数为\\blank{50}千克.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$2800$, $31$", "solution": "", @@ -311155,7 +311209,9 @@ "id": "012577", "content": "已知常数$m \\in \\mathbf{R}$, 在$(x+m y)^n$的二项展开式中, $x^3 y^3$项的系数等于$160$, 则$m=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$2$", "solution": "", @@ -311174,7 +311230,9 @@ "id": "012578", "content": "若函数$y=\\dfrac 1{x-1}$的值域是$(-\\infty, 0) \\cup[\\dfrac 12,+\\infty)$, 则此函数的定义域为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$(-\\infty,1)\\cup (1,3]$", "solution": "", @@ -311193,7 +311251,9 @@ "id": "012579", "content": "如图为正六棱柱$ABCDEF-A' B' C' D' E' F'$. 其 6 个侧面的 12 条面对角线所在直线中, 与直线$A' B$异面的共有\\blank{50}条.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, x = {(-135:0.5cm)}, y = {(0:1cm)}, z = {(90:1cm)}]\n\\draw (0,0) node [left] {$A$} coordinate (A) ++ (0,0,1) 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"中国古代数学家用圆内接正$6 n$边形的周长来近似计算圆周长, 以估计圆周率$\\pi$的值. 若据此证明$\\pi>3.14$, 则正整数$n$至少等于\\bracket{20}.\n\\fourch{$8$}{$9$}{$10$}{$11$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "C", "solution": "", @@ -311344,9 +311418,11 @@ }, "012587": { "id": "012587", - "content": "如图, 已知正四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1$, 底面正方形$ABCD$的边长为$2$,$AA_1=3$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\def\\l{2}\n\\def\\m{2}\n\\def\\n{3}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,-\\m) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,0,-\\m) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) -- (B) -- (C);\n\\draw [dashed] (A) -- (D) -- (C);\n\\draw (A) ++ (0,\\n,0) node [left] {$A_1$} coordinate (A1);\n\\draw (B) ++ (0,\\n,0) node [right] {$B_1$} coordinate (B1);\n\\draw (C) ++ (0,\\n,0) node [above right] {$C_1$} coordinate (C1);\n\\draw (D) ++ (0,\\n,0) node [above left] {$D_1$} 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(D) ++ (0,\\n,0) node [above left] {$D_1$} coordinate (D1);\n\\draw (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;\n\\draw (A) -- (A1) (B) -- (B1) (C) -- (C1);\n\\draw [dashed] (D) -- (D1);\n\\draw (A1) -- (C1) (A1) -- (B);\n\\draw [dashed] (B) -- (D) -- (A1) (A) -- (C);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证: 平面$AA_1CC_1 \\perp$平面$A_1BD$;\\\\\n(2) 求点$A$到平面$A_1BD$的距离.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 证明略; (2) $\\dfrac{3\\sqrt{22}}{11}$", "solution": "", @@ -311365,7 +311441,9 @@ "id": "012588", "content": "若数列$\\{\\dfrac 1{a_n}\\}$是等差数列, 则称数列$\\{a_n\\}$为调和数列. 若实数$a$、$b$、$c$依次成调和数列, 则称$b$是$a$和$c$的调和中项.\\\\\n(1) 求$\\dfrac 13$和$1$的调和中项;\\\\\n(2) 已知调和数列$\\{a_n\\}$, $a_1=6$, $a_4=2$, 求$\\{a_n\\}$的通项公式.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\dfrac 12$; (2) $a_n=\\dfrac{18}{2n+1}$", "solution": "", @@ -311384,7 +311462,9 @@ "id": "012589", "content": "李先生属于一年工作$250$天的上班族, 计划购置一辆新车用以通勤. 大致推断每天早八点从家出发, 晩上六点回家, 往返总距离为$40$公里. 考虑从$A$、$B$两款车型中选择其一, $A$款车是燃油车, $B$款车是电动车, 售价均为$30$万元. 现提供关于两种车型的相关信息:\\\\\n$A$款车的油耗为$6$升/百公里, 油价为每升$8$至$9$元. 车险费用$4000$元/年. 购置税为售价的$10\\%$. 购车后, 车价每年折旧率为$12\\%$. 保养费用平均$2000$元/万公里;\\\\\n$B$款车的电耗为$20$度/百公里, 电费为每度$0.6$至$0.7$元. 车险费用$6000$元/年. 国务院$2022$年出台文件, 宣布保持免除购置税政策. 电池使用寿命为$5$年, 更换费用为$10$万元. 购车后, 车价每年折旧率为$15\\%$. 保养费用平均$1000$元/万公里.\\\\\n(1) 除了上述了解到的情况, 还有哪些因素可能需要考虑? 写出这些因素(至少 3 个, 不超过 5 个);\\\\\n(2) 为了简化问题, 请对相关因素做出合情假设, 由此为李先生作出买车的决策, 并说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 例如: 非通勤时段的车辆使用情况; 油价和电价的变化; 工作单位能否提供免费充电; 电动车的国家减免政策的变化; 车辆的外观、内饰与品牌效应; 车牌费用等; (2) 解答略", "solution": "", @@ -311403,7 +311483,9 @@ "id": "012590", "content": "如图所示, 由半椭圆$C_1: \\dfrac{x^2}4+\\dfrac{y^2}{b^2}=1$($y \\leq 0$)和两个半圆$C_2:(x+1)^2+y^2=1$($y \\geq 0$)、$C_3:(x-1)^2+y^2=1$($y \\geq 0$)组成曲线$C: F(x, y)=0$, 其中点$A_1$、$A_2$依次为$C_1$的左、 右顶点, 点$B$为$C_1$的下顶点, 点$F_1$、$F_2$依次为$C_1$的左、右焦点. 若点$F_1$、$F_2$分别为曲线$C_2$、$C_3$的圆心.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node [below right] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\filldraw (1,0) circle (0.03) node [below] {$F_2$} coordinate (F_2);\n\\filldraw (-1,0) circle (0.03) node [below] {$F_1$} coordinate (F_1);\n\\draw (0,0) arc (0:180:1) node [below left] {$A_1$} coordinate (A_1) arc (180:270:2 and {sqrt(3)}) node [below right] {$B$} coordinate (B) arc (270:360:2 and {sqrt(3)}) node [below right] {$A_2$} coordinate (A_2) arc (0:180:1);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求$C_1$的方程;\\\\\n(2) 若点$P$、$Q$分别在$C_2$、$C_3$上运动, 求$|BP|+|BQ|$的最大值, 并求出此时点$P$、$Q$的坐标;\\\\\n(3) 若点$M$在曲线$C: F(x, y)=0$上运动, 点$N(0,-1)$, 求$|NM|$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\dfrac{x^2}4+\\dfrac{y^2}3=1$($y\\le 0$); (2) $P(-\\dfrac 32,\\dfrac{\\sqrt{3}}2)$, $Q(\\dfrac 32, \\dfrac{\\sqrt{3}}2)$; (3) $[\\sqrt{3}-1,\\sqrt{2}+1]$", "solution": "", @@ -311420,9 +311502,11 @@ }, "012591": { "id": "012591", - "content": "已知$f(x)=\\dfrac{\\ln x}x$.\\\\\n(1) 求函数$y=f(x)$的导数, 并证明: 函数$y=f(x)$在$[\\mathrm{e},+\\infty)$上是严格减函数(常数$\\mathrm{e}$为自然对数的底);\\\\\n(2) 根据(1), 判断并证明$89^{99}$与$99^{89}$的大小关系, 并请推广至一般的结论(无须证明);\\\\\n(3) 已知$a$、$b$是正整数, $a99^{89}$, 证明略, 推广可以是:``对于实数$a,b$, 若$\\mathrm{e}b^a$; (3) 证明略", "solution": "", @@ -311441,7 +311525,9 @@ "id": "012592", "content": "若$z=\\mathrm{i} \\cdot(1-\\mathrm{i})$(其中$\\mathrm{i}$表示虚数单位), 则$\\text{Im} z=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$1$", "solution": "", @@ -311460,7 +311546,9 @@ "id": "012593", "content": "若正四棱柱的底面周长为$4$、高为$2$, 则该正四棱柱的体积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$2$", "solution": "", @@ -311479,7 +311567,9 @@ "id": "012594", "content": "设$y=x^{\\frac 12}-x^3$, 则满足$y<0$的$x$的取值范围为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$(1,+\\infty)$", "solution": "", @@ -311498,7 +311588,9 @@ "id": "012595", "content": "函数$y=\\tan 2 x$在区间$(-\\dfrac{\\pi}4, \\dfrac{\\pi}4)$上的零点为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$0$", "solution": "", @@ -311517,7 +311609,9 @@ "id": "012596", "content": "函数$y=1-2 \\sin ^2 x$的最小正周期为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\pi$", "solution": "", @@ -311536,7 +311630,9 @@ "id": "012597", "content": "在$(x+1)^4+(x+1)^5$展开式中, 含有$x^2$项的系数为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$16$", "solution": "", @@ -311555,7 +311651,9 @@ "id": "012598", "content": "双曲线$\\dfrac{x^2}3-y^2=1$的两条渐近线的夹角大小为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$60^\\circ$", "solution": "", @@ -311574,7 +311672,9 @@ "id": "012599", "content": "``青山''饮料厂推出一款新产品——``绿水'', 该厂开展促销活动, 将$6$罐``绿水''装成一箱, 且每箱均有$2$罐可以中奖. 若从一箱中随机抽取$2$罐, 则能中奖的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac 35$", "solution": "", @@ -311593,7 +311693,9 @@ "id": "012600", "content": "设$m \\in \\mathbf{R}$. 若直线$l: x=-1$与曲线$C_m:(x-\\dfrac{m^2}4)^2+(y-m)^2=1$仅有一个公共点, 则$m=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$0$", "solution": "", @@ -311612,7 +311714,9 @@ "id": "012601", "content": "某地``小康果''大丰收, 现抽取$5$个样本, 其质量分别为$125$、$a$、$121$、$b$、$127$(单位: 克). 若该样本的中位数和平均数均为$124$, 则此样本的标准差为\\blank{50}.(用数字作答).", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$2$", "solution": "", @@ -311631,7 +311735,9 @@ "id": "012602", "content": "设$a$、$b \\in \\mathbf{R}$且$a \\leq b$. 若函数$y=f(x)$的表达式为$f(x)=|x-1|$($x \\in \\mathbf{R}$), 且$f(a)=f(b+1)$, 则$a \\cdot(b+1)$的最大值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac 34$", "solution": "", @@ -311650,7 +311756,9 @@ "id": "012603", "content": "设$a_1$、$a_2$、$a_3$均为正数且$a_1^2+a_2^2=a_3^2$, 则使得不等式$\\dfrac 1{a_1}+\\dfrac 1{a_2}+\\dfrac 1{a_3} \\geq \\dfrac k{a_1+a_2+a_3}$总成立的$k$的取值范围为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$k\\le 5+3\\sqrt{2}$", "solution": "", @@ -311669,7 +311777,9 @@ "id": "012604", "content": "已知直线$l$、$m$和平面$\\alpha$、$\\beta$, 下列命题中的真命题是\\bracket{20}.\n\\twoch{若$m \\perp l$, $l\\parallel \\alpha$, 则$m \\perp \\alpha$}{若$l\\parallel \\alpha$, $\\alpha \\perp \\beta$, 则$l \\perp \\beta$}{若$l \\perp \\alpha$, $\\alpha\\parallel \\beta$, 则$l \\perp \\beta$}{若$l \\perp \\alpha$, $m \\perp \\beta$, 则$l\\parallel m$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "C", "solution": "", @@ -311688,7 +311798,9 @@ "id": "012605", "content": "设$x \\in \\mathbf{R}$, 则$\\lg x>\\ln x$的充要条件是\\bracket{20}.\n\\fourch{$x>0$}{$x>1$}{$x>10$}{$00$, 若向量$\\overrightarrow a$、$\\overrightarrow b$、$\\overrightarrow c$满足$|\\overrightarrow a|:|\\overrightarrow b|:|\\overrightarrow c|=1: k: 3$, 且$\\overrightarrow b-\\overrightarrow a=2(\\overrightarrow c-\\overrightarrow b)$, 则满足条件的$k$的取值可以是\\bracket{20}.\n\\fourch{$1$}{$2$}{$3$}{$4$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "B", "solution": "", @@ -311726,7 +311840,9 @@ "id": "012607", "content": "设$A_1$、$A_2$、$A_3$、$\\cdots$、$A_7$是均含有$2$个元素的集合, 且$A_1 \\cap A_7=\\varnothing$, $A_i \\cap A_{i+1}=\\varnothing$($i=1,2,3, \\cdots, 6$), 记$B=A_1 \\cup A_2 \\cup A_3 \\cup \\cdots \\cup A_7$, 则$B$中元素个数的最小值是\\bracket{20}.\n\\fourch{$5$}{$6$}{$7$}{$8$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "A", "solution": "", @@ -311745,7 +311861,9 @@ "id": "012608", "content": "如图所示, $BD$为四边形$ABCD$的对角线, 设$AB=AD=1$, $\\triangle BCD$为等边三角形. 记$\\angle BAD=\\theta$($0<\\theta<\\pi$).\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) node [left] {$A$} coordinate (A) node [right] {$\\theta$};\n\\draw (-70:1) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (60:1) node [above] {$D$} coordinate (D);\n\\draw ($(B)!1!-60:(D)$) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;\n\\draw [dashed] (B) -- (D);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 当$BD=\\sqrt 3$时, 求$\\theta$的值;\\\\\n(2) 设$S$为四边形$ABCD$的面积, 用含有$\\theta$的关系式表示$S$, 并求$S$的最大值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\dfrac {2\\pi}3$; (2) $S=\\sin(\\theta-\\dfrac\\pi 3)+\\dfrac{\\sqrt{3}}2$, $\\theta\\in (0,\\pi)$, $S$的最大值为$1+\\dfrac{\\sqrt{3}}2$", "solution": "", @@ -311764,7 +311882,9 @@ "id": "012609", "content": "设$a$、$b$均为正整数, $\\{a_n\\}$为首项为$a$、公差为$b$的等差数列, $\\{b_n\\}$为首项为$b$、公比为$a$的等比数列.\\\\\n(1) 设$t$为正整数, 当$a=3$, $b=1$, $a_7=latex]\n\\draw [dashed] (-2,-1,0) -- (2,-1,0) (0,-1,-2) -- (0,-1,2);\n\\draw (-2,-1,-0.3) -- (-0.3,-1,-0.3) -- (-0.3,-1,-2);\n\\draw (-2,-1,0.3) -- (-0.3,-1,0.3) -- (-0.3,-1,2);\n\\draw (2,-1,-0.3) -- (0.3,-1,-0.3) -- (0.3,-1,-2);\n\\draw (2,-1,0.3) -- (0.3,-1,0.3) -- (0.3,-1,2);\n\\fill [domain = 0:360, white] plot ({2*cos(\\x)},0,{2*sin(\\x)});\n\\fill [domain = 0:360, pattern = north east lines] plot ({2*cos(\\x)},0,{2*sin(\\x)});\n\\fill [domain = 0:360, white] plot ({cos(\\x)},0,{sin(\\x)});\n\\draw [domain = 0:360,ultra thick,samples = 100] plot ({2*cos(\\x)},0,{2*sin(\\x)});\n\\draw [domain = 0:360,thick] plot ({cos(\\x)},0,{sin(\\x)});\n\\filldraw (0,0) circle (0.03) node [left] {$O$} coordinate (O);\n\\draw [domain = 0:180,thick] plot ({-sqrt(2)*cos(\\x)},{2*sin(\\x)},{sqrt(2)*cos(\\x)});\n\\draw [domain = 0:180,thick] plot ({sqrt(2)*cos(\\x)},{2*sin(\\x)},{sqrt(2)*cos(\\x)});\n\\draw (0,2,0) node [above] {$S$} coordinate (S);\n\\draw ({cos(45)},0,{sin(45)}) --++ (0,{sqrt(3)},0);\n\\draw ({cos(135)},0,{sin(135)}) node [right] {$D$} coordinate (D) --++ (0,{sqrt(3)},0) node [above left] {$C$} coordinate (C);\n\\draw ({cos(225)},0,{sin(225)}) --++ (0,{sqrt(3)},0);\n\\draw ({cos(315)},0,{sin(315)}) --++ (0,{sqrt(3)},0);\n\\draw [thick] ({2*cos(45)},0,{2*sin(45)}) node [below left] {$A$} coordinate (A) -- ({3*cos(45)},-1,{3*sin(45)}) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw [thick] ({2*cos(45)},0,{2*sin(45)}) node [below left] {$A$} coordinate (A) -- ({3*cos(45)},-1,{3*sin(45)}) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw [thick] ({2*cos(135)},0,{2*sin(135)}) -- ({3*cos(135)},-1,{3*sin(135)});\n\\draw [thick] ({2*cos(315)},0,{2*sin(315)}) -- ({3*cos(315)},-1,{3*sin(315)});\n\\draw [thick,dashed] ({2*cos(225)},0,{2*sin(225)}) -- ({3*cos(225)},-1,{3*sin(225)});\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证:$CD\\parallel$平面$SOA$;\\\\\n(2) 设$AB$为经过$A$的一条步道, 其长度为$12$米且与地面所成角的大小为$30^{\\circ}$. 桥面小圆与大圆的半径之比为$4: 5$, 当桥面大圆半径为$20$米时, 求点$C$到地面的距离.", + "content": "如图, ``复兴''桥为人行天桥, 其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根坚直的立柱吊起一块圆环状的桥面. 主梁在桥面上方相交于点$S$且它们所在的平面互相垂直, $S$在桥面上的射影为桥面的中心$O$. 主梁连接桥面大圆, 立柱连接主梁和桥面小圆, 地面有$4$条可以通往桥面的上行步道. 设$CD$为其中的一根立柱, $A$为主梁与桥面大圆的连接点.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [dashed] (-2,-1,0) -- (2,-1,0) (0,-1,-2) -- (0,-1,2);\n\\draw (-2,-1,-0.3) -- (-0.3,-1,-0.3) -- (-0.3,-1,-2);\n\\draw (-2,-1,0.3) -- (-0.3,-1,0.3) -- (-0.3,-1,2);\n\\draw (2,-1,-0.3) -- (0.3,-1,-0.3) -- (0.3,-1,-2);\n\\draw (2,-1,0.3) -- (0.3,-1,0.3) -- (0.3,-1,2);\n\\fill [domain = 0:360, white] plot ({2*cos(\\x)},0,{2*sin(\\x)});\n\\fill [domain = 0:360, pattern = north east lines] plot ({2*cos(\\x)},0,{2*sin(\\x)});\n\\fill [domain = 0:360, white] plot ({cos(\\x)},0,{sin(\\x)});\n\\draw [domain = 0:360,ultra thick,samples = 100] plot ({2*cos(\\x)},0,{2*sin(\\x)});\n\\draw [domain = 0:360,thick] plot ({cos(\\x)},0,{sin(\\x)});\n\\filldraw (0,0) circle (0.03) node [left] {$O$} coordinate (O);\n\\draw [domain = 0:180,thick] plot ({-sqrt(2)*cos(\\x)},{2*sin(\\x)},{sqrt(2)*cos(\\x)});\n\\draw [domain = 0:180,thick] plot ({sqrt(2)*cos(\\x)},{2*sin(\\x)},{sqrt(2)*cos(\\x)});\n\\draw (0,2,0) node [above] {$S$} 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桥面小圆与大圆的半径之比为$4: 5$, 当桥面大圆半径为$20$米时, 求点$C$到地面的距离.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 证明略; (2) $18$米", "solution": "", @@ -311802,7 +311924,9 @@ "id": "012611", "content": "在$xOy$坐标平面内, 已知椭圆$\\Gamma: \\dfrac{x^2}9+\\dfrac{y^2}5=1$的左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$, 直线$y=k_1 x$($k_1 \\neq 0$)与$\\Gamma$相交于$A$、$B$两点.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.5]\n\\draw [->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-3) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [above left] {$O$};\n\\draw [name path = elli] (0,0) ellipse (3 and {sqrt(5)});\n\\filldraw (-2,0) circle (0.05) node [below] {$F_1$} coordinate (F_1);\n\\filldraw (2,0) circle (0.05) node [below] {$F_2$} coordinate (F_2);\n\\path [name path = line] (-3,{-5/sqrt(7)}) -- (3,{5/sqrt(7)});\n\\draw [name intersections = {of = elli and line, by = {A,B}}];\n\\draw (A) node [above] {$A$} -- (F_2) -- (B) node [below left] {$B$} -- cycle;\n\\end{tikzpicture}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.5]\n\\draw [->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-3) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below right] {$O$} coordinate (O);\n\\draw [name path = elli] (0,0) ellipse (3 and {sqrt(5)});\n\\path [name path = line] (-3,{-5/sqrt(7)}) -- (3,{5/sqrt(7)});\n\\draw [name intersections = {of = elli and line, by = {A,B}}];\n\\draw (A) node [above] {$A$} -- (B) node [below left] {$B$};\n\\draw (B) -- ($(-3,0)!(B)!(3,0)$) node [above] {$M$} coordinate (M);\n\\draw ($(O)!0.5!(M)$) node [above] {$N$} coordinate (N);\n\\path [name path = AP] (A) -- ($(N)!-0.8!(A)$);\n\\draw [name intersections= {of = AP and elli, by = P}];\n\\draw (A) -- (P) node [below left] {$P$} coordinate (P);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 记$d$为$A$到直线$2 x+9=0$的距离, 当$k_1$变化时, 求证:$\\dfrac{|AF_1|}d$为定值;\\\\\n(2) 当$\\angle AF_2B =120^\\circ$时, 求$|AF_2|\\cdot|BF_2|$的值;\\\\\n(3) 过$B$作$BM \\perp x$轴, 垂足为$M$, $OM$的中点为$N$, 延长$AN$交$\\Gamma$于另一点$P$, 记直线$PB$的斜率为$k_2$, 当$k_1$取何值时, $|k_1-k_2|$有最小值? 并求出此最小值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 值为$\\dfrac 23$, 是定值; (2) $\\dfrac{20}3$; (3) $k_1=\\dfrac{\\sqrt{30}}6$时, $|k_1-k_2|$取到最小值$\\dfrac{\\sqrt{30}}3$", "solution": "", @@ -311821,7 +311945,9 @@ "id": "012612", "content": "若函数$y=f(x)$($x \\in D$)同时满足下列两个条件, 则称$y=f(x)$在$D$上具有性质$M$.\\\\\n\\textcircled{1} $y=f(x)$在$D$上的导数$f'(x)$存在;\\\\\n\\textcircled{2} $y=f'(x)$在$D$上的导数$f''(x)$存在, 且$f''(x)>0$(其中$f''(x)=[f'(x)]'$)恒成立.\\\\\n(1) 判断函数$y=\\lg \\dfrac 1x$在区间$(0,+\\infty)$上是否具有性质$M$? 并说明理由;\\\\\n(2) 设$a$、$b$均为实常数, 若奇函数$g(x)=2 x^3+a x^2+\\dfrac bx$在$x=1$处取得极值, 是否存在实数$c$, 使得$y=g(x)$在区间$[c,+\\infty)$上具有性质$M$? 若存在, 求出$c$的取值范围; 若不存在, 请说明理由;\\\\\n(3) 设$k \\in \\mathbf{Z}$且$k>0$, 对于任意的$x \\in(0,+\\infty)$, 不等式$\\dfrac{1+\\ln (x+1)}x>\\dfrac k{x+1}$成立, 求$k$的最大值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 具有性质$M$, 理由略; (2) 存在, $c$的范围为$(0,+\\infty)$; (3) $3$", "solution": "", @@ -311840,7 +311966,9 @@ "id": "012613", "content": "设全集$U=\\{1,2,3,4\\}$, $A=\\{1,3\\}$, 则$\\overline A=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\{2,4\\}$", "solution": "", @@ -311859,7 +311987,9 @@ "id": "012614", "content": "不等式$x^2-3 x+2<0$的解集为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$(1,2)$", "solution": "", @@ -311878,7 +312008,9 @@ "id": "012615", "content": "复数$z$满足$\\overline z=\\dfrac 1{1+\\mathrm{i}}$(其中$\\mathrm{i}$为虚数单位), 则复数$z$在复平面上所对应的点$Z$到原点$O$的距离为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac{\\sqrt{2}}2$", "solution": "", @@ -311897,7 +312029,9 @@ "id": "012616", "content": "设向量$\\overrightarrow a$、$\\overrightarrow b$满足$|\\overrightarrow a|=1 , \\overrightarrow a \\cdot \\overrightarrow b=2$, 则$\\overrightarrow a \\cdot(\\overrightarrow a+\\overrightarrow 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"甲、乙两城市某月初连续$7$天的日均气温数据如图所示, 则在这$7$天中, \\\\\n\\textcircled{1} 甲城市日均气温的中位数与平均数相等;\\\\\n\\textcircled{2} 甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定;\\\\\n\\textcircled{3} 乙城市日均气温的极差为$3^{\\circ} \\text{C}$;\\\\\n\\textcircled{4} 乙城市日均气温的众数为$5^{\\circ} \\text{C}$.\n以上判断正确的是\\blank{50}.(写出所有正确判断的序号)\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.4]\n\\foreach \\i in {1,2,...,7} {\n\\draw [gray] (\\i,0) -- (\\i,7) (0,\\i) -- (7,\\i); \n\\draw (\\i,0.2) -- (\\i,0) node [below] {$\\i$};\n\\draw (0.2,\\i) -- (0,\\i) node [left] {$\\i$};};\n\\draw [->] (0,0) -- (8,0) node [below] {日期};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,8) node [left] {气温$^\\circ\\text{C}$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (1,5) -- (2,3) -- (3,6) -- (4,3) -- (5,7) -- (6,5) -- (7,6);\n\\draw [dashed] (1,5) -- (2,4) -- (3,6) -- (4,5) -- (5,5) -- (6,4) -- (7,6);\n\\draw (7.5,5.5) -- (9.5,5.5) node [right] {甲};\n\\draw [dashed] (7.5,4) -- (9.5,4) node [right] {乙};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "\\textcircled{1}\\textcircled{4}", "solution": "", @@ -311955,7 +312093,9 @@ "id": "012619", "content": "有甲、乙、丙三项任务, 其中甲需$2$人承担, 乙、丙各需$1$人承担 . 现从$6$人中任选$4$人承担这三项任务, 则共有\\blank{50}种不同的选法.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$180$", "solution": "", @@ -311974,7 +312114,9 @@ "id": "012620", "content": "研究发现, 某昆虫释放信息素$t$秒后, 在距释放处$x$米的地方测得的信息素浓度$y$满足$\\ln y=-\\dfrac 12 \\ln t-\\dfrac kt x^2+a$, 其中$k, a$为非零常数. 已知释放$1$秒后, 在距释放处$2$米的地方测得信息素浓度为$m$, 则释放信息素$4$秒后, 距释放处的\\blank{50}米的位置, 信息素浓度为$\\dfrac m2$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$4$", "solution": "", @@ -311993,7 +312135,9 @@ "id": "012621", "content": "若$\\overrightarrow{OA}=(1,-2,0)$, $\\overrightarrow{OB}=(2,1,0)$, $\\overrightarrow{OC}=(1,1,3)$, 则三棱锥$O-ABC$的体积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac 52$", "solution": "", @@ -312012,7 +312156,9 @@ "id": "012622", "content": "已知函数$y=2 \\sin (\\omega x+\\dfrac{\\pi}6)(\\omega>0)$的图像向右平移$\\varphi(0<\\varphi<\\dfrac{\\pi}2)$个单位, 可得到函数$y=\\sin 2 x-a \\cos 2 x$的图像, 则$\\varphi=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac\\pi 4$", "solution": "", @@ -312031,7 +312177,9 @@ "id": "012623", "content": "已知$AA_1$是圆柱的一条母线, $AB$是圆柱下底面的直径, $C$是圆柱下底面圆周上异于$A$、$B$的点. 若圆柱的侧面积为$4 \\pi$, 则三棱锥$A_1-ABC$外接球体积的最小值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac{8\\sqrt{2}\\pi}3$", "solution": "", @@ -312050,7 +312198,9 @@ "id": "012624", "content": "已知$F_1$、$F_2$为椭圆$\\Gamma: \\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$的左右焦点, $A$为$\\Gamma$的上顶点, 直线$l$经过点$F_1$且与$\\Gamma$交于$B$、$C$两点. 若$l$垂直平分线段$AF_2$, 则$\\triangle ABC$的周长是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac{8\\sqrt{3}}3$", "solution": "", @@ -312069,7 +312219,9 @@ "id": "012625", "content": "若$\\alpha$为第四象限角, 则\\bracket{20}.\n\\fourch{$\\sin 2\\alpha<0$}{$\\cos 2\\alpha<0$}{$\\sin 2\\alpha>0$}{$\\cos 2\\alpha>0$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "A", "solution": "", @@ -312088,7 +312240,9 @@ "id": "012626", "content": "设$f(x)=x^\\alpha$($\\alpha \\in(-2,-1, \\dfrac 12, 1,2,3))$, 则``函数$y=f(x)$的图像经过点$(-1,-1)$''是``函数$y=f(x)$为奇函数''的\\bracket{20}.\n\\twoch{充分不必要条件}{必要不充分条件}{充要条件}{既不充分也不必要条件}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "C", "solution": "", @@ -312108,7 +312262,9 @@ "id": "012627", "content": "掷两颗骰子, 观察掷得的点数. 设事件$A$为: 至少一个点数是奇数; 事件$B$为: 点数之和是偶数, 事件$A$的概率为$P(A)$, 事件$B$的概率为$P(B)$. 则$1-P(A \\cap B)$是下列哪个事件的概率\\bracket{20}.\n\\twoch{两个点数都是偶}{至多有一个点数是偶数}{两个点数都是奇数}{至多有一个点数是奇数}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "D", "solution": "", @@ -312127,7 +312283,9 @@ "id": "012628", "content": "函数$f(x)=(\\mathrm{e}^{a x}-b)^2$的大致图像如图, 在下列选项中, 则实数$a$、$b$的取值只可能是\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.3]\n\\draw [->] (-8,0) -- (8,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,10) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = -3.1:8,samples = 100] plot (\\x,{pow(exp(-0.5*\\x)-1.5,2)});\n\\draw [dashed] (-8,2.25) -- (8,2.25);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{$a>0$、$b>1$}{$a>0$、$01$}{$a<0$、$0=latex]\n\\draw (0,0,0) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (2,0,0) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,1.6,0) node [above] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (1,0,1) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\draw ($(B)!0.5!(C)$) node [below right] {$E$} coordinate (E);\n\\draw ($(C)!0.5!(D)$) node [above] {$F$} coordinate (F);\n\\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;\n\\draw (D) -- (B) (F) -- (E);\n\\draw [dashed] (A) -- (C);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证: 直线$EF\\parallel$平面$ABD$;\\\\\n(2) 求证: 直线$BC \\perp$平面$ABD$;\\\\\n(3) 若直线$CD$与平面$ABC$所成的角为$45^{\\circ}$, 直线$CD$与平面$ABD$所成角为$30^{\\circ}$, 求二面角$B-AD-C$的大小.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 证明略; (2) 证明略; (3) $\\dfrac\\pi 4$", "solution": "", @@ -312203,7 +312367,9 @@ "id": "012632", "content": "已知抛物线$\\Gamma: y^2=4 x$的焦点为$F$, 准线为$l$.\\\\\n(1) 若$F$为双曲线$C: \\dfrac{x^2}{a^2}-2 y^2=1(a>0)$的一个焦点, 求双曲线$C$的离心率$e$;\\\\\n(2) 设$l$与$x$轴的交点为$E$, 点$P$在第一象限, 且在$\\Gamma$上, 若$\\dfrac{|PF|}{|PE|}=\\dfrac{\\sqrt 2}2$, 求直线$EP$的方程;\\\\\n(3) 经过点$F$且斜率为$k$($k \\neq 0$)的直线$l'$与$\\Gamma$相交于$A$、$B$两点, $O$为坐标原点, 直线$OA$、$OB$分别与$l$相交于点$M$、$N$. 试探究: 以线段$MN$为直径的圆$C$是否过定点, 若是, 求出定点的坐标; 若不是, 说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\sqrt{2}$; (2) $y=x+1$; (3) 过定点$(-3,0)$和$(1,0)$", "solution": "", @@ -312222,7 +312388,9 @@ "id": "012633", "content": "已知函数$y=f(x)$的定义域为$(0,+\\infty)$.\\\\\n(1) 若$f(x)=\\ln x$;\\\\\n\\textcircled{1} 求曲线$y=f(x)$在点$(1,0)$处的切线方程;\\\\\n\\textcircled{2} 求函数$g(x)=f(x)+x^2-3 x$的单调减区间和极小值;\\\\\n(2) 若对任意$a, b \\in(1,+\\infty)$($a0\\}$, 则$\\overline A=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\{0\\}$", "solution": "", @@ -312261,7 +312431,9 @@ "id": "012635", "content": "在复平面内, 复数$z$所对应的点的坐标为$(1,-1)$, 则$z \\cdot \\overline z=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$2$", "solution": "", @@ -312280,7 +312452,9 @@ "id": "012636", "content": "不等式$\\dfrac{x+5}{x^2+2 x+3} \\geq 1$的解集为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$[-2,1]$", "solution": "", @@ -312299,7 +312473,9 @@ "id": "012637", "content": "函数$y=\\tan x$在区间$(\\dfrac{\\pi}2, \\dfrac{3 \\pi}2)$上的零点是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\pi$", "solution": "", @@ -312318,7 +312494,9 @@ "id": "012638", "content": "已知$f(x)$是定义域为$\\mathbf{R}$的奇函数, 且$x \\leq 0$时, $f(x)=e^x-1$, 则$f(x)$的值域是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$(-1,1)$", "solution": "", @@ -312337,7 +312515,9 @@ "id": "012639", "content": "在$(x-\\dfrac 2x)^9$的二项展开式中, $x^3$项的系数是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$-672$", "solution": "", @@ -312356,7 +312536,9 @@ "id": "012640", "content": "已知圆锥的侧面积为$2 \\pi$, 且侧面展开图为半圆, 则该圆锥底面半径为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$1$", "solution": "", @@ -312375,7 +312557,9 @@ "id": "012641", "content": "在数列$\\{a_n\\}$中, $a_1=2$, 且$a_n=a_{n-1}+\\lg \\dfrac n{n-1}$($n \\geq 2$), 则$a_{100}=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$4$", "solution": "", @@ -312394,7 +312578,10 @@ "id": "012642", "content": "某中学从甲、乙两个班中各选出$15$名学生参加知识竞赛, 将他们的成绩(满分$100$分)进行统计分析, 绘制成如图所示的茎叶图. 设成绩在$88$分以上(含$88$分)的学生为优秀学生, 现从甲、乙两班的优秀学生中各取$1$人, 记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩记为事件$A$, 则事件$A$发生的概率$P(A)=$\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{r|c|l}\n甲 & & 乙\\\\\n& 5 & 8\\\\\n8 \\ 0& 6 & 6 \\ 9\\\\\n9 \\ 8 \\ 5 & 7 & 0 \\ 5 \\ 6 \\ 6 \\ 6 \\ 8 \\ 8\\\\\n8 \\ 7 \\ 6 \\ 4 \\ 1 & 8 & 6 \\ 6 \\\\\n8 \\ 6 \\ 2 \\ 2 \\ 1 & 9 & 5 \\ 8 \\ 8\n\\end{tabular}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元", + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac 29$", "solution": "", @@ -312413,7 +312600,9 @@ "id": "012643", "content": "在$\\triangle ABC$中, $AC=4$, 且$\\overrightarrow{AC}$在$\\overrightarrow{AB}$方向上的数量投影是$-2$, 则$|\\overrightarrow{BC}-\\lambda \\overrightarrow{BA}|$($\\lambda \\in \\mathbf{R}$)的最小值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$2\\sqrt{3}$", "solution": "", @@ -312432,7 +312621,9 @@ "id": "012644", "content": "设$k \\in \\mathbf{R}$, 函数$y=|x^2-4 x+3|$的图像与直线$y=k x+1$有四个交点, 且这些交点的横坐标分别为$x_1, x_2, x_3, x_4(x_10$, 则``$a>b$''是``$\\dfrac 1a<\\dfrac 1b$''的\\bracket{20}.\n\\twoch{充分非必要条件}{必要非充分条件}{充分必要条件}{既非充分也非必要条件}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "C", "solution": "", @@ -312489,7 +312684,9 @@ "id": "012647", "content": "已知圆$C_1$的半径为$3$, 圆$C_2$的半径为$7$, 若两圆相交, 则两圆的圆心距可能是\\bracket{20}.\n\\fourch{$0$}{$4$}{$8$}{$12$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "C", "solution": "", @@ -312508,7 +312705,9 @@ "id": "012648", "content": "已知平面$\\alpha$、$\\beta$、$\\gamma$两两垂直, 直线$a$、$b$、$c$满足: $a \\subset \\alpha$, $b \\subset \\beta$, $c \\subset \\gamma$, 则直线$a$、$b$、$c$位置关系不可能是\\bracket{20}.\n\\fourch{两两垂直}{两两平行}{两两相交}{两两异面}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "B", "solution": "", @@ -312527,7 +312726,9 @@ "id": "012649", "content": "设数列$\\{a_n\\}$为: $1$, $\\dfrac 12$, $\\dfrac 12$, $\\dfrac 14$, $\\dfrac 14$, $\\dfrac 14$, $\\dfrac 14$, $\\dfrac 18$, $\\dfrac 18$, $\\dfrac 18$, $\\dfrac 18$, $\\dfrac 18$, $\\dfrac 18$, $\\dfrac 18$, $\\dfrac 18$, $\\cdots$, 其中第$1$项为$\\dfrac 11$, 接下来$2$项均为$\\dfrac 12$, 再接下来$4$项均为$\\dfrac 14$, 再接下来$8$项均为$\\dfrac 18$, $\\cdots$, 以此类推, 记$S_n=\\displaystyle\\sum_{i=1}^n a_i$, 现有如下命题: \\textcircled{1} 存在正整数$k$, 使得$a_k<\\dfrac 1k$; \\textcircled{2} 数列$\\{\\dfrac{S_n}n\\}$是严格减数列. 下列判断正确的是\\bracket{20}.\n\\twoch{\\textcircled{1}和\\textcircled{2}均为真命题}{\\textcircled{1}和\\textcircled{2}均为假命题}{\\textcircled{1}为真命题, \\textcircled{2}为假命题}{\\textcircled{1}为假命题, \\textcircled{2}为真命题}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "D", "solution": "", @@ -312546,7 +312747,9 @@ "id": "012650", "content": "如图, 在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中, $AB=AC=2$, $AA_1=4$, $AB \\perp AC$, $BE \\perp AB_1$交$AA_1$于点$E$, $D$为$CC_1$的中点.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.6]\n\\draw (0,0,0) node [left] {$B$} coordinate (B) ++ (0,4) node [left] {$B_1$} coordinate (B_1);\n\\draw ({sqrt(2)},0,{-sqrt(2)}) node [right] {$A$} coordinate (A) ++ (0,4)node [above] {$A_1$} coordinate (A_1);\n\\draw ({2*sqrt(2)},0,0) node [right] {$C$} coordinate (C) ++ (0,4) node [right] {$C_1$} coordinate (C_1);\n\\draw ($(C)!0.5!(C_1)$) node [right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw ($(A)!0.25!(A_1)$) node [right] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (B) -- (C) -- (C_1) -- (A_1) -- (B_1) -- cycle;\n\\draw (B_1) -- (C_1) (B_1) -- (D) (B_1) -- (C);\n\\draw [dashed] (B) -- (A) -- (C) (B) -- (E) (A) -- (A_1) (B_1) -- (A);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证:$BE \\perp$平面$AB_1C$;\\\\\n(2) 求直线$B_1D$与平面$AB_1C$所成角的大小.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 证明略; (2) $\\arcsin \\dfrac{\\sqrt{15}}{15}$", "solution": "", @@ -312565,7 +312768,9 @@ "id": "012651", "content": "已知$f(x)=\\ln x-(a+1) x+\\dfrac 12 a x^2$($a \\in \\mathbf{R}$).\\\\\n(1) 当$a=0$时, 求函数$y=f(x)$在点$(1, f(1))$处的切线方程;\\\\\n(2) 当$a \\in(0,1]$时, 求函数$y=f(x)$的单调区间.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $y+1=0$; (2) 当$0=latex]\n\\draw (0,0) node [below left] {$E$} coordinate (E) rectangle (3,3) node [above right] {$G$} coordinate (G);\n\\draw (3,0) node [below right] {$F$} coordinate (F) (0,3) node [above left] {$H$} coordinate (H);\n\\draw ($(E)!0.5!(F)$) node [below] {$A$} coordinate (A) --++ (60:3) node [right] {$B$} coordinate (B) arc (60:120:3) node [left] {$C$} coordinate (C) -- cycle;\n\\draw (1.5,0) ++ (80:3) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw (P) -- ($(A)!(P)!(B)$) node [below left] {$Q$} coordinate (Q);\n\\draw (P) -- ($(A)!(P)!(C)$) node [below left] {$R$} coordinate (R);\n\\draw (R) -- (Q);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center} \n(1) 如果点$P$位于弧$BC$的中点, 求三条步行道$PQ$、$PR$、$RQ$的总长度;\\\\\n(2) ``地摊经济''对于``拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活''等都有积极作用. 为此街道允许在步行道$PQ$、$PR$、$RQ$开辟临时摊点, 积极推进``地摊经济''发展, 预计每年能产生的经济效益分别为每米$5$万元、$5$万元及$5.9$万元 . 则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?(精确到 1 万元)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $200+100\\sqrt{3}$米; (2) $2022$万元", "solution": "", @@ -312603,7 +312810,9 @@ "id": "012653", "content": "已知曲线$C_i$的方程为$x^2+\\lambda_i y^2=1$($\\lambda_i \\in \\mathbf{R}$, $i=1,2,3$), 直线$l: y=k(x+1)$, $k \\in \\mathbf{R}$.\\\\\n(1) 若曲线$C_1$是焦点在$x$轴上且离心率为$\\dfrac{\\sqrt 2}2$的椭圆, 求$\\lambda_1$的值;\\\\ \n(2) 若$k=1$, $\\lambda_2 \\neq-1$时, 直线$l$与曲线$C_2$相交于两点$M, N$, 且$|MN|=\\sqrt 2$, 求曲线$C_2$的方程;\\\\ \n(3) 若直线$l$与曲线$C_i$在第一象限交于点$P_i(x_i, y_i)$, 是否存在不全相等的$\\lambda_1, \\lambda_2, \\lambda_3$满足$\\lambda_1+\\lambda_3=2 \\lambda_2$, 且使得$x_2^2=x_1 x_3$成立. 若存在, 求出$x_2$的值; 若不存在, 请说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\lambda_1=2$; (2) $x^2+y^2=1$或$x^2-3y^2=1$; (3) 存在, $x_2=1$", "solution": "", @@ -312622,7 +312831,9 @@ "id": "012654", "content": "对于数列$\\{x_n\\}$, $\\{y_n\\}$, 其中$y_n \\in \\mathbf{Z}$, 对任意正整数$n$都有$|x_n-y_n|<\\dfrac 12$, 则称数列$\\{y_n\\}$为数列$\\{x_n\\}$的``接近数列''. 已知$\\{b_n\\}$为数列$\\{a_n\\}$的``接近数列'', 且$A_n=\\sum_{i=1}^n a_i$, $B_n=\\sum_{i=1}^n b_i$.\\\\\n(1) 若$a_n=n+\\dfrac 14$($n$是正整数), 求$b_1, b_2, b_3, b_4$的值;\\\\ \n(2) 若$a_n=\\dfrac 32+(-\\dfrac 9{10})^{n+1}$($n$是正整数), 是否存在$k$($k$是正整数), 使得$A_k1$, 则$x+\\dfrac 4{x-1}$的最小值是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$5$", "solution": "", @@ -312717,7 +312936,9 @@ "id": "012659", "content": "若指数函数$y=a^x$($a>0$, $a \\neq 1$)在$[1, 2]$上的最大值与最小值之和等于$12$, 则实数$a=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$3$", "solution": "", @@ -312736,7 +312957,9 @@ "id": "012660", "content": "两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是$0.6$和$0.5$, 两人各投一次, 则他们同时命中的概率是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$0.3$", "solution": "", @@ -312755,7 +312978,9 @@ "id": "012661", "content": "将圆锥的侧面展开后得到一个半径为$2$的半圆, 则此圆锥的体积为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}3\\pi$", "solution": "", @@ -312774,7 +312999,9 @@ "id": "012662", "content": "已知平面向量$\\overrightarrow a$、$\\overrightarrow b$满足$|\\overrightarrow a|=3$, $|\\overrightarrow b|=4$, 则$2 \\overrightarrow a+\\overrightarrow b$在$\\overrightarrow a$方向上的数量投影的最小值是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$2$", "solution": "", @@ -312793,7 +313020,9 @@ "id": "012663", "content": "从$5$名志愿者中选出$4$名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作 (每项$1$人), 其中甲不参加测温的分配方案有\\blank{50}种. (结果用数值表示)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$96$", "solution": "", @@ -312812,7 +313041,9 @@ "id": "012664", "content": "双曲线$C$的左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$, 点$A$在$y$轴上. 双曲线$C$与线段$AF_1$交于点$P$, 与线段$AF_2$交于点$Q$, 直线$AF_1$平行于双曲线$C$的渐近线, 且$|AP|:|PQ|=5: 6$, 则双曲线$C$的离心率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac 53$", "solution": "", @@ -312831,7 +313062,9 @@ "id": "012665", "content": "某人去公园郊游, 在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷$ABC$, 遮阳篷是一个直角边长为$6$的等腰直角三角形, 斜边$AB$朝南北方向固定在地上, 正西方向射出的太阳光线与地面成$30^{\\circ}$角, 则当遮阳篷$ABC$与地面所成的角大小为\\blank{50}时, 所遮阴影面$ABC'$面积达到最大.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,2) node [below] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (0,0,-2) node [right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw ({2*sqrt(3)},0,0) node [right] {$C'$} coordinate (C');\n\\draw (0,2,0) node [above] {$C$} coordinate (C);\n\\fill [pattern = north east lines] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;\n\\draw (A) -- (C) -- (C') -- cycle;\n\\draw [dashed] (A) -- (B) -- (C) (B) -- (C');\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$60^\\circ$", "solution": "", @@ -312850,7 +313083,9 @@ "id": "012666", "content": "对于正整数$n$, 设$x_n$是关于$x$的方程$n x^3+2 x-n=0$的实数根, 记$a_n=[(n+1) x_n]$($n \\geq 2$), 其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数, 则$\\dfrac 1{1012}(a_2+a_3+a_4+\\cdots+a_{2022})=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$2021$", "solution": "", @@ -312869,7 +313104,9 @@ "id": "012667", "content": "已知$a , b$都是自然数, 则``$a+b$是偶数''是``$a , b$都是偶数''的\\bracket{20}条件.\n\\fourch{充分而不必要}{必要而不充分}{充要}{既不充分也不必要}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "B", "solution": "", @@ -312888,7 +313125,9 @@ "id": "012668", "content": "某高中共有学生$1200$人, 其中高一、高二、高三的学生人数比为$6: 5: 4$, 现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为$60$的样本, 则高三年级应该抽取\\bracket{20}人.\n\\fourch{$16$}{$18$}{$20$}{$24$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "A", "solution": "", @@ -312907,7 +313146,9 @@ "id": "012669", "content": "设$\\sin \\alpha+\\cos \\alpha=x$, 且$\\sin ^3 \\alpha+\\cos ^3 \\alpha=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0$, 则$a_0+a_1+a_2+a_3=$\\bracket{20}.\n\\fourch{$-1$}{$\\dfrac 12$}{$1$}{$\\sqrt 2$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "C", "solution": "", @@ -312926,7 +313167,9 @@ "id": "012670", "content": "已知$O$为坐标原点, 点$A(1,1)$在抛物线$C: x^2=2 p y$($p>0$)上, 过点$B(0,-1)$的直线交抛物线$C$于$P$、$Q$两点: \\textcircled{1} 抛物线$C$的准线为$y=-\\dfrac 12$; \\textcircled{2} 直线$AB$与抛物线$C$相切; \\textcircled{3} $|OP|\\cdot|OQ|>|OA|^2$; \\textcircled{4} $|BP|\\cdot|BQ|=|BA|^2$, 以上结论中正确的是\\bracket{20}.\n\\fourch{\\textcircled{1}\\textcircled{2}}{\\textcircled{2}\\textcircled{3}}{\\textcircled{2}\\textcircled{4}}{\\textcircled{3}\\textcircled{4}}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "B", "solution": "", @@ -312945,7 +313188,9 @@ "id": "012671", "content": "已知函数$f(x)=\\sin 2 x+\\sqrt 3 \\cos 2 x$, $x \\in \\mathbf{R}$.\\\\\n(1) 求函数$f(x)$的单调增区间;\\\\\n(2) 在$\\triangle ABC$中, 角$A$、$B$、$C$的对边分别为$a$、$b$、$c$, 当$f(A)=0$, $b=1$, 且三角形$ABC$的面积为$\\sqrt 3$时, 求$a$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $[k\\pi-\\dfrac{5\\pi}{12},k\\pi+\\dfrac\\pi{12}]$, $k\\in \\mathbf{Z}$; (2) $\\sqrt{13}$或$\\sqrt{61}$", "solution": "", @@ -312964,7 +313209,9 @@ "id": "012672", "content": "已知数列$\\{a_n\\}$满足$a_1=1$, $a_n=3 a_{n-1}+4$($n \\geq 2$).\\\\\n(1) 求证: 数列$\\{a_n+2\\}$是等比数列;\\\\\n(2) 求数列$\\{a_n\\}$的通项公式;\\\\\n(3) 写出$\\displaystyle\\sum_{i=1}^5 a_{2 i-1}$的具体展开式, 并求其值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 证明略; (2) $a_n=3^n-2$; (3) $a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=22133$", "solution": "", @@ -312983,7 +313230,9 @@ "id": "012673", "content": "如图, 棱长为$2$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中, $M$、$N$、$P$分别是$C_1D_1$、$C_1C$、$A_1A$的中点.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\def\\l{2}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,-\\l) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,0,-\\l) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) -- (B) -- (C);\n\\draw [dashed] (A) -- (D) -- (C);\n\\draw (A) ++ (0,\\l,0) node [left] {$A_1$} coordinate (A1);\n\\draw (B) ++ (0,\\l,0) node [right] {$B_1$} coordinate (B1);\n\\draw (C) ++ (0,\\l,0) node [above right] {$C_1$} coordinate (C1);\n\\draw (D) ++ (0,\\l,0) node [above left] {$D_1$} coordinate (D1);\n\\draw (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;\n\\draw (A) -- (A1) (B) -- (B1) (C) -- (C1);\n\\draw [dashed] (D) -- (D1);\n\\filldraw ($(C1)!0.5!(D1)$) circle (0.03) node [above] {$M$} coordinate (M);\n\\filldraw ($(A)!0.5!(A1)$) circle (0.03) node [left] {$P$} coordinate (P);\n\\filldraw ($(C)!0.5!(C1)$) circle (0.03) node [right] {$N$} coordinate (N);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 证明: $M$、$N$、$A_1$、$B$四点共面;\\\\\n(2) 求异面直线$PD_1$与$MN$所成角的大小; (结果用反三角函数值表示)\\\\\n(3) 求三棱锥$P-MNB$的体积.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 证明略; (2) $\\arccos \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}$; (3) $\\dfrac 13$", "solution": "", @@ -313002,7 +313251,9 @@ "id": "012674", "content": "已知椭圆$C: \\dfrac{x^2}{a^2}+\\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$), $P(1,3)$, $Q(3,1)$, $M(-3,1)$, $N(0,2)$这四点中恰有三点在椭圆$C$上.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.7]\n\\draw [->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2.5) -- (0,3.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\filldraw (1,3) circle (0.03) node [right] {$P$} coordinate (P);\n\\filldraw (3,1) circle (0.03) node [right] {$Q$} coordinate (Q);\n\\filldraw (-3,1) circle (0.03) node [right] {$M$} coordinate (M);\n\\filldraw (0,2) circle (0.03) node [right] {$N$} coordinate (N);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求椭圆$C$的方程;\\\\\n(2) 点$E$是椭圆$C$上的一个动点, 求$\\triangle EMN$面积的最大值;\\\\\n(3) 过$R(0,1)$的直线$l$交椭圆$C$于$A$、$B$两点, 设直线$l$的斜率$k>0$, 在$x$轴上是否存在一点$D(m, 0)$, 使得以$DA$、$DB$为邻边的平行四边形为菱形? 若存在, 求实数$m$的取值范围; 若不存在, 请说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\dfrac{x^2}{12}+\\dfrac{y^2}4=1$; (2) $3+2\\sqrt{3}$; (3) 存在, $m$的取值范围为$[-\\dfrac{\\sqrt{3}}3,0)$", "solution": "", @@ -313021,7 +313272,9 @@ "id": "012675", "content": "已知函数$f(x)=x^2-a x-a$, $a \\in \\mathbf{R}$.\\\\\n(1) 判断函数$f(x)$的奇偶性;\\\\ \n(2) 若函数$F(x)=x \\cdot f(x)$在$x=1$处有极值, 且关于$x$的方程$F(x)=m$有 $3$个不同的实根, 求实数$m$的取值范围;\\\\\n(3) 记$g(x)=-\\mathrm{e}^x$($\\mathrm{e}$是自然对数的底数). 若对任意$x_1$、$x_2 \\in[0, \\mathrm{e}]$且$x_1>x_2$时, 均有$|f(x_1)-f(x_2)|<|g(x_1)-g(x_2)|$成立, 求实数$a$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 当$a=0$时, $f(x)$是偶函数; 当$a\\ne 0$时, $f(x)$既不是奇函数又不是偶函数; (2) $(-1,\\dfrac 5{27})$; (3) $[2\\ln 2-2,1]$", "solution": "", @@ -313040,7 +313293,9 @@ "id": "012676", "content": "设集合$A=(-2,2)$, $B=(-3,1)$, 则$A \\cap B=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$(-2,1)$", "solution": "", @@ -313059,7 +313314,9 @@ "id": "012677", "content": "若幂函数$y=x^a$的图像经过点$(\\sqrt[4]3, 3)$, 则实数$a=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$4$", "solution": "", @@ -313078,7 +313335,9 @@ "id": "012678", "content": "函数$y=\\log_2(2-x)$的定义域为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$(-\\infty,2)$", "solution": "", @@ -313097,7 +313356,9 @@ "id": "012679", "content": "$(x+2)^5$的二项展开式中$x^2$的系数为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$80$", "solution": "", @@ -313116,7 +313377,9 @@ "id": "012680", "content": "若圆锥的轴截面是边长为$1$的正三角形, 则圆锥的侧面积是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac\\pi 2$", "solution": "", @@ -313135,7 +313398,9 @@ "id": "012681", "content": "已知$\\alpha$为锐角, 若$\\sin (\\alpha+\\dfrac{\\pi}2)=\\dfrac 35$, 则$\\tan (\\alpha+\\dfrac{\\pi}4)=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$-7$", "solution": "", @@ -313154,7 +313419,9 @@ "id": "012682", "content": "已知某射击爱好者的打靶成绩(单位: 环)的茎叶图如图所示, 其中整数部分为 ``茎'', 小数部分为``叶'', 则这组数据的方差为\\blank{50}(精确到0.01).\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{r|l}\n5 & 6 \\ 8\\\\\n6 & 2 \\ 3 \\ 6 \\ 6\\\\\n7 & 3 \\ 4\n\\end{tabular}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$0.36$", "solution": "", @@ -313173,7 +313440,9 @@ "id": "012683", "content": "已知拋物线$C: y^2=16 x$的焦点为$F$, 在$C$上有一点$P$满足$|PF|=13$, 则点$P$到$x$轴的距离为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$12$", "solution": "", @@ -313192,7 +313461,9 @@ "id": "012684", "content": "某医院需要从$4$名男医生和$3$名女医生中选出$3$名医生去担任``中国进博会''三个不同区域的核酸检测服务工作, 则选出的$3$名医生中, 恰有$1$名女医生的概率是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac{18}{35}$", "solution": "", @@ -313211,7 +313482,10 @@ "id": "012685", "content": "如图, 在$\\triangle ABC$中, 点$D$、$E$是线段$BC$上两个动点, 且$\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{AE}=x \\overrightarrow{AB}+y \\overrightarrow{AC}$, 则$\\dfrac 1x+\\dfrac 9y$的最小值为\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) node [above] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (-1,-2) node [left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (2,-2) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw ($(B)!0.3!(C)$) node [below] {$D$} coordinate (D);\n\\draw ($(B)!0.55!(C)$) node [below] {$E$} coordinate (E);\n\\draw [->] (A) -- (B);\n\\draw [->] (A) -- (C);\n\\draw [->] (A) -- (D);\n\\draw [->] (A) -- (E);\n\\draw (B) -- (C);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $a_n=5-n$; (2) $n=4$或$5$", "solution": "", @@ -313363,7 +313652,9 @@ "id": "012693", "content": "如图, 三棱锥$P-ABC$中, 侧面$PAB$垂直于底面$ABC$, $PA=PB$, 底面$ABC$是斜边为$AB$的直角三角形, 且$\\angle ABC=30^{\\circ}$, 记$O$为$AB$的中点, $E$为$OC$的中点.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,0) node [above] {$O$} coordinate (O);\n\\draw (-1,0,0) node [left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (1,0,0) node [right] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (0.5,0,{sqrt(3)/2}) node [below] {$C$} coordinate (C);\n\\draw ($(O)!0.5!(C)$) node [left] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (0,{sqrt(3)},0) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw (B) -- (C) -- (A) -- (P) -- cycle (P) -- (C);\n\\draw [dashed] (A) -- (B) (O) -- (C) (A) -- (E);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证: $PC \\perp AE$;\\\\\n(2) 若$AB=2$, 直线$PC$与底面$ABC$所成角的大小为$60^{\\circ}$, 求四面体$PAOC$的体积.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 证明略; (2) $\\dfrac 14$", "solution": "", @@ -313382,7 +313673,9 @@ "id": "012694", "content": "在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地, 如图$ABCD$所示. 为考虑露营客人娱乐休闲的需求, 在四边形$ABCD$区域中, 将$\\triangle ABD$区域设立成花卉观赏区, $\\triangle BCD$区域设立成烧烤区, 边$AB$、$BC$、$CD$、$DA$修建成观赏步道, 边$BD$修建隔离防护栏. 其中$CD=100$米, $BC=200$米, $\\angle A=\\dfrac{\\pi}3$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 1.7]\n\\draw (0,0) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (-1,0) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (-80:2) node [right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw ($(B)!{1/sqrt(3)}!30:(D)$) coordinate (O);\n\\draw ($(O)!1!100:(D)$) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle (D) -- (B);\n\\draw (barycentric cs:A=1,B=1,D=1) node {花卉观赏区};\n\\draw (barycentric cs:B=1,C=1,D=1) node {烧烤区};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 如果烧烤区是一个占地面积为$9600$平方米的钝角三角形, 那么需要修建多长的隔离防护栏(精确到$0.1$米)?\\\\\n(2) 考虑到烧烤区的安全性, 在规划四边形$ABCD$区域时, 首先保证烧烤区的占地面积最大时, 再使得花卉观赏区的面积尽可能大, 则应如何设计观赏步道?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $247.4$米; (2) $AB=AD=100\\sqrt{5}$米, $\\angle C=\\dfrac\\pi 2$", "solution": "", @@ -313401,7 +313694,9 @@ "id": "012695", "content": "已知$F_1$、$F_2$分别为椭圆$C_1: \\dfrac{x^2}4+y^2=1$的左、右焦点, 直线$l_1$交椭圆$C_1$于$A$、$B$两点.\\\\\n(1) 求焦点$F_1$、$F_2$的坐标与椭圆$C_1$的离心率$e_1$的值;\\\\\n(2) 若直线$l_1$过点$F_2$且与圆$x^2+y^2=1$相切, 求弦长$|AB|$的值;\\\\\n(3) 若双曲线$C_2$与椭圆共焦点, 离心率为$e_2$, 满足$e_2=2 e_1$, 过点$F_2$作斜率为$k$($k \\neq 0$)的直线$l_2$交$C_2$的渐近线于$C$、$D$两点, 过$C$、$D$的中点$M$分别作两条渐近线的平行线交$C_2$于$P$、$Q$两点, 证明: 直线$PQ$平行于$l_2$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $F_1(-\\sqrt{3},0)$, $F_2(\\sqrt{3},0)$, $e_1=\\dfrac{\\sqrt{3}}2$; (2) $2$; (3) 证明略", "solution": "", @@ -313420,7 +313715,9 @@ "id": "012696", "content": "已知定义域为$\\mathbf{R}$的函数$y=f(x)$. 当$a \\in \\mathbf{R}$时, 若$g(x)=\\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$($x>a$)是严格增函数, 则称$f(x)$是一个``$T(a)$函数''.\\\\\n(1) 分别判断函数$f_1(x)=5 x+3$、$f_2(x)=2 x^2+x+2$是否为$T(1)$函数;\\\\\n(2) 是否存在实数$b$, 使得函数$h(x)=\\begin{cases}\\mathrm{e}^x,& x<0, \\\\b x+1,& x \\geq 0\\end{cases}$是$T(-1)$函数? 若存在, 求实数$b$的取值范围; 否则, 证明你的结论;\\\\\n(3) 已知$J(x)=\\mathrm{e}^x(q x^2+1)$, 其中$q \\in \\mathbf{R}$. 证明: 若$J'(x)$是$\\mathbf{R}$上的严格增函数, 则对任意$n \\in \\mathbf{Z}, J(x)$都是$T(n)$函数.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $f_1(x)$不是$T(1)$函数, $f_2(x)$是$T(1)$函数; (2) 存在, $b$的取值范围为$(1-\\dfrac 1{\\mathrm{e}},+\\infty)$; (3) 证明略", "solution": "", @@ -313439,7 +313736,9 @@ "id": "012697", "content": "设$A=\\{x |-1=latex]\n\\def\\l{1}\n\\def\\m{1}\n\\def\\n{1.5}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,-\\m) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,0,-\\m) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) -- (B) -- (C);\n\\draw [dashed] (A) -- (D) -- (C);\n\\draw (A) ++ (0,\\n,0) node [left] {$A_1$} coordinate (A1);\n\\draw (B) ++ (0,\\n,0) node [right] {$B_1$} coordinate (B1);\n\\draw (C) ++ (0,\\n,0) node [above right] {$C_1$} coordinate (C1);\n\\draw (D) ++ (0,\\n,0) node [above left] {$D_1$} coordinate (D1);\n\\draw (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;\n\\draw (A) -- (A1) (B) -- (B1) (C) -- (C1);\n\\draw [dashed] (D) -- (D1);\n\\draw ($(A)!0.7!(A1)$) node [left] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (B) -- (E);\n\\draw [dashed] (E) -- (C1);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$2$", "solution": "", @@ -313629,7 +313947,9 @@ "id": "012707", "content": "设$p>0, q>0$且满足$\\log_{16} p=\\log_{20} q=\\log_{25}(p+q)$, 则$\\dfrac pq=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac{\\sqrt{5}-1}2$", "solution": "", @@ -313648,7 +313968,9 @@ "id": "012708", "content": "已知某商品的成本$C$和产量$q$满足关系$C=50000+200 q$, 该商品的销售单价$p$和产量$q$满足关系式$p=24200-\\dfrac 15 q^2$, 则当产量$q$等于\\blank{50}时, 利润最大.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$200$", "solution": "", @@ -313667,7 +313989,9 @@ "id": "012709", "content": "下列四组函数中, 同组的两个函数是相同函数的是\\bracket{20}.\n\\fourch{$y=x$与$y=(\\dfrac 1x)^{-1}$}{$y=|x|$与$y=(\\sqrt x)^2$}{$y=x$与$y=e^{\\ln x}$}{$y=x$与$y=\\sqrt [5]{x^5}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "D", "solution": "", @@ -313686,7 +314010,9 @@ "id": "012710", "content": "紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品, 其制作始于明朝正德年间. 紫砂壶的壸型众多, 经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壸、潘壶等. 其中, 石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台. 若壶口的直径为$6\\text{cm}$, 壶底的直径为$10\\text{cm}$, 壶体高$4\\text{cm}$, 那么该壶的容积约接近于\\bracket{20}.\n\\fourch{$100 \\text{cm}^3$}{$200 \\text{cm}^3$}{$300 \\text{cm}^3$}{$400 \\text{cm}^3$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "B", "solution": "", @@ -313705,7 +314031,9 @@ "id": "012711", "content": "下列结论不正确的是\\bracket{20}.\n\\onech{若事件$A$与$B$互斥, 则$P(A \\cup B)=P(A) P(B)$}{若事件$A$与$B$相互独立, 则$P(A \\cap B)=P(A) P(B)$}{如果$X$、$Y$分别是两个独立的随机变量, 那么$D[X+Y]=D[X]+D[Y]$}{若随机变量$Y$的方差$D[Y]=3$, 则$D[2Y+1]=12$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "A", "solution": "", @@ -313724,7 +314052,9 @@ "id": "012712", "content": "已知$a, b, \\alpha, \\beta \\in \\mathbf{R}$, 满足$\\sin \\alpha+\\cos \\beta=a$, $\\cos \\alpha+\\sin \\beta=b$, $0=latex,scale = 0.5]\n\\draw (0,0,0) node [left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (5,0,0) node [right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw ({16/5},0,{4*sqrt(34)/5}) node [below] {$C$} coordinate (C);\n\\draw ({7/5},{12*sqrt(2/17)},{36/5*sqrt(2/17)}) node [above] {$A$} coordinate (A);\n\\draw ($(A)!0.5!(D)$) node [above right] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle (A) -- (C) -- (E);\n\\draw [dashed] (E) -- (B) -- (D);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证:$AD \\perp$平面$BEC$;\\\\\n(2) 已知$AB=5$, $\\angle BDC=\\arccos \\dfrac 9{25}$, $AD=6$. 作出二面角$D-BC-E$的平面角, 并求它的正弦值.", + "content": "如图, 在四面体$ABCD$中, 已知$BA=BD=CA=CD$. 点$E$是$AD$中点.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.5]\n\\draw (0,0,0) node [left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (5,0,0) node [right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw ({16/5},0,{4*sqrt(34)/5}) node [below] {$C$} coordinate (C);\n\\draw ({7/5},{12*sqrt(2/17)},{36/5*sqrt(2/17)}) node [above] {$A$} coordinate (A);\n\\draw ($(A)!0.5!(D)$) node [above right] {$E$} coordinate (E);\n\\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle (A) -- (C) -- (E);\n\\draw [dashed] (E) -- (B) -- (D);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证: $AD \\perp$平面$BEC$;\\\\\n(2) 已知$AB=5$, $\\angle BDC=\\arccos \\dfrac 9{25}$, $AD=6$. 作出二面角$D-BC-E$的平面角, 并求它的正弦值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 证明略; (2) 图略, $\\dfrac{3\\sqrt{17}}{17}$", "solution": "", @@ -313781,7 +314115,9 @@ "id": "012715", "content": "某地区$1997$年底沙漠面积为$9 \\times 10^5 \\text{hm}^2$(注:$\\text{hm}^2$是面积单位, 表示公顷). 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况, 从$1998$年开始进行了连续$5$年的观测, 并在每年底将观测结果记录如下表:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|}\n\\hline 观测年份 & 该地区沙漠面积比原有($1997$年底)面积增加数: $\\text{hm}^2$\\\\\n\\hline $1998$ & $2000$ \\\\\n\\hline $1999$ & $4000$ \\\\\n\\hline $2000$ & $6001$ \\\\\n\\hline $2001$ & $7999$ \\\\\n\\hline $2002$ & $10001$ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular} \n\\end{center} \n请根据上表所给的信息进行估计.\\\\\n(1) 如果不采取任何措施, 到$2020$年底, 这个地区的沙漠面积大约变成多少$\\text{hm}^2$?\\\\\n(2) 如果从$2003$年初开始, 采取植树造林等措施, 每年改造面积$8000 \\text{hm}^2$沙漠, 但沙漠面积仍按原有速度增加, 那么到哪一年年底, 这个地区的沙漠面积将首次小于$8 \\times 10^5 \\text{hm}^2$?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 大约$9.46\\times 10^5\\text{hm}^2$; (2) 到$2021$年底这个地区的沙漠面积首次小于$8\\times 10^5\\text{hm}^2$", "solution": "", @@ -313800,7 +314136,9 @@ "id": "012716", "content": "已知椭圆$C$的中心在原点$O$, 且它的一个焦点$F$为$(\\sqrt 3, 0)$. 点$A_1, A_2$分别是椭圆的左、右顶点, 点$B$为椭圆的上顶点, $\\triangle OFB$的面积为$\\dfrac{\\sqrt 3}2$. 点$M$是椭圆$C$上在第一象限内的一个动点.\\\\\n(1) 求椭圆$C$的标准方程;\\\\ \n(2) 若把直线$MA_1, MA_2$的斜率分别记作$k_1, k_2$, 若$k_1+k_2=-\\dfrac 34$, 求点$M$的坐标;\\\\\n(3) 设直线$MA_1$与$y$轴交于点$P$, 直线$MA_2$与$y$轴交于点$Q$. 令$\\overrightarrow{PB}=\\lambda \\overrightarrow{BQ}$, 求实数$\\lambda$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$; (2) $M(\\dfrac 65,\\dfrac 45)$; (3) $(0,1)$", "solution": "", @@ -313819,7 +314157,9 @@ "id": "012717", "content": "已知函数$y=f(x)$, $y=g(x)$, 其中$f(x)=\\dfrac 1{x^2}$, $g(x)=\\ln x$.\\\\\n(1) 求函数$y=g(x)$在点$(1, g(1))$的切线方程;\\\\ \n(2) 函数$y=m f(x)+2 g(x)$, $m \\in \\mathbf{R}$, $m \\neq 0$是否存在极值点, 若存在求出极值点, 若不存在, 请说明理由;\\\\\n(3) 若关于$x$的不等式$a f(x)+g(x) \\geq a$在区间$(0,1]$上恒成立, 求实数$a$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $y=x-1$; (2) 存在极小值点$x=\\sqrt{m}$, 无极大值点; (3) $[\\dfrac 12,+\\infty)$", "solution": "", @@ -313838,7 +314178,9 @@ "id": "012718", "content": "函数$y=\\sin (2x-\\dfrac \\pi 4)$的最小正周期$T=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\pi$", "solution": "", @@ -313855,9 +314197,11 @@ }, "012719": { "id": "012719", - "content": "已加集合$A=\\{-1,0,1,2\\}$, $B=\\{x | 00$, 则$x+\\dfrac 2x$的最小值为\\blank{50}.", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 证明略; (2) $\\arcsin \\dfrac 13$", "solution": "", @@ -314159,9 +314534,11 @@ }, "012735": { "id": "012735", - "content": "近两年, 直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式, 带来电商行业的新增长点. 某直播平台第$1$年初的启动资金为$500$万元, 由于一些知名主播加入, 平台资金的年平均增长率可达$40\\%$, 每年年底扣除运营成本$a$万元, 再将剩余资金继续投入直播平台.\\\\\n(1) 若 $a=100$, 在第$3$年年底扣除运营成本后, 直播平合的资金有多少万元?\\\\\n(2) 每年的运营成本最多控制在多少万元, 才能使得直播平合在第$6$年年底扣除运营成本后资金达到$3000$万元?(结果精确到$0.1$万元)", + "content": "近两年, 直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式, 带来电商行业的新增长点. 某直播平台第$1$年初的启动资金为$500$万元, 由于一些知名主播加入, 平台资金的年平均增长率可达$40\\%$, 每年年底扣除运营成本$a$万元, 再将剩余资金继续投入直播平台.\\\\\n(1) 若 $a=100$, 在第$3$年年底扣除运营成本后, 直播平合的资金有多少万元?\\\\\n(2) 每年的运营成本最多控制在多少万元, 才能使得直播平台在第$6$年年底扣除运营成本后资金达到$3000$万元?(结果精确到$0.1$万元)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $936$万元; (2) $46.8$万元", "solution": "", @@ -314180,7 +314557,9 @@ "id": "012736", "content": "在$\\triangle ABC$中, 设角$A$、$B$、$C$所对的边分别为$a$、$b$、$c$, 且$a \\cos B+(b-4 c) \\cos A=0$.\\\\\n(1) 求$\\cos A$;\\\\\n(2) 若$\\overrightarrow{BD}=2 \\overrightarrow{DC}$, $|\\overrightarrow{AD}|=1$, 求$c+2 b$的最大值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\dfrac 14$; (2) $\\dfrac{6\\sqrt{10}}5$", "solution": "", @@ -314199,7 +314578,9 @@ "id": "012737", "content": "已知椭圆$\\Gamma:\\dfrac{x^2}{a^2}+\\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$.\\\\\n(1) 以$F_2$为圆心的圆经过椭圆的左焦点$F_1$和上顶点$B$, 求椭圆$\\Gamma$的离心率;\\\\\n(2) 已知$a=5$, $b=4$ 设点$P$是椭圆$\\Gamma$上一点, 且位于$x$轴的上方, 若$\\triangle PF_1F_2$是等腰三角形, 求点$P$的坐标;\\\\\n(3) 已知$a=2$, $b=\\sqrt{3}$, 过点$F_2$且倾斜角为$\\dfrac\\pi 2$的直线与椭圆$\\Gamma$在$x$轴上方的交点记作$A$, 若动直线$l$也过点$F_2$且与椭圆$\\Gamma$交于$M$、$N$两点(均不同于$A$), 是否存在定直线$l_0: x=x_0$, 使得动直线$l$与$l_0$的交点$C$满足直线$AM$、$AC$、$AN$的斜率总是成等差数列? 若存在, 求常数$x_0$的值; 若不存在, 请说明理由.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\dfrac 12$; (2) $(0,4)$, $(-\\dfrac 53, \\dfrac{8\\sqrt{2}}3)$或$(\\dfrac 53, \\dfrac{8\\sqrt{2}}3)$; (3) 存在, $x_0=4$", "solution": "", @@ -314218,7 +314599,9 @@ "id": "012738", "content": "若函数$y=f(x)$是其定义域内的区间$I$上的严格增函数, 而$y=\\dfrac{f(x)}{x}$是$I$上的严格减函数, 则称$y=f(x)$是$I$上的``弱增函数''. 若数列$\\{a_n\\}$是严格增数列, 而$\\{\\dfrac{a_n}{n}\\}$是严格减数列, 则称$\\{a_n\\}$是``弱增数列''.\\\\\n(1) 判断函数$y=\\ln x$是否为$(\\mathrm{e},+\\infty)$上的``弱增函数'', 并说明理由(其中$\\mathrm{e}$是自然对数的底数);\\\\\n(2) 已知函数$y=f(x)$与函数$y=-2 x^2-4 x-8$的图像关于坐标原点对称, 若$y=f(x)$是$[m, n]$上的``弱增函数\", 求$n-m$的最大值;\\\\\n(3) 已知等差数列$\\{a_n\\}$是首项为$4$的``弱增数列'', 且公差$d$是偶数. 记$\\{a_n\\}$的前$n$项和为$S_n$, 设$T_n=\\dfrac{S_n+2 \\lambda}{2^n}$($n$是正整数, 常数$\\lambda \\geq -2$), 若存在正整数$k$和$m$, 使得$k>m>1$且$T_k=T_m$, 求$\\lambda$所有可能的值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 是``弱增函数'', 理由略; (2) $1$; (3) $-1$和$-2$", "solution": "", @@ -314237,7 +314620,9 @@ "id": "012739", "content": "已知集合$A=\\{1,2\\}$, $B=\\{1, a\\}$, 且$A=B$, 则$a=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$2$", "solution": "", @@ -314256,7 +314641,9 @@ "id": "012740", "content": "已知向量$\\overrightarrow a=(3,4)$, $\\overrightarrow b=(1,2)$, 则$\\overrightarrow a-2 \\overrightarrow b=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$(1,0)$", "solution": "", @@ -314275,7 +314662,9 @@ "id": "012741", "content": "若不等式$|x-1|\\leq 2$, 则$x$的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$[-1,3]$", "solution": "", @@ -314294,7 +314683,9 @@ "id": "012742", "content": "已知圆$C$的一般方程为$x^2+2 x+y^2=0$, 则圆$C$的半径为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$1$", "solution": "", @@ -314313,7 +314704,9 @@ "id": "012743", "content": "已知事件$A$发生的概率为$P(A)=0.5$, 则它的对立事件的概率$P(\\overline A)=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac 12$", "solution": "", @@ -314332,7 +314725,9 @@ "id": "012744", "content": "已知正实数$a$、$b$满足$a+4 b=1$, 则$a b$的最大值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac 1{16}$", "solution": "", @@ -314351,7 +314746,9 @@ "id": "012745", "content": "某校抽取$100$名学生测身高, 其中身高最大值为$186 \\text{cm}$, 最小值$154 \\text{cm}$, 根据身高数据绘制频率组距分布直方图, 组距为 $5$, 且第一组下限为$153.5 \\text{cm}$, 则组数为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$7$", "solution": "", @@ -314370,7 +314767,9 @@ "id": "012746", "content": "设$(1-2 x)^4=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4$, 则$a_0+a_4=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$17$", "solution": "", @@ -314389,7 +314788,9 @@ "id": "012747", "content": "已知函数$f(x)=2^{-x}+1$, 且$g(x)=\\begin{cases}\\log_2(x+1), & x \\geq 0, \\\\f(-x), & x<0,\\end{cases}$ 则方程$g(x)=2$的解为\\blank{50}.", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "C", "solution": "", @@ -314503,7 +314915,9 @@ "id": "012753", "content": "如图所示, 正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中, $P$是$A_1C_1$上的动点, 则下列直线中, 始终与直线$BP$异面的是\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\def\\l{2}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,-\\l) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,0,-\\l) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) -- (B) -- (C);\n\\draw [dashed] (A) -- (D) -- (C);\n\\draw (A) ++ (0,\\l,0) node [left] {$A_1$} coordinate (A1);\n\\draw (B) ++ (0,\\l,0) node [right] {$B_1$} coordinate (B1);\n\\draw (C) ++ (0,\\l,0) node [above right] {$C_1$} coordinate (C1);\n\\draw (D) ++ (0,\\l,0) node [above left] {$D_1$} coordinate (D1);\n\\draw (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;\n\\draw (A) -- (A1) (B) -- (B1) (C) -- (C1);\n\\draw [dashed] (D) -- (D1);\n\\draw (A1) -- (C1);\n\\filldraw ($(A1)!0.4!(C1)$) circle (0.03) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw [dashed] (B) -- (P);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{$DD_1$}{$AC$}{$AD_1$}{$B_1C$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "B", "solution": "", @@ -314522,7 +314936,9 @@ "id": "012754", "content": "数列$\\{a_n\\}$的各项均为实数, $S_n$为其前$n$项和, 对任意$k>2022$($k \\in \\mathbf{N}$)都有$|S_k|>|S_{k+1}|$, 则下列各数列中, 可能使条件成立的数列是\\bracket{20}.\n\\onech{$a_1$、$a_3$、$a_5$、$\\cdots$、$a_{2 n-1}$为等差数列, $a_2$、$a_4$、$a_6$、$\\cdots$、$a_{2 n}$为等比数列}{$a_1$、$a_3$、$a_5$、$\\cdots$、$a_{2 n-1}$为等比数列, $a_2$、$a_4$、$a_6$、$\\cdots$、$a_{2 n}$为等差数列}{$a_1$、$a_2$、$a_3$、$\\cdots$、$a_{2022}$为等差数列, $a_{2023}$、$a_{2024}$、$\\cdots$、$a_n$为等比数列}{$a_1$、$a_2$、$a_3$、$\\cdots$、$a_{2022}$为等比数列, $a_{2023}$、$a_{2024}$、$\\cdots$、$a_n$为等差数列}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "C", "solution": "", @@ -314541,7 +314957,9 @@ "id": "012755", "content": "已知$PA \\perp$平面$ABC$, $AB \\perp AC$, $PA=AB=3$, $AC=4$, $M$为$BC$中点, 过点$M$分别作平行于平面$PAB$的直线交$AC$、$PC$于点$E$、$F$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.7]\n\\draw (0,0,0) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (4,0,0) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,3,0) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw (0,0,3) node [left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw ($(B)!0.5!(C)$) node [below] {$M$} coordinate (M);\n\\draw ($(C)!0.5!(P)$) node [above] {$E$} coordinate (E);\n\\draw ($(A)!0.5!(C)$) node [above right] {$F$} coordinate (F);\n\\draw (P)--(B)--(C)--cycle (E)--(M);\n\\draw [dashed] (P)--(A)--(B) (E)--(F)--(M) (A)--(C);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求直线$PM$与平面$ABC$所成的角;\\\\\n(2) 证明: 平面$MEF\\parallel$平面$PAB$, 并求直线$ME$到平面$PAB$的距离.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\arctan \\dfrac 65$; (2) 证明略, 距离为$2$", "solution": "", @@ -314560,7 +314978,9 @@ "id": "012756", "content": "在$\\triangle ABC$中, 角$A$、$B$、$C$对应边为$a$、$b$、$c$, 其中$b=2$.\\\\\n(1) 若$A+C=\\dfrac{2 \\pi}3$, 且$a=2 c$, 求边长$c$的值;\\\\\n(2) 若$A-C=\\dfrac{\\pi}{12}$, $a=\\sqrt 2 c \\sin A$, 求$\\triangle ABC$的面积.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $c=\\dfrac{2\\sqrt{3}}3$; (2) $3-\\sqrt{3}$", "solution": "", @@ -314579,7 +314999,10 @@ "id": "012757", "content": "为了节能环保, 节约材料、定义建筑物的 ``体形系数'' 为$S=\\dfrac{F_0}{V_0}$, 其中$F_0$为建筑物暴露在空气中的面积 (单位: 平方米), $V_0$为建筑物的体积 (单位: 立方米).\\\\\n(1) 若有一圆柱形建筑物的底面半径为$R$, 高度为$H$, 求该建筑物的 ``体形系数'';(结果用含$R$、$H$的代数式表示)\\\\\n(2) 定义建筑物的 ``形状因子'' 为$f=\\dfrac{L^2}A$, 其中$A$为底面面积, $L$为建筑底面周长, 又定义$T$为总建筑面积, 即为每层建筑面积总和 (每层建筑面积为每一层的底面面积). 现有一垂直于地面的宿舍, 该宿舍的层高为$3$米, 有$n$层, 其 ``形状因子''$f=18$, 总建筑面积为$T=100000$平方米. 已知该建筑体推导得出$S=\\sqrt{\\dfrac{f\\cdot n}{T}}+\\dfrac 1{3n}$($n$为层数), 试求当该宿舍的层数$n$为多少时, ``体形系数''$S$最小.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元", + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\dfrac{1}{H}+\\dfrac 2 R$; (2) $n=6$", "solution": "", @@ -314598,7 +315021,9 @@ "id": "012758", "content": "椭圆$\\Gamma: \\dfrac{x^2}{m^2}+\\dfrac{y^2}3=1$($m>0$, $m \\neq \\sqrt 3$).\\\\\n(1) 若$m=2$, 求椭圆$\\Gamma$的离心率;\\\\\n(2) 设$A_1$、$A_2$为椭圆$\\Gamma$的左右顶点, 椭圆$\\Gamma$上一点$E$的纵坐标为$1$, 且$\\overrightarrow{EA_1} \\cdot \\overrightarrow{EA_2}=-2$, 求$m$的值;\\\\\n(3) 过椭圆$\\Gamma$上一点$P$作斜率为$\\sqrt 3$的直线, 与双曲线$\\dfrac{y^2}{5 m^2}-\\dfrac{x^2}5=1$有一个公共点, 求$m$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $e=\\dfrac 12$; (2) $m=3$; (3) $(\\sqrt{3},3]$", "solution": "", @@ -314617,7 +315042,9 @@ "id": "012759", "content": "设函数$f(x)=a x^3-(a+1) x^2+x$, $g(x)=k x+m$, 其中$a \\geq 0$, $k$、$m \\in \\mathbf{R}$, 若对任意$x \\in[0,1]$均有$f(x) \\leq g(x)$, 则称函数$y=g(x)$是函数$y=f(x)$的 ``控制函数''. 对于$x_0\\in [0,1]$以及定义域包含$[0,1]$上的函数$y=f(x)$, 若对所有$y=f(x)$的控制函数$y=g(x)$, $g(x_0)$有最小值, 就将该最小值定义为$\\overline f(x_0)$.\\\\\n(1) 若$a=2$, $g(x)=x$, 试问$y=g(x)$是否为函数$y=f(x)$的 ``控制函数'';\\\\\n(2) 若$a=0$, 使得直线$y=h(x)$是曲线$y=f(x)$在$x=\\dfrac 14$处的切线. 证明: 函数$y=h(x)$为函数$y=f(x)$的 ``控制函数'', 并求$\\overline f(\\dfrac 14)$的值;\\\\\n(3) 若曲线$y=f(x)$在$x=x_0$, $x_0 \\in(0,1)$处的切线过点$(1,0)$, 且$c \\in[x_0,1]$. 证明: 当且仅当$c=x_0$或$c=1$时, $\\overline f(c)=f(c)$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 是; (2) $\\overline{f}(\\dfrac 14)=\\dfrac 3{16}$; (3) 证明略", "solution": "", @@ -314636,7 +315063,9 @@ "id": "012760", "content": "函数$y=\\tan (3 x-\\dfrac{\\pi}{4})$的定义域是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\{x|x\\in \\mathbf{R}, \\ x\\ne \\dfrac{k\\pi}3+\\dfrac\\pi 4, \\ k \\in \\mathbf{Z}\\}$", "solution": "", @@ -314655,7 +315084,9 @@ "id": "012761", "content": "已知复数$z=\\dfrac{-1+2 a \\mathrm{i}}{a-\\mathrm{i}}$($\\mathrm{i}$为虚数单位) 在复平面内对应的点位于第二象限, 则实数$a$的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$(\\dfrac{\\sqrt{2}}2,+\\infty)$", "solution": "", @@ -314674,7 +315105,9 @@ "id": "012762", "content": "若直线$x+2 y+3=0$与直线$2 x+m y+10=0$平行, 则这两条直线间的距离是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}$", "solution": "", @@ -314693,7 +315126,9 @@ "id": "012763", "content": "16-17 岁未成年人的体重的主要百分位数表(单位: $\\text{kg}$)\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline & P1 & P5 & P10 & P25 & P50 & P75 & P90 & P95 & P99 \\\\\n\\hline 男 &$40.1$&$45.1$&$47.9$&$51.5$&$56.7$&$63.7$&$72.4$&$80.4$&$95.5$\\\\\n\\hline 女 &$38.3$&$41.2$&$43.1$&$46.5$&$50.5$&$55.3$&$61.1$&$65.4$&$75.6$\\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\\\\\n表中数据来源: 《中国未成年人人体尺寸》(标准号: GB/T 26158-2010)\n\\end{center}\n小王同学今年 17 岁, 她的体重$50 \\mathrm{~kg}$, 她所在城市女性同龄人约有$4.2$万人. 根据表中数据估计小王同学所在的城市有\\blank{50}万女性同龄人的体重高于她的体重. (单位: 万人, 结果保留一位小数)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$2.1$", "solution": "", @@ -314712,7 +315147,9 @@ "id": "012764", "content": "已知函数$f(x)=\\mathrm{e}^x \\cos 2 x-\\mathrm{e}^2$, 则$f(x)$的导数$f'(x)=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$\\mathrm{e}^x\\cos 2x-2\\mathrm{e}^x\\sin 2x$", "solution": "", @@ -314731,7 +315168,9 @@ "id": "012765", "content": "现有$5$根细木棍, 长度分别为$1$、$3$、$5$、$7$、$9$(单位: $\\text{cm}$), 从中任取$3$根, 能搭成一个三角形的概率是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$0.3$", "solution": "", @@ -314750,7 +315189,9 @@ "id": "012766", "content": "有一种空心钢球, 质量为$140.2 \\text{g}$, 测得球的外直径等于$5.0 \\text{cm}$, 若球壁厚度均匀, 则它的内直径为\\blank{50}$\\text{cm}$. (钢的密度是$7.9 \\text{g} / \\text{cm}^3$, 结果保留一位小数)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$4.5$", "solution": "", @@ -314769,7 +315210,9 @@ "id": "012767", "content": "$\\overline {A}$、$\\overline {B}$分别是事件$A$、$B$的对立事件, 如果$A$、$B$两个事件独立, 那么以下四个概率等式\n一定成立的是\\blank{50}.(填写所有成立的等式序号)\n\\textcircled{1} $P(\\overline {A} \\cup B)=P(A)+P(B)$; \\textcircled {2} $P(\\overline {A} \\cap B)=P(\\overline {A}) P(B)$;\n\\textcircled{3} $P(\\overline {A} \\cap \\overline {B})=[1-P(A)][1-P(B)]$;\n\\textcircled{4} $P(\\overline {A} \\cup \\overline {B})=P(\\overline {A})+P(\\overline {B})$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "\\textcircled{2}\\textcircled{3}", "solution": "", @@ -314788,7 +315231,9 @@ "id": "012768", "content": "2022 年 11 月 27 日上午 7 点, 时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑, 途径黄浦、静安和徐汇三区. 数千名志愿者为$1.8$万名跑者提供了良好的志愿服务. 现将$5$名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组$4$个组, 每组至少分配$1$名志愿者, 则不同的分配方法共有\\blank{50}种.(结果用数值表示)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$240$", "solution": "", @@ -314807,7 +315252,9 @@ "id": "012769", "content": "已知全集为实数集$\\mathbf{R}$, 集合$M=\\{x | \\dfrac{1}{16} \\leq 2^{2 x} \\leq 256\\}, N=\\{x | \\log _5(x^2-4 x)>1\\}$, 则$\\overline {M} \\cap N=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$(-\\infty,2)\\cup (5,+\\infty)$", "solution": "", @@ -314826,7 +315273,9 @@ "id": "012770", "content": "在空间直角坐标系$O-x y z$中, 点$P(7,4,6)$关于坐标平面$x O y$的对称点$P'$在第\\blank{50}卦限; 若点$Q$的坐标为$(8,-1,5)$, 则向量$\\overrightarrow{P Q}$与向量$\\overrightarrow{P P'}$夹角的余弦值是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "五; $\\dfrac{\\sqrt{3}}9$", "solution": "", @@ -314845,7 +315294,9 @@ "id": "012771", "content": "已知函数$f(x)=a x^3-3 x^2+2$, 若函数$f(x)$只有一个零点$x_0$, 则实数$a$的取值范围为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "$(-\\infty,-\\sqrt{2})\\cup (\\sqrt{2},+\\infty)$", "solution": "", @@ -314864,7 +315315,9 @@ "id": "012772", "content": "已知数列$\\{a_n\\}$是等差数列, $a_1+a_{15}=48$, 则$a_3+3 a_8+a_{13}=$\\bracket{20}.\n\\fourch{$120$}{$96$}{$72$}{$48$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "A", "solution": "", @@ -314883,7 +315336,9 @@ "id": "012773", "content": "已知实数$x$、$y$满足$x^2+4 y^2-x y=3$, 则不等式\\bracket{20}成立.\n\\fourch{$x y \\geq 1$}{$x^2+4 y^2 \\leq 4$}{$x+2 y \\geq-\\sqrt{2}$}{$x+2 y \\leq \\sqrt{2}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "B", "solution": "", @@ -314902,7 +315357,9 @@ "id": "012774", "content": "在$(3 x+x^{-\\frac{2}{3}})^n$的二项展开式中, $\\mathrm{C}_n^r 3^{n-r} x^{n-\\frac{5 r}{3}}$称为二项展开式的第$r+1$项, 其中$r=1,2,3,\\cdots,n$. 下列关于$(3x+x^{-\\frac 23})^n$的命题中, 不正确的一项是\\bracket{20}.\n\\onech{若$n=8$, 则二项展开式中系数最大的项是$\\mathrm{C}_8^2 3^6 x^{\\frac{14}{8}}$}{已知$x>0$, 若$n=9$, 则二项展开式中第$2$项不大于第$3$项的实数$x$的取值范围是$0=latex,scale = 0.3]\n\\draw (0,0,0) node [above right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (5,0,0) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (5,0,7) node [right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (0,0,7) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (0,8,0) node [above] {$D_1$} coordinate (D_1);\n\\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D_1) -- cycle (B) -- (D_1);\n\\draw [dashed] (A) -- (D) -- (C) (D_1) -- (D);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{$142 \\pi$}{$140 \\pi$}{$138 \\pi$}{$128 \\pi$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "C", "solution": "", @@ -314940,7 +315399,9 @@ "id": "012776", "content": "已知数列$\\{a_n\\}$满足:$a_1=\\dfrac{1}{2}$, $a_2=1$, $a_{n+2}+4 a_n=5 a_{n+1}$, 对一切正整数$n$成立.\\\\\n(1) 证明: 数列$\\{a_{n+1}-a_n\\}$是等比数列;\\\\\n(2) 求数列$\\{a_n\\}$的前$n$项之和.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 证明略; (2) $\\dfrac{4^n+6n-1}{18}$", "solution": "", @@ -314959,7 +315420,9 @@ "id": "012777", "content": "平面向量$\\overrightarrow {m}=(3 \\sin x, \\cos ^2 x)$, $\\overrightarrow {n}=(\\cos x,-\\sqrt{3})$, 函数$y=f(x)=\\overrightarrow {m} \\cdot \\overrightarrow {n}+\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$.\\\\\n(1) 求函数$y=f(x)$的最小正周期;\\\\\n(2) 若$x \\in[0, \\dfrac{\\pi}{2}]$, 求$y=f(x)$的值域;\\\\\n(3) 在$\\triangle A B C$中, 内角$A$、$B$、$C$的对边分别为$a$、$b$、$c$, 已知$f(B)=\\sqrt{3}$, $a=2$, $b=\\sqrt{7}$, 求$\\triangle A B C$的面积.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\pi$; (2) $[-\\dfrac{\\sqrt{3}}2,\\sqrt{3}]$; (3) $\\dfrac{3\\sqrt{3}}2$", "solution": "", @@ -314978,7 +315441,9 @@ "id": "012778", "content": "如图所示, 在矩形$ABCD$中, $AB=4$, $AD=2$, $E$是$CD$的中点, $O$为$AE$的中点, 以$AE$为折痕将$\\triangle ADE$向上折起, 使点$D$到点$P$, 且$PC=PB$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) node [left] {$A$} coordinate (A) -- (4,0) node [right] {$B$} coordinate (B) -- (4,2) node [right] {$C$} coordinate (C) -- (0,2) node [left] {$D$} coordinate (D) -- cycle;\n\\draw ($(C)!0.5!(D)$) node [above] {$E$} coordinate (E) -- (A);\n\\draw ($(A)!0.5!(E)$) node [below] {$O$} coordinate (O) -- (D);\n\\end{tikzpicture}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,0) node [below] {$A$} coordinate (A) -- (4,0,0) node [right] {$B$} coordinate (B) -- (4,0,-2) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (2,0,-2) node [below] {$E$} coordinate (E);\n\\draw ($(A)!0.5!(E)$) node [below] {$O$} coordinate (O);\n\\draw (O) ++ (0,{sqrt(2)},0) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw (P) -- (A) (P) -- (B) (P) -- (C);\n\\draw [dashed] (P) -- (O) (A) --(E) -- (C) (P) -- (E);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证:$PO \\perp$平面$ABCE$;\\\\\n(2) 求直线$AC$与平面$PAB$所成角$\\theta$的正弦值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) 证明略; (2) $\\dfrac{\\sqrt{30}}{15}$", "solution": "", @@ -314997,7 +315462,9 @@ "id": "012779", "content": "已知椭圆$\\Gamma: \\dfrac{x^2}{a^2}+\\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的离心率为$\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}$, 它的上顶点为$A$, 左、右焦点分别为$F_1(-c, 0)$、$F_2(c, 0)$(常数$c>0$), 直线$A F_1$、$A F_2$分别交椭圆$\\Gamma$于点$B$、$C$, $O$为坐标原点.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$} coordinate (O);\n\\path [draw, name path = elli] (0,0) ellipse ({sqrt(3)} and {sqrt(2)});\n\\draw (-1,0) node [above] {$F_1$} coordinate (F_1) (1,0) node [above] {$F_2$} coordinate (F_2);\n\\draw (0,{sqrt(2)}) node [above right] {$A$} coordinate (A);\n\\path [name path = AF1] (F_1) -- ($(A)!1.6!(F_1)$);\n\\path [name path = AF2] (F_2) -- ($(A)!1.6!(F_2)$);\n\\path [name intersections = {of = AF1 and elli, by = B}];\n\\path [name intersections = {of = AF2 and elli, by = C}];\n\\draw (B) node [below left] {$B$} -- (A) -- (C) node [below right] {$C$} -- cycle;\n\\draw (B) -- ($(B)!2.5!(O)$) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\path [name path = line] (2,{-2*sqrt(2)/3}) -- (0,{4*sqrt(2)/3});\n\\path [name path = MN] (P) -- (0.5,{-sqrt(2)});\n\\path [name intersections = {of = line and MN, by = Q}];\n\\path [name intersections = {of = MN and elli, by = {N,M}}];\n\\draw (P) -- (M) node [below] {$M$} (N) node [right] {$N$};\n\\filldraw (Q) circle (0.03) node [right] {$Q$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求证: 直线$BO$平分线段$AC$;\\\\\n(2) 如图, 设椭圆$\\Gamma$外一点$P$在直线$BO$上, 点$P$的横坐标为常数$m$($m>a$), 过$P$的动直线$l$与椭圆$\\Gamma$交于两个不同点$M$、$N$, 在线段$MN$上取点$Q$, 满足$\\dfrac{MP}{PN}=\\dfrac{MQ}{QN}$, 试证明点$Q$恒在直线$2 m x+\\sqrt{2} m y-6 c^2=0$上.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第七单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\dfrac{x^2}{3c^2}+\\dfrac{y^2}{2c^2}=1$; (2) 证明略; (3) 证明略", "solution": "", @@ -315016,7 +315483,9 @@ "id": "012780", "content": "已知函数$f(x)=-2 a \\ln x-\\dfrac{2}{x}, g(x)=a x-(2 a+1) \\ln x-\\dfrac{2}{x}$, 其中$a \\in \\mathbf{R}$.\\\\\n(1) 若$x=2$是函数$f(x)$的驻点, 求实数$a$的值;\\\\\n(2) 当$a>0$时, 求函数$g(x)$的单调区间;\\\\\n(3) 若存在$x \\in[\\dfrac{1}{\\mathrm{e}^2}, \\mathrm{e}^2]$($\\mathrm{e}$为自然对数的底), 使得不等式$f(x) \\leq g(x)$成立, 求实数$a$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $\\dfrac 12$; (2) 当$a=\\dfrac 12$时, 函数$y=g(x)$在$(0,+\\infty)$上是严格增函数; 当$a>\\dfrac 12$时, 函数$y=g(x)$在$(0,\\dfrac 1a]$和$[2,+\\infty)$上是严格增函数, 在$[\\dfrac 1a,2]$上是严格减函数; 当$02$且$b>2$''的\\bracket{20}.\n\\twoch{充分不必要条件}{必要不充分条件}{充分必要条件}{既非充分又非必要条件}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -315054,7 +315525,9 @@ "id": "012782", "content": "设常数$a \\in \\mathbf{R}$. 若$\\{x | 10\\}$, $B=\\{x|| 1-x | \\geq 1-x\\}$, 则$A \\otimes B=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315149,7 +315633,9 @@ "id": "012787", "content": "设集合$A=\\{0, x, y\\}, B=\\{2, x^2\\}$. 若$B \\subseteq A$, 求$x,y$的值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -315168,7 +315654,10 @@ "id": "012788", "content": "已知数列$\\{a_n\\}$和$\\{b_n\\}$的通项公式分别是$a_n=3 n$, $b_n=2 n+1$($n \\in \\mathbf{N}$, $n\\ge 1$). 将集合$\\{x | x=a_n,\\ n \\in \\mathbf{N}, \\ n\\ge 1\\} \\cup\\{x | x=b_n,\\ n \\in \\mathbf{N}, \\ n\\ge 1\\}$中的元素从小到大依次排列, 构成数列$c_1, c_2, \\cdots, c_n, \\cdots$.\\\\\n(1) 写出$c_1, c_2, c_3, c_4$;\\\\\n(2) 求证:在数列$\\{c_n\\}$中, 但不在数列$\\{b_n\\}$中的项恰为$a_2, a_4, \\cdots, a_{2 n}, \\cdots$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元", + "第一单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -315187,7 +315676,9 @@ "id": "012789", "content": "已知集合$A=\\{(x, y) | y=x^2,\\ x \\in \\mathbf{R}\\}$, $B=\\{(x, y) | y-1=2^{2018} \\cdot(x-1),\\ x \\in \\mathbf{R}\\}$. 则$A \\cap B$的元素个数为\\bracket{20}.\n\\fourch{$0$}{$1$}{$2$}{无限}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -315206,7 +315697,9 @@ "id": "012790", "content": "设$U$是全集, 集合$A$, $B$满足$A\\subset B$, 给出下列四个命题: \\textcircled{1} $A \\cap \\overline B=\\varnothing$; \\textcircled{2} $B \\cap \\overline A=\\overline A$; \\textcircled{3} $B \\cup \\overline A=U$; \\textcircled{4} $\\overline A \\cap \\overline B=\\overline B$. 四个命题中, 正确命题的序号是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315225,7 +315718,9 @@ "id": "012791", "content": "设$U$是全集, $A, B$是两个集合, 则``存在集合$C$使得$A \\subseteq C, B \\subseteq \\overline C$''是``$A \\cap B=\\varnothing$''的 \\bracket{20}\n\\twoch{充分不必要条件}{必要不充分条件}{充分必要条件}{既非充分又非必要条件}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -315244,7 +315739,10 @@ "id": "012792", "content": "已知集合$A=\\{y | y=x^2,\\ x \\in \\mathbf{R}\\}$, $B=\\{y | y=2^x,\\ x \\in \\mathbf{R}\\}$. 则$A \\cap B=$\\bracket{20}.\n\\onech{$\\{y | y>0\\}$}{$\\{y | y \\geq 0\\}$}{$\\{y | y=2,4, u\\}$, 其中常数$u<0$且$u^2=2^u$}{$\\{(2,4),(4,16),(u, u^2)\\}$, 其中常数$u<0$且$u^2=2^u$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -315263,7 +315761,9 @@ "id": "012793", "content": "已知集合$A=\\{x, 1\\}$, $B=\\{y, 1,2\\}$, 其中$x, y \\in\\{1,2,3,4,5\\}$, 且$A \\subseteq B$. 如果把满足上述条件的一对有序整数$(x, y)$作为一个点, 则这样的点的个数为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315282,7 +315782,9 @@ "id": "012794", "content": "设常数$a \\in \\mathbf{R}$, 集合$A=\\{x|| x-1 |<2,\\ x \\in \\mathbf{Z}\\}, B=\\{x | x \\geq a\\}$. 若$A \\cap B=\\{1,2\\}$, 则$a$的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315301,7 +315803,9 @@ "id": "012795", "content": "已知集合$S=\\{1,2,3,4,5\\}$, $A$是$S$的一个子集. 当$x \\in A$时, 若有$x-1 \\not\\in A$, 且$x+1 \\not\\in A$, 则称$x$为$A$的一个``孤立元素'', 那么$S$中无``孤立元素''且恰有$4$个元素的子集为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315320,7 +315824,10 @@ "id": "012796", "content": "已知集合$M$是满足下列性质的函数$f(x)$的全体: 在在非零常数$T$, 对任意$x \\in \\mathbf{R}$, 有$f(x+T)=T f(x)$成立.\\\\\n(1) 求证: 函数$f(x)=x$不属于集合$M$;\\\\\n(2) 写出命题``存在非零常数$T$, 对任意$x \\in \\mathbf{R}$, 有$f(x+T)=T f(x)$成立''的否定形式.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元", + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -315339,7 +315846,10 @@ "id": "012797", "content": "已知集合$M$是满足下列性质的函数$f(x)$的全体: 在在非零常数$T$, 对任意$x \\in \\mathbf{R}$, 有$f(x+T)=T f(x)$成立.\\\\\n(1) 求证: 函数$f(x)=x$不属于集合$M$;\\\\\n(2) 求证: 函数$f(x)=(\\dfrac{1}{2})^x$属于集合$M$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元", + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -315358,7 +315868,9 @@ "id": "012798", "content": "设常数$a \\in \\mathbf{R}$, 集合$A=\\{x | \\dfrac{6}{x+1} \\geq 1,\\ x \\in \\mathbf{R}\\}$, $B=\\{x | x^2-3 a x+2 a^2<0\\}$. 若$A \\cap B=B$, 求$a$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -315377,7 +315889,9 @@ "id": "012799", "content": "设常数$m \\in \\mathbf{R}$, 集合$A=\\{x | \\dfrac{6}{x+1} \\geq 1,\\ x \\in \\mathbf{R}\\}$, $B=\\{x | x^2-2 x+2 m<0\\}$. 若$A \\cup B=A$, 求$m$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -315396,7 +315910,9 @@ "id": "012800", "content": "不等式$|x-1| \\geq 2$的解集为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315415,7 +315931,9 @@ "id": "012801", "content": "不等式$\\dfrac{5-x}{2 x-4} \\leq 1$的解集为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315434,7 +315952,9 @@ "id": "012802", "content": "不等式$|x-1|f(x)$时$x$的取值范围为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315491,7 +316015,9 @@ "id": "012805", "content": "设$a, b$为非零实数, 且$ab\\end{cases}$的一个解, 则$a, b$满足的条件为\\bracket{20}.\n\\fourch{$a<1b c$}{$a d$与$b c$的大小不确定}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -315719,7 +316267,9 @@ "id": "012817", "content": "设常数$a, b \\in \\mathbf{R}$. 若$x=1$是不等式组$\\begin{cases}xb\\end{cases}$的唯一整数解, 则$a, b$满足的条件为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315738,7 +316288,9 @@ "id": "012818", "content": "设$a, b \\in \\mathbf{Z}$, 且$a+b=2023$, 则$2^a+2^b$的最小值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315757,7 +316309,9 @@ "id": "012819", "content": "设常数$k \\in \\mathbf{R}$. 已知关于$x$的不等式$(1+k^2) x \\leq k^6+2$的解集是$M$. 有下面四个命题: \\textcircled{1} 对任意实数$k$, 总有$0 \\in M$; \\textcircled{2} 存在实数$k$, 使得$1 \\notin M$; \\textcircled{3} 存在实数$k$, 使得$2 \\in M$; \\textcircled{4} 对任意实数$k$, 总有$3 \\notin M$. 上述四个命题中, 正确的命题的序号为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315776,7 +316330,9 @@ "id": "012820", "content": "设$a_1, b_1, a_2, b_2$均为非零实数, 不等式$a_1 x+b_1>0$和$a_2 x+b_2>0$的解集分别为集合$M$和$N$, 那么``$\\dfrac{a_1}{a_2}=\\dfrac{b_1}{b_2}$''是``$M=N$''的\\bracket{20}.\n\\twoch{充分非必要条件}{必要非充分条件}{充要条件}{既非充分又非必要条件}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -315795,7 +316351,9 @@ "id": "012821", "content": "设常数$a \\in \\mathbf{R}$, 集合$A=\\{x|| 2-x |<5, x \\in \\mathbf{R}\\}$, $B=\\{x|| x+a | \\geq 4, \\ x \\in \\mathbf{R}\\}$. 若$A \\cup B=\\mathbf{R}$, 求$a$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -315812,9 +316370,11 @@ }, "012822": { "id": "012822", - "content": "已知数列$\\{a_n\\}$,$ a_n=2 n-10$, $S_n$是数列$\\{a_n\\}$的前$n$项和. 设$c_n=a_n S_n$, 在数列$\\{c_n\\}$中,\\\\\n(1) 是否存在小于零的项? 若存在, 求出这些项的序数; 若不存在, 说明理由;\\\\\n(2) 求小于$10^4$的$\\{c_n\\}$的项的个数.", + "content": "已知数列$\\{a_n\\}$, $ a_n=2 n-10$, $S_n$是数列$\\{a_n\\}$的前$n$项和. 设$c_n=a_n S_n$, 在数列$\\{c_n\\}$中,\\\\\n(1) 是否存在小于零的项? 若存在, 求出这些项的序数; 若不存在, 说明理由;\\\\\n(2) 求小于$10^4$的$\\{c_n\\}$的项的个数.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -315833,7 +316393,9 @@ "id": "012823", "content": "不等式$\\log _{\\frac{1}{2}}(3-x) \\geq 1$的解集是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315852,7 +316414,9 @@ "id": "012824", "content": "函数$d(x)=\\begin{cases}0, & x \\in \\mathbf{Q}, \\\\ 1, & x \\notin \\mathrm{Q},\\end{cases}$ 则$d(d(x))=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315871,7 +316435,9 @@ "id": "012825", "content": "设常数$a \\in \\mathbf{R}$. 若关于$x$的方程$\\dfrac{x-1}{3 x-2}=a$有实数解, 则$a$的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315890,7 +316456,9 @@ "id": "012826", "content": "已知函数$f(x)=\\begin{cases}x^2+4 x, & x \\geq 0,\\\\ 4 x-x^2, & x<0.\\end{cases}$ 若$f(2-a^2)>f(a)$, 则实数$a$的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315909,7 +316477,9 @@ "id": "012827", "content": "设常数$a \\in \\mathbf{R}$. 若$y=\\log _{\\frac{1}{2}}(x^2-a x+2)$在$[-1,+\\infty)$上是减函数, 则$a$的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315928,7 +316498,9 @@ "id": "012828", "content": "已知函数$f(x)=\\sqrt{m x^2+(m-3) x+1}$的值域是$[0,+\\infty)$, 则实数$m$的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315947,7 +316519,9 @@ "id": "012829", "content": "定义域和值域均为$[-a, a]$(常数$a>0$) 的函数$y=f(x)$和$y=g(x)$的图像如图所示, 给出下列四个命题: \\textcircled{1} 方程$f(g(x))=0$有且仅有三个解; \\textcircled{2} 方程$g(f(x))=0$有且仅有三个解; \\textcircled{3} 方程$f(f(x))=0$有且仅有九个解; \\textcircled{4} 方程$g(g(x))=0$有且仅有一个解. 那么, 其中正确命题的序号是\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.6]\n\\draw [->] (-2.5,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [dashed] (-2,-2) rectangle (2,2);\n\\draw (-2,-2) .. controls +(75:1) and +(180:0.6) .. (-1,0.6) .. controls +(0:0.6) and +(225:1.5) .. (1,0) .. controls +(45:0.5) and +(255:1) .. (2,2);\n\\filldraw (1,0) circle (0.03);\n\\draw (1,0) node [below] {\\tiny $\\dfrac a2$};\n\\draw (-1,1) node [above] {\\small $y=f(x)$};\n\\draw (-2,0) node [below left] {$-a$};\n\\draw (2,0) node [below right] {$a$};\n\\draw (0,2) node [above right] {$a$};\n\\draw (0,-2) node [below right] {$-a$};\n\\end{tikzpicture}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.6]\n\\draw [->] (-2.5,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [dashed] (-2,-2) rectangle (2,2);\n\\draw (-2,2) .. controls +(-45:1) and +(165:0.6) .. (0,0.5) .. controls +(-15:0.6) and +(135:0.5) .. (1,0) .. controls +(-45:0.5) and +(105:1) .. (2,-2);\n\\filldraw (1,0) circle (0.03);\n\\draw (1,0) node [below] {\\tiny $\\dfrac a2$};\n\\draw (1,1) node [above] {\\small $y=g(x)$};\n\\draw (-2,0) node [below left] {$-a$};\n\\draw (2,0) node [below right] {$a$};\n\\draw (0,2) node [above right] {$a$};\n\\draw (0,-2) node [below right] {$-a$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315966,7 +316540,9 @@ "id": "012830", "content": "设函数$f(x)=\\dfrac{a^x}{1+a^x}$($a>0$, $a \\neq 1$), $[m]$表示不超过实数$m$的最大整数, 则函数$g(x)=[f(x)-\\dfrac{1}{2}]+[f(-x)-\\dfrac{1}{2}]$的值域为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -315985,7 +316561,9 @@ "id": "012831", "content": "记$\\min \\{p, q\\}=\\begin{cases}p, & p \\leq q, \\\\ q, & p>q,\\end{cases}$ 若函数$f(x)=\\min \\{3+\\log _{\\frac{1}{4}} x, \\log _2 x\\}$.\\\\\n(1) 用分段函数形式写出函数$f(x)$的解析式;\\\\\n(2) 求$f(x)<2$的解集.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -316004,7 +316582,9 @@ "id": "012832", "content": "设函数$f(x)=a x$, $g(x)=|x-a|$, 常数$a>0$.\\\\\n(1) 当$a=2$时, 解关于$x$的不等式$f(x)>g(x)$;\\\\\n(2) 记$F(x)=f(x)-g(x)$, 若$F(x)$在$(0,+\\infty)$上有最大值, 求$a$的取值范围.", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -322426,7 +323686,9 @@ "id": "013170", "content": "设$A$是平面向量的集合, $\\overrightarrow {a}$是定向量, 对$\\overrightarrow {x} \\in A$, 定义$f(\\overrightarrow {x})=\\overrightarrow {x}-2(\\overrightarrow {a} \\cdot \\overrightarrow {x}) \\cdot \\overrightarrow {a}$. 现给出如下四个向量: \\textcircled{1} $\\overrightarrow {a}=(0,0)$; \\textcircled{2} $\\overrightarrow {a}=(\\dfrac{\\sqrt{2}}{4}, \\dfrac{\\sqrt{2}}{4})$; \\textcircled{3} $\\overrightarrow {a}=(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}, \\dfrac{\\sqrt{2}}{2})$; \\textcircled{4} $\\overrightarrow {a}=(-\\dfrac{1}{2}, \\dfrac{\\sqrt{3}}{2})$. 那么对于任意$\\overrightarrow {x}$、$\\overrightarrow {y} \\in A$, 使$f(\\overrightarrow {x}) \\cdot f(\\overrightarrow {y})=\\overrightarrow {x} \\cdot \\overrightarrow {y}$恒成立的向量$\\overrightarrow {a}$的序号是\\blank{50}.(写出满足条件的所有向量$\\overrightarrow {a}$的序号)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -322443,9 +323705,11 @@ }, "013171": { "id": "013171", - "content": "设$\\overrightarrow {a}=(\\cos \\theta, \\sin \\theta)$, $\\overrightarrow {b}=(2,1)$, 求$2|\\overrightarrow {a}+\\overrightarrow {b}|$的取值范围.", + "content": "设$\\overrightarrow {a}=(\\cos \\theta, \\sin \\theta)$, $\\overrightarrow {b}=(2,1)$, 求$|2\\overrightarrow {a}+\\overrightarrow {b}|$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -322464,7 +323728,9 @@ "id": "013172", "content": "已知平面上三个向量$\\overrightarrow {a}$、$\\overrightarrow {b}$、$\\overrightarrow {c}$的模均为$1$, 它们互相之间的夹角均为$120^{\\circ}$.\\\\\n(1) 求证: $(\\overrightarrow {a}-\\overrightarrow {b}) \\perp \\overrightarrow {c}$;\\\\\n(2) 若$|k \\overrightarrow {a}+\\overrightarrow {b}+\\overrightarrow {c}|>1$($k \\in \\mathbf{R}$), 求$k$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -322483,7 +323749,9 @@ "id": "013173", "content": "一个圆锥底面直径为$2$, 高为$4$, 则其母线与底面所成角的大小是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -322502,7 +323770,9 @@ "id": "013174", "content": "我国古代数学名著《九章算术》中``开立圆术''曰: 置积尺数, 以十六乘之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径. ``开立圆术''相当于给出了已知球的体积$V$, 求其直径$d$的一个近似公式$d \\approx \\sqrt[3]{\\dfrac{16}{9} V}$. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据$\\pi=3.14159 \\cdots$判断, 下列近似公式中最精确的一个是\\bracket{20}.\n\\fourch{$d \\approx \\sqrt[3]{\\dfrac{16}{9} V}$}{$d \\approx \\sqrt[3]{2 V}$}{$d \\approx \\sqrt[3]{\\dfrac{300}{157} V}$}{$d \\approx \\sqrt[3]{\\dfrac{21}{11} V}$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -322521,7 +323791,9 @@ "id": "013175", "content": "已知某圆锥体的底面半径$r=3$, 沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为$\\dfrac{2}{3} \\pi$的扇形, 则该圆锥体的表面积是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -322540,7 +323812,9 @@ "id": "013176", "content": "正三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$的所有棱的长度都为$4$, 则异面直线$AB_1$与$BC_1$所成的角是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -322559,7 +323833,9 @@ "id": "013177", "content": "如图, 在四棱锥$P-ABCD$中, 已知$PA \\perp$底面$ABCD, PA=1$, 底面$ABCD$是正方形, $PC$与底面$ABCD$所成角的大小为$\\dfrac{\\pi}{6}$, 则该四棱锥的体积是\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0,0) node [left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (2,0,0) node [right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (0,0,2) node [left] {$B$} coordinate (B);\n\\draw ($(B)+(D)-(A)$) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,{2*sqrt(2)/sqrt(3)}) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw (P)--(B)--(C)--(D)--cycle (P)--(C);\n\\draw [dashed] (A)--(P) (A)--(C) (A)--(B) (A)--(D);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -322673,7 +323959,9 @@ "id": "013183", "content": "如图, 圆锥顶点为$P$, 底面圆心为$O$, 其母线与底面所成的角为$22.5^{\\circ}$. $AB$和$CD$是底面圆$O$上的两条平行的弦, 轴$OP$与平面$PCD$所成的角为$60^{\\circ}$.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) node [above] {$O$} coordinate (O) ellipse (2 and 0.5);\n\\draw (0,-2) node [below] {$P$} coordinate (P);\n\\draw (P)--({sqrt(15)/2},-1/8) (P)--({-sqrt(15)/2},-1/8);\n\\draw ({2*cos(-50)},{sin(-50)/2}) node [above right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw ({2*cos(50)},{sin(50)/2}) node [above right] {$D$} coordinate (D);\n\\draw ({2*cos(-140)},{sin(-140)/2}) node [above right] {$A$} coordinate (A);\n\\draw ({2*cos(140)},{sin(140)/2}) node [above right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (O)--(C)--(D)--cycle (P)--(C) (P)--(A)--(B);\n\\draw [dashed] (P)--(O) (P)--(D) (P)--(B);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 证明: 平面$PAB$与平面$PCD$的交线平行于底面;\\\\ \n(2) 求$\\cos \\angle COD$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -322692,7 +323980,9 @@ "id": "013184", "content": "在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中, 异面直线$A_1B$与$B_1C$所成角的大小为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -322711,7 +324001,9 @@ "id": "013185", "content": "圆锥和圆柱的底面半径和高都是$R$, 则圆锥的表面积与圆柱的表面积之比为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -322730,7 +324022,9 @@ "id": "013186", "content": "对于平面$\\alpha$、$\\beta$、$\\gamma$和直线$a$、$b$、$m$、$n$, 下列命题中真命题是\\bracket{20}.\n\\onech{若$a \\perp m$, $a \\perp n$, $m\\parallel \\alpha$, $n\\parallel \\alpha$, 则$a \\perp \\alpha$}{若$a\\parallel b$, $b \\perp \\alpha$, 则$a\\parallel \\alpha$}{若$a \\perp \\beta$, $b \\perp \\beta$, $a\\parallel \\alpha$, $b\\parallel \\alpha$, 则$\\alpha\\parallel \\beta$}{若$\\alpha\\parallel \\beta$, $\\alpha \\bigcap \\gamma=a$, $\\beta \\cap \\gamma=b$, 则$a\\parallel b$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -322749,7 +324043,9 @@ "id": "013187", "content": "下列四个命题中不正确的命题的序号是\\blank{50}.\\\\\n\\textcircled{1} 三个点确定一个平面; \\textcircled{2} 圆锥的侧面展开图可以是一个圆面; \\textcircled{3} 底面是等边三角形, 三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; \\textcircled{4} 过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个.", "objs": [], - 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(只需填一个)", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323205,7 +324548,9 @@ "id": "013211", "content": "复数$z$满足$|z-1|^2=(z-1)^2$, 则复数$z$对应点的轨迹是\\bracket{20}.\n\\fourch{一条直线}{一条双曲线}{一条抛物线}{一个圆}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -323224,7 +324569,9 @@ "id": "013212", "content": "复数$z$满足$|z-2|+|z+\\mathrm{i}|=\\sqrt{5}$, 那么$|z|$的取值范围是\\bracket{20}.\n\\fourch{$[1, \\sqrt{5}]$}{$[1,2]$}{$[\\dfrac{2 \\sqrt{5}}{5}, 2]$}{$[\\dfrac{2 \\sqrt{5}}{5}, \\sqrt{5}]$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -323243,7 +324590,9 @@ "id": "013213", "content": "已知$z=\\dfrac{2}{1-\\sqrt{3} \\mathrm{i}}$, 则$1+z+z^2+\\cdots+z^{2018}$的值是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323262,7 +324611,9 @@ "id": "013214", "content": "方程$x^2-2 x+p=0$的两根在复平面上对应的点之间的距离为$\\sqrt{3}$, 则实数$p$的值是\\blank{50}.", "objs": [], - 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"content": "复数$z=a+b \\mathrm{i}$($a$、$b \\in \\mathbf{R})$, 将一颗骰子连续抛郑两次, 第一次点数记为$a$, 第二次点数记为$b$, 则使复数\n$z^2$为纯虚数的概率为\\blank{50}.", + "content": "复数$z=a+b \\mathrm{i}$($a$、$b \\in \\mathbf{R})$, 将一颗骰子连续抛掷两次, 第一次点数记为$a$, 第二次点数记为$b$, 则使复数\n$z^2$为纯虚数的概率为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第五单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323338,7 +324695,9 @@ "id": "013218", "content": "某学校组织学生参加英语测试, 成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组一次为$[20,40),[40,60)$, $[60,80),[80,100)$若低于$60$分的人数是$15$人, 则该班的学生人数是\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (0,0) -- (6,0) node [below] {成绩/分};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,3) node [left] {$\\dfrac{\\text{频率}}{\\text{组距}}$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {1/1/20,2/2/40,3/4/60,4/3/80}\n{\\draw (\\i,0) node [below] {$\\k$} --++ (0,\\j/2) --++ (1,0) --++ (0,-\\j/2);};\n\\draw (5,0) node [below] {$100$};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {1/1/0.005,2/2/0.01,3/4/0.015,4/3/0.02}\n{\\draw [dashed] (\\j,{\\i/2}) -- (0,{\\i/2}) node [left] {$\\k$};};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323414,7 +324779,9 @@ "id": "013222", "content": "若从$1,2, \\cdots \\cdots, 9$这$9$个整数中同时取$4$个不同的数, 其和为偶数, 则不同的取法共有\\blank{50}种.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323433,7 +324800,9 @@ "id": "013223", "content": "若将函数$f(x)=x^5$表示为$f(x)=a_0+a_1(1+x)+a_2(1+x)^2+\\cdots+a_5(1+x)^5$其中$a_0, a_1, a_2, \\cdots, a_5$为实数, 则$a_3=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323452,7 +324821,9 @@ "id": "013224", "content": "设$a \\in \\mathbf{Z}$, 且$0 \\leq a<13$, 若$51^{2012}+a$能被$13$整除, 则$a=$\\blank{50}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323471,7 +324842,10 @@ "id": "013225", "content": "为了了解《中华人民共和国知识产权法》在学生中的普及情况, 某咨询调查机构对某校的$6$名学生进行问卷调查, $6$人得分分别为$5,6,7,8,9,10$. 把这$6$名学生看成一个总体.\\\\\n(1) 求该总体的均值和标准差(精确到$0.01$);\\\\\n(2) 用简单随机抽样的方法从这个总体中抽取一个容量为$2$的样本.\\\\\n\\textcircled{1} 在所有样本中, 写出所有样本标准差最大的样本和所有样本标准差最小的样本;\\\\ \n\\textcircled{2} 求在所有容量为$2$的样本中, 样本均值与总体均值之差的绝对值不超过$\\dfrac{1}{2}$的概率.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元", + "第九单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -323490,7 +324864,9 @@ "id": "013226", "content": "已知: $(x^{\\frac{2}{3}}+3 x^2)^n$的展开式中, 各项系数和比它的二项式系数和大$992$.\\\\\n(1) 求展开式中二项式系数最大的项;\\\\\n(2) 求展开式中系数最大的项.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -323509,7 +324885,9 @@ "id": "013227", "content": "某单位组织$4$个部门的职工旅游, 规定每个部门只能在韶山、衡山、华山$3$个景区中任选一个, 假设各部门选择每个景区是独立且等可能的.\\\\\n(1) 求$3$个景区都有部门选择的概率;\\\\\n(2) 求恰有$2$个景区有部门选择的概率.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -323528,7 +324906,9 @@ "id": "013228", "content": "将$a, b, c, d, e, f$字母排成三行两列, 则不同的排列方法共有\\blank{50}种.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323547,7 +324927,9 @@ "id": "013229", "content": "$(x-\\dfrac{1}{x})^8$的展开式中常数项为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323566,7 +324948,9 @@ "id": "013230", "content": "在$(1+x)^n$($n \\in \\mathbf{N}$, $n\\ge 1$)的二项展开式中, 若只有$x^3$的系数最大, 则$n=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323585,7 +324969,9 @@ "id": "013231", "content": "在$(\\sqrt{x}+\\dfrac{3}{\\sqrt[3]{x}})^n$展开式中, 各项系数的和与其各项二项式系数的和之比值为$64$, 则$n$等于\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323604,7 +324990,9 @@ "id": "013232", "content": "$6$位同学互通电话, 任意两位同学之间最多通电话一次, 已知$6$位同学之间共通了$13$次电话, 则通了$4$次电话的同学人数为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323623,7 +325011,9 @@ "id": "013233", "content": "若$\\mathrm{C}_n^1 x+\\mathrm{C}_n^2 x^2+\\cdots+\\mathrm{C}_n^n x^n$能被 7 整除, 则$x, n$的值可能为\\bracket{20}.\n\\fourch{$x=4$, $n=3$}{$x=4$, $n=4$}{$x=5$, $n=4$}{$x=6$, $n=5$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -323642,7 +325032,9 @@ "id": "013234", "content": "某同学到银行取款时忘记了帐户密码, 但他记得: \\textcircled{1} 密码是四位数字, 如:$0235,1330,2351$等; \\textcircled{2} 四位数字中有$6,8,9$; \\textcircled{3} 四位数字各不相同. 于是他就用$6,8,9$这三个数字再随意加上一个与这三个数字不同的数字, 排成四位数输入取款机尝试, 那么他只试一次就成功的概率是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323661,7 +325053,9 @@ "id": "013235", "content": "甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶$5$次, 两人成绩的条形统计图如图所示, 则下列命题正确的有\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.4]\n\\draw [->] (0,0) -- (0.1,0) -- (0.3,0.5) -- (0.7,-0.5) -- (0.9,0) -- (9,0) node [below right] {环数};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,4) node [left] {频数};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\foreach \\i in {3,4,...,10}\n{\\draw ({\\i-2},0.3) -- ({\\i-2},0) node [below] {$\\i$};};\n\\foreach \\i in {1,2,3}\n{\\draw (0.3,\\i) -- (0,\\i) node [left] {$\\i$};};\n\\foreach \\i/\\j in {4/1,5/1,6/1,7/1,8/1}\n{\\filldraw [pattern = north east lines] ({\\i-2.3},0) --++ (0,\\j) --++ (0.6,0) --++ (0,-\\j);};\n\\draw (5,-2) node {(甲)};\n\\end{tikzpicture}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.4]\n\\draw [->] (0,0) -- (0.1,0) -- (0.3,0.5) -- (0.7,-0.5) -- (0.9,0) -- (9,0) node [below right] {环数};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,4) node [left] {频数};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\foreach \\i in {3,4,...,10}\n{\\draw ({\\i-2},0.3) -- ({\\i-2},0) node [below] {$\\i$};};\n\\foreach \\i in {1,2,3}\n{\\draw (0.3,\\i) -- (0,\\i) node [left] {$\\i$};};\n\\foreach \\i/\\j in {5/3,6/1,9/1}\n{\\filldraw [pattern = north east lines] ({\\i-2.3},0) --++ (0,\\j) --++ (0.6,0) --++ (0,-\\j);};\n\\draw (5,-2) node {(乙)};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\textcircled{1} 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数; \\textcircled{2} 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数; \\textcircled{3} 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323680,7 +325074,9 @@ "id": "013236", "content": "将序号分别为$1,2,3,4,5$的$5$张参观券全部分给$4$人, 每人至少$1$张, 如果分给同一人的$2$张参观券连号, 那么不同的分法种数是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323699,7 +325095,9 @@ "id": "013237", "content": "为了考察某校各班参加课外书法小组的人数, 在全校随机抽取$5$个班级, 把每个班级参加该小组的人数作为样本数据. 已知样本平均数为$7$, 样本方差为$4$, 则样本数据中的最大值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323718,7 +325116,9 @@ "id": "013238", "content": "已知数列$\\{a_n\\}$($n$为正整数)是首项是$a_1$, 公比为$q$的等比数列.\\\\\n(1) 求和: $a_1\\mathrm{C}_2^0-a_2\\mathrm{C}_2^1+a_3\\mathrm{C}_2^2$, $a_1\\mathrm{C}_3^0-a_2\\mathrm{C}_3^1+a_3\\mathrm{C}_3^2-a_4\\mathrm{C}_3^3$;\\\\\n(2) 由(1)的结果归纳概括出关于正整数$n$的一个结论, 并加以证明.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -323737,7 +325137,11 @@ "id": "013239", "content": "为了研究某高校大学新生学生的视力情况, 随机地抽查了该校$100$名进校学生的视力情况, 得到频率分布直方图, 如图. 已知前$4$组的频数从左到右依次是等比数列$\\{a_n\\}$的前四项, 后$6$组的频数从左到右依次是等差数列$\\{b_n\\}$的前六项.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale = 1.4]\n\\draw [->] (-0.5,0) -- (6,0) node [below] {视力};\n\\draw [->] (0,-0.5) -- (0,3) node [left] {$\\dfrac{\\text{频率}}{\\text{组距}}$};\n\\foreach \\i/\\j/\\k in {1/0.1/4.3,2/0.3/4.4,3/0.9/4.5,4/2.7/4.6,5/2.2/4.7,6/1.7/4.8,7/1.2/4.9,8/0.7/5.0,9/0.2/5.1}\n{\\draw ({\\i/2},0) node [below] {$\\k$} --++ (0,\\j) --++ (0.5,0) --++ (0,-\\j);};\n\\draw (5,0) node [below] {$5.2$};\n\\draw [dashed] (0.5,0.1) -- (0,0.1) node [left] {$0.1$};\n\\draw [dashed] (1,0.3) -- (0,0.3) node [left] {$0.3$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求等比数列$\\{a_n\\}$的通项公式;\\\\\n(2) 求等差数列$\\{b_n\\}$的通项公式;\\\\\n(3) 若规定视力低于$5.0$的学生属于近视学生, 试估计该校新生的近视率$p$的大小.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第九单元", + "第四单元", + "第八单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -323756,7 +325160,9 @@ "id": "013240", "content": "已知实数$x, y$满足$\\begin{cases}x+2 y \\geq 4, \\\\ 2 x+y \\geq 3, \\\\ x \\geq 0, \\\\ y \\geq 0\\end{cases}$的目标函数$f=x+y$的最小值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "暂无对应" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323775,7 +325181,9 @@ "id": "013241", "content": "已知实数$x$、$y$满足$\\begin{cases}x+y \\leq 5, \\\\ 2 x+y \\leq 6, \\\\ x \\geq 0, \\\\ y \\geq 0,\\end{cases}$ 则$z=3 x+4 y$的最大值是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "暂无对应" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323794,7 +325202,9 @@ "id": "013242", "content": "若实数$x, y$满足$\\begin{cases}2 x-y \\geq 0, \\\\ y \\geq x, \\\\ y \\geq-x+b,\\end{cases}$且$z=2 x+y$的最小值为$3$, 则实数$b$的值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "暂无对应" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323813,7 +325223,9 @@ "id": "013243", "content": "设实数$x, y$, 满足$\\begin{cases}x-y-2 \\leq 0, \\\\ x+2 y-4 \\geq 0, \\\\ 2 y-3 \\leq 0,\\end{cases}$ 则$\\dfrac{y}{x}$的最大值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "暂无对应" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323832,7 +325244,9 @@ "id": "013244", "content": "已知实数$x, y$满足$\\begin{cases}x \\leq 3, \\\\ x+y-3 \\geq 0, \\\\ x-y+1 \\geq 0,\\end{cases}$ 则$x^2+y^2$的最小值是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "暂无对应" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323851,7 +325265,9 @@ "id": "013245", "content": "若正三棱柱的主视图如图所示, 则此三棱柱的体积等于\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw (0,0) rectangle (2,2);\n\\draw (1,0) -- (1,2);\n\\draw (0,0) -- (0,-0.5) (1,0) -- (1,-0.5) (2,0) -- (2,-0.5);\n\\draw (2.5,0) -- (2,0) (2.5,2) -- (2,2);\n\\draw [<->] (0,-0.25) -- (1,-0.25) node [midway,fill = white] {$1$};\n\\draw [<->] (1,-0.25) -- (2,-0.25) node [midway,fill = white] {$1$};\n\\draw [<->] (2.25,0) -- (2.25,2) node [midway, fill = white] {$2$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "暂无对应" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323870,7 +325286,9 @@ "id": "013246", "content": "一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.5]\n\\draw (0,0) circle (1);\n\\draw (-1,1.5) --++ (2,0) --++ (0,2) --++ (-2,0) -- cycle;\n\\draw (-1,3.5) --++ (1,1) --++ (1,-1);\n\\draw (2,1.5) --++ (2,0) --++ (0,2) --++ (-2,0) -- cycle;\n\\draw (2,3.5) --++ (1,1) --++ (1,-1);\n\\draw [dashed] (1,1.5) -- (2,1.5) (1,3.5) -- (2,3.5);\n\\draw [<->] (1.5,1.5) -- (1.5,3.5) node [midway, rotate = 90, fill = white] {$2$};\n\\draw [dashed] (0,4.5) -- (3,4.5);\n\\draw [->] (1.5,5) -- (1.5,4.5);\n\\draw (1.5,4) node [rotate = 90] {$1$};\n\\draw [dashed] (-1,1.5) --++ (0,-3.25) (1,1.5) --++ (0,-3.25);\n\\draw [<->] (-1,-1.5) -- (1,-1.5) node [midway, fill=white] {$2$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "暂无对应" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323889,7 +325307,9 @@ "id": "013247", "content": "一个用若干块大小相同的立方块搭成的立体图形, 主视图和俯视图是同一图形(如图), 那么搭成这样一个立体图形最少需要\\blank{50}个小立方块.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.5]\n\\draw (0,0) rectangle (3,1);\n\\draw (0,1) --++ (0,1) --++ (1,0) --++ (0,-2) (2,0) --++ (0,1);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "暂无对应" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323908,7 +325328,9 @@ "id": "013248", "content": "将如图所示的一个直角三角形$ABC$($\\angle C=90^{\\circ}$)绕斜边$AB$旋转一周, 所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.7]\n\\draw (-1,0) node [left] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (0,2) node [above] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (0,-0.5) node [below] {$B$} coordinate (B);\n\\filldraw [pattern = north east lines] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\fourch{\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.7]\n\\draw (-1,0) -- (1,0) -- (0,2) -- cycle;\n\\draw (1,0) arc ({atan(4/3)-90}:{-atan(4/3)-90}:{5/4});\n\\end{tikzpicture}}{\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.7]\n\\draw (-1,0) -- (1,0) -- (0,2) -- cycle;\n\\draw (1,0) -- (0,-0.5) -- (-1,0);\n\\end{tikzpicture}}{\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.7]\n\\draw (-1,0) -- (1,0) -- (0,-2) -- cycle;\n\\draw (1,0) -- (0,0.5) -- (-1,0);\n\\end{tikzpicture}}{\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.7]\n\\draw (0,0) circle (1);\n\\filldraw (0,0) circle (0.03);\n\\end{tikzpicture}}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "暂无对应" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -323927,7 +325349,9 @@ "id": "013249", "content": "将大小不同的两种钢板截成$A$、$B$两种规格的成品, 每张钢板可同时截得这两种规格的成品的块数如表所示. 若现在需$A$、$B$两种规格的成品分别为$12$块和$10$块, 则至少共需这两种钢板\\blank{50}张.\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|}\n\\hline &$A$种规格的成品 &$B$种规格的成品 \\\\\n\\hline 第一种钢板 & 2 & 1 \\\\\n\\hline 第二种钢板 & 1 & 3 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "暂无对应" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -323946,7 +325370,9 @@ "id": "013250", "content": "已知几何体由正方体和直三棱柱组成, 其三视图和直观图(单位: $\\text{cm}$) 如图所示. 设两条异面直线$A_1Q$和$PD$所成的角为$\\theta$, 求$\\cos \\theta$的值.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.8]\n\\draw (0,0) -- (2,0) -- (2,3) -- (0,3) -- cycle (0,2) -- (2,2);\n\\draw (1,0) node [above] {$2$} (2,1) node [left] {$2$};\n\\draw (3,0) --++ (2,0) --++ (0,2) --++ (-1,1) --++ (-1,-1) -- cycle;\n\\draw (4,0) node [above] {$2$} (3,1) node [right] {$2$} (3,2) ++ (0.5,0.5) node [above left] {$\\sqrt{2}$} ++ (1,0) node [above right] {$\\sqrt{2}$};\n\\draw (0,-3) rectangle ++ (2,2) (0,-2) --++ (2,0);\n\\draw (0,-2.5) node [right] {$1$} (0,-1.5) node [right] {$1$} (1,-3) node [above] {$2$};\n\\end{tikzpicture}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.8]\n\\def\\l{2}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,-\\l) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,0,-\\l) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) -- (B) -- (C);\n\\draw [dashed] (A) -- (D) -- (C);\n\\draw (A) ++ (0,\\l,0) node [left] {$A_1$} coordinate (A1);\n\\draw (B) ++ (0,\\l,0) node [right] {$B_1$} coordinate (B1);\n\\draw (C) ++ (0,\\l,0) node [above right] {$C_1$} coordinate (C1);\n\\draw (D) ++ (0,\\l,0) node [below right] {$D_1$} coordinate (D1);\n\\draw (A1) -- (B1) -- (C1);\n\\draw (A) -- (A1) (B) -- (B1) (C) -- (C1);\n\\draw [dashed] (D) -- (D1) (A1) -- (D1) -- (C1);\n\\draw ($(A1)!0.5!(D1)$) ++ (0,1) node [above] {$P$} coordinate (P);\n\\draw ($(B1)!0.5!(C1)$) ++ (0,1) node [above] {$Q$} coordinate (Q);\n\\draw (A1) -- (P) -- (Q) -- (B1) (Q) -- (C1);\n\\draw [dashed] (P) --(D1);\n\\draw [dashed] (P) -- (D);\n\\draw (A1) -- (Q);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - 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