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@@ "id": "011991", "content": "已知长方体的长、宽、高分别为$3$、$4$、$12$, 则长方体的一条对角线长为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284459,7 +284467,9 @@ "id": "011992", "content": "幂函数$f(x)$的图像过点$(4,2)$, 其反函数为$f^{-1}(x)$, 则$f^{-1}(3)=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284478,7 +284488,9 @@ "id": "011993", "content": "$(1+x)^n$的二项展开式中, 若第9项与第13项系数相等, 则第20项为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284497,7 +284509,9 @@ "id": "011994", "content": "若$f(x)$是定义在$\\mathbf{R}$上的奇函数, 当$x<0$时, $f(x)=\\log_2(2-x)$, 则$f(0)+f(2)=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284516,7 +284530,9 @@ "id": "011995", "content": "用$0$、$1$、$2$、$3$、$4$这五个数可以组成\\blank{50}个没有重复数字的四位奇数(用数字作答).", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284535,7 +284551,9 @@ "id": "011996", "content": "若$\\sin (\\alpha -\\dfrac{\\pi }4)=-\\dfrac 35$, 则$\\sin2\\alpha =$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284554,7 +284572,9 @@ "id": "011997", "content": "$P$是直角三角形$ABC$所在平面外一点, 已知三角形的边长$AB=3$, $BC=4$, $\\angle ABC=90^{\\circ }$, $PA=PB=PC=4$, 则直线$PB$与平面$ABC$所成角的余弦值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284573,7 +284593,9 @@ "id": "011998", "content": "函数$y=f(x)$的定义域$D$和值域$A$都是集合$\\{1,2,3\\}$的非空真子集, 如果对于$D$内任意的$x$, 总有$x+f(x)+xf(x)$的值是奇数, 则满足条件的函数$y=f(x)$的个数是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284592,7 +284614,9 @@ "id": "011999", "content": "若分段函数$\\begin{cases} 3\\sin2x, & x\\le 0,\\\\ 2^x-3, & x>0, \\end{cases}$, 将函数$y=|f(x)-f(a)|$, $x\\in 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ABC$面积的最大值, 并判断此时$\\triangle ABC$的形状.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -284725,7 +284762,9 @@ "id": "012006", "content": "某地区去年的水价为$4.2$元/立方米, 年用水量为$m$立方米, 今年计划将水价降到$2.8$元/立方米至$4$元/立方米之间, 而用户期望水价为$2.5$元/立方米, 经测算, 下调水价后新增的用水量与实际水价和用户期望水价的差成反比(比例系数为$0.5m$), 该地区的成本为$2$元/立方米.\\\\\n(1) 今年水价下调后, 为保证供水部门的收益不得低于去年的收益, 则实际水价$x$最低价格为多少?(保留$2$位小数)\\\\\n(2) 试问调价后, 今年供水部门收益的最小值为多少?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -284744,7 +284783,9 @@ "id": "012007", "content": "设函数$f(x)$的定义域为$(0,+\\infty)$, 且同时满足以下两个条件: \n\\textcircled{1} 存在实数$a>1$, 使得$f(a)=1$; \\textcircled{2} 当$m\\in \\mathbf{R}$, $x>0$时, 有$f(x^m)-mf(x)=0$恒成立.\\\\\n(1) 函数$y=\\ln x$是否满足上述的两个条件, 并说明理由;\\\\ \n(2) 求证: 当$x,y>0$时, $f(\\dfrac xy)=f(x)-f(y)$;\\\\\n(3) 若当$t>0$时, $f(t^2+4)-f(t)\\ge 1$, 求实数$a$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -284763,7 +284804,10 @@ "id": "012008", "content": "函数$f(x)=g(x)+h(x)$, 其中$g(x)$是定义在$\\mathbf{R}$上的周期函数, $h(x)=ax+b$, $a$、$b$为常数.\\\\\n(1) $g(x)=\\sin x$, 讨论$f(x)$的奇偶性, 并说明理由;\\\\\n(2) 求证: ``$f(x)$为奇函数''的一个必要非充分条件是``$f(x)$的图像有异于原点\n的对称中心$(m,n)$'';\\\\\n(3) $g(x)=\\sin x+\\cos x$, $|f(x)|$在$x\\in [0,3\\pi]$上的最大值为$M$, 求$M$的最小值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -284782,7 +284826,9 @@ "id": "012009", "content": "函数$f(x)=x^{-\\frac 12}$的定义域是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284801,7 +284847,9 @@ "id": "012010", "content": "集合$A=\\{-1, 2m-1\\}$, $B=\\{m^2\\}$, 若$B\\subseteq A$, 则实数$m=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第一单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284820,7 +284868,9 @@ "id": "012011", "content": "$(1+2x)^5=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5$, 则$a_3=$\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": 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(D1);\n\\draw [dashed] (B) -- (D1);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284858,7 +284910,9 @@ "id": "012013", "content": "方程$\\lg (x+2)=2\\lg x$的解为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284877,7 +284931,9 @@ "id": "012014", "content": "若$\\arccos x>\\dfrac{\\pi }3$, 则$x$的取值范围为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284896,7 +284952,9 @@ "id": "012015", "content": "若函数$f(x)=\\sqrt {2x+1}$的反函数为$g(x)$, 则函数$g(x)$的零点为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284915,7 +284973,9 @@ "id": "012016", "content": "已知函数$y=\\sin (\\omega x-\\dfrac{\\pi }6) \\ (\\omega >0)$图像的一条对称轴为$x=\\dfrac{\\pi }6$, 则$\\omega$的最小值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284934,7 +284994,9 @@ "id": "012017", "content": "已知圆锥的底面半径为$1$, 其侧面展开图为一个半圆, 则该圆锥的母线长为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284953,7 +285015,9 @@ "id": "012018", "content": "$7$人排成一行, 甲、乙相邻且丙不排两端的排法有\\blank{50}种(用数字作答).", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第八单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284972,7 +285036,9 @@ "id": "012019", "content": "设$f(x)$是定义在$\\mathbf{R}$上的函数, 且满足$f(1)=0$.若$y=f(x)+a\\cdot 2^x$是奇函数, $y=f(x)+3^x$是偶函数, 则$a$的值为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -284991,7 +285057,9 @@ "id": "012020", "content": "在$\\triangle ABC$中, $b=2$, $c=1$, $\\angle B-\\angle C=\\dfrac{\\pi }2$, 则$\\triangle ABC$的周长为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -285010,7 +285078,9 @@ "id": "012021", 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& 30=latex]\n\\def\\l{1.5}\n\\draw (0,0,0) node [below left] {$A$} coordinate (A);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,0) node [below right] {$B$} coordinate (B);\n\\draw (A) ++ (\\l,0,-\\l) node [right] {$C$} coordinate (C);\n\\draw (A) ++ (0,0,-\\l) node [left] {$D$} coordinate (D);\n\\draw (A) -- (B) -- (C);\n\\draw [dashed] (A) -- (D) -- (C);\n\\draw (A) ++ (0,\\l,0) node [left] {$A_1$} coordinate (A1);\n\\draw (B) ++ (0,\\l,0) node [right] {$B_1$} coordinate (B1);\n\\draw (C) ++ (0,\\l,0) node [above right] {$C_1$} coordinate (C1);\n\\draw (D) ++ (0,\\l,0) node [above left] {$D_1$} coordinate (D1);\n\\draw (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) -- cycle;\n\\draw (A) -- (A1) (B) -- (B1) (C) -- (C1);\n\\draw [dashed] (D) -- (D1);\n\\draw ($(A)!0.5!(A1)$) node [left] {$E$} coordinate (E);\n\\draw ($(C)!0.5!(C1)$) node [right] {$F$} coordinate (F);\n\\draw (E) -- (B) -- (F);\n\\draw [dashed] (E) -- (D1) -- (F);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": 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\\overline{D_g}, \\\\\n g(x), & x \\in \\overline{D_f}\\cap D_g.\n\\end{cases}$\\\\\n(1) 若函数$f(x)=\\dfrac 1{x-1}$, $g(x)=x^2, \\ x\\in \\mathbf{R}$, 写出函数$h(x)$的解析式;\\\\\n(2) 求问题(1)中函数$h(x)$的值域;\\\\\n(3) 若$g(x)=f(x+\\alpha)$, 其中$\\alpha$是常数, 且$\\alpha\\in [0,\\pi]$, 请设计一个定义域为$\\mathbf{R}$的函数$y=f(x)$, 以及一个$\\alpha$的值, 使得$h(x)=\\cos 4x$, 并予以证明.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "(1) $h(x)=\\begin{cases}\\dfrac{x^2}{x-1}, & x\\ne 1,\\\\ 1, & x=1;\\end{cases}$ (2) $(-\\infty,0]\\cup \\{1\\}\\cup [4,+\\infty)$; (3) 答案不唯一, 如$f(x)=\\cos 2x+\\sin 2x$, $\\alpha=\\dfrac\\pi 4$等", "solution": "", @@ -294059,7 +294195,9 @@ "K0618002B", "K0618007B" ], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -294081,7 +294219,9 @@ "K0615004B", "K0621001B" ], - "tags": [], + "tags": [ + "第六单元" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -294103,7 +294243,9 @@ "K0615004B", "K0615005B" ], - "tags": [], + "tags": [ + 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(0,-2) -- (0,2.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [above right] {$O$};\n\\draw [dashed] ({-pi/12},0) -- ({-pi/12},2) -- (0,2);\n\\draw ({-pi/12},0) node [below] {$-\\dfrac{\\pi}{12}$};\n\\draw ({pi/6},0) node [below] {$\\dfrac{\\pi}{6}$};\n\\draw [domain = -1:{2*pi/3},samples = 200] plot (\\x,{2*sin(2*\\x/pi*180+120)});\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 求$A$, $\\omega$, $\\varphi$的值;\\\\\n(2) 求函数$y=A\\sin (\\omega x+\\varphi)$, $x\\in [0,\\dfrac{\\pi }2]$的最值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第三单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298238,7 +298438,9 @@ "id": "030285", "content": "在$\\triangle ABC$中, 点$M$是边$BC$的中点, 点$N$是边$AC$的中点, $AM$与$BN$交于点$P$, 用向量的方法求$\\dfrac{AP}{AM}$的值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298257,7 +298459,9 @@ "id": "030286", "content": "在一个平面内, $\\triangle ABC$为直角三角形, $A$为直角, $AB=3$, $BC=4$, 长为$10$的线段$PQ$以点$A$为中点, 当$\\overrightarrow{PQ}$与$\\overrightarrow{BC}$的夹角$\\theta$取何值时, $\\overrightarrow{BP}\\cdot \\overrightarrow{CQ}$的值最大? 并求出这个最大值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298276,7 +298480,9 @@ "id": "030287", "content": "已知复平面上如图所示的平行四边形$ABCD$的顶点$A,B,D$三点所对应的复数分别是$2+3\\mathrm{i}$、$5-\\mathrm{i}$、$6+\\mathrm{i}$, 求向量$\\overrightarrow{AC}$所对应的复数.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298295,7 +298501,9 @@ "id": "030288", "content": "已知复数$z_1=\\sqrt 3+\\mathrm{i}$, $|z_2|=1$, $z_1\\overline{z_2}$是虚部为负数的纯虚数, 求复数$z_2$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298314,7 +298522,9 @@ "id": "030289", "content": "若虚数$z_1$、$z_2$满足$z_1^2=z_2$, 且$z_1$、$z_2$是一个实系数一元二次方程的两个根, 写出这样的一个实系数一元二次方程.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第四单元" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298333,7 +298543,10 @@ "id": "030290", "content": "火箭发射$t\\text{s}$后, 其高度(单位: $\\text{m}$)为$h(t)=0.9t^2$. 求:\\\\\n(1) 在$1\\le t\\le 2$这段时间里, 火箭爬高的平均速度;\\\\ \n(2) 发射后第$10\\text{s}$时, 火箭爬高的瞬时速度.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298352,7 +298565,10 @@ "id": "030291", "content": "一个小球从$5\\text{m}$的高处自由下落, 其位移$y$(单位: $\\text{m}$)与时间: (单位: $\\text{s}$)之间的关系为$y(t)=-4.9t^2$. 求$t=1\\text{s}$\n时小球的瞬时速度.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298371,7 +298587,10 @@ "id": "030292", "content": "你认为应该怎样定义抛物线$f(x)=x^2$在点$(x_0,x_0^2)$处的切线? 试求抛物线\n$f(x)=x^2$在点$(-1,1)$处切线的斜率.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298390,7 +298609,10 @@ "id": "030293", "content": "求抛物线$f(x)=x^2+1$在点$(0, 1)$处的切线方程.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298409,7 +298631,10 @@ "id": "030294", "content": "设$f(x)=\\dfrac 1x$, 求 $f'(1)$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298428,7 +298653,10 @@ "id": "030295", "content": "将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热, 已知在第$x\\text{h}$时, 原油的温度(单位: $\\text{C}^\\circ$)为$y=f(x)=x^2-7x+15$($0\\le x\\le 8$). 计算第$2\\text{h}$与第$6\\text{h}$时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298447,7 +298675,10 @@ "id": "030296", "content": "一辆汽车在公路上沿直线变速行驶, 假设$t\\text{s}$时汽车的速度(单位: $\\text{m}/\\text{s}$)为$y=v(t)=-t^2+6t+60$, 求汽车在第$2\\text{s}$与第$6\\text{s}$时的瞬时加速度, 并说明它们的意义.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298466,7 +298697,10 @@ "id": "030297", "content": "设$f(x)=x$, 求$f'(1)$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298485,7 +298719,10 @@ "id": "030298", "content": "一质点$A$沿直线运动, 位移$y$(单位: $\\text{m}$)与时间$t$(单位: $\\text{s}$)之间的关系为$y(t)=2t^2+1$, 求质点$A$在$t=2.7\\text{s}$时的瞬时速度.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298504,7 +298741,10 @@ "id": "030299", "content": "设函数$f(x)=x^2-1$, 求:\\\\ \n(1) 当自变量$x$由$1$变到$1.1$时, 函数的平均变化率;\\\\\n(2) 函数在$x=1$处的导数.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298523,7 +298763,10 @@ "id": "030300", "content": "函数$f(x)$的图像如图所示, 下列数值排序正确的是\\bracket{20}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.6]\n\\draw [->] (0,0) -- (4,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (0,0.5) .. controls (1,2.5) and (2,2.8) .. (3.5,3);\n\\foreach \\i in {1,2,3}{\\draw (\\i,0.2) -- (\\i,0) node [below] {$\\i$};};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n\\twoch{$f'(1)>f'(2)>f'(3)>0$}{$f'(1)f'(2)>0>f'(3)$}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "选择题", "ans": "", "solution": "", @@ -298542,7 +298785,10 @@ "id": "030301", "content": "求曲线$y=-2x^2+1$在点$(1, -1)$处的切线方程.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298561,7 +298807,10 @@ "id": "030302", "content": "吹气球时, 气球的半径$r$(单位: $\\text{dm}$)与体积$V$(单位:$\\text{L}$)之间的函数关系是$r(V)=\\sqrt[3]{\\dfrac{3V}{4\\pi}}$. 利用信息技术工具, 画出$0\\le V\\le 5$时函数的图象, 并根据其图象估计$V=0.6,1.2\\text{L}$时, 气球的瞬时膨胀率.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298580,7 +298829,10 @@ "id": "030303", "content": "一个物体从$10\\text{m}$高处做自由落体运动, $t\\text{s}$时该物体距离地面的高度(单位: $\\text{m}$)为$h(t)=-4.9t^2+10$. 求该物体在$t=1$时的瞬时速度, 并解释此时物体的运动状况.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298599,7 +298851,10 @@ "id": "030304", "content": "圆的面积$S$(单位: $\\text{cm}^2$)与半径$R$(单位: $\\text{m}$)的关系为$S=\\pi R^2$. 求$R=5\\text{cm}$时面积关于半径的瞬时变化率.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298618,7 +298873,10 @@ "id": "030305", "content": "某质点沿直线运动, 位移$y$(单位: $\\text{m}$)与时间$t$: (单位: $\\text{s}$)之间的关系为$y(t)=5t^2+6$. 求:\\\\\n(1) $2\\le t\\le 3$这段时间内的平均速度;\\\\\n(2) $t=2\\text{s}$时的瞬时速度.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298637,7 +298895,10 @@ "id": "030306", "content": "已知车轮旋转的角度$\\theta$(单位: $\\text{rad}$)与时间(单位: $\\text{s}$)之间的关系为$\\theta(t)=\\dfrac{25\\pi}{8}t^2$. 求车轮转动开始后第$3.2\\text{s}$时的瞬时角速度.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298656,7 +298917,10 @@ "id": "030307", "content": "小明骑车上学, 开始时匀速行驶, 途中因交通堵塞停留了一段时间, 后为了赶时间加快速度行驶, 与以上事件吻合得最好的图象是\\bracket{20}.\n\\fourch{\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (0,0) -- (3,0) node [below] {$t$};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,2) node [right] {距学校的距离};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (0,0) -- (1,0.5) .. controls (1.8,0.6) .. (2,1.3);\n\\end{tikzpicture}\n}{\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (0,0) -- (3,0) node [below] {$t$};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,2) node [right] {距学校的距离};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (0,1.1) -- (0.6,0.8) -- (0.9,0.8) -- (2.5,0);\n\\end{tikzpicture}}{\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (0,0) -- (3,0) node [below] {$t$};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,2) node [right] {距学校的距离};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw (0,1.1) -- (0.6,0.8) -- (0.8,0.8) .. controls (1.7,0.8) .. 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(1.8,1.3);\n\\draw (1,0.1) -- (1,0) node [below] {$1$};\n\\draw (0.1,1) -- (0,1) node [left] {$1$};\n\\end{tikzpicture}\n(3)\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = -1.4:1.4] plot (\\x,{pow(\\x,2)});\n\\draw (1,0.1) -- (1,0) node [below] {$1$};\n\\draw (0.1,1) -- (0,1) node [left] {$1$};\n\\end{tikzpicture}", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298751,7 +299027,10 @@ "id": "030312", "content": "在高台跳水运动中, $t\\text{s}$时运动员的重心相对于水面的高度(单位: $\\text{m}$)是$h(t)=-4.9t^2+4.8t+11$. 高度$h$关于时间$t$的导数是速度$v$, 速度$v$关于时间$t$的导数$v'$的物理意义是什么? 试求$v$, $v'$关于时间$t$的函数解析式.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -298770,7 +299049,10 @@ "id": "030313", "content": "根据下列条件, 分别画出函数$y=f(x)$的图像在这点附近的大致形状:\\\\\n(1) $f(1)=-5$, $f'(1)=-1$;\\\\\n(2) $f(5)=10$, $f'(5)=15$;\\\\\n(3) $f(10)=20$, $f'(10)=0$.", "objs": [], - 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"tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300081,7 +300567,10 @@ "id": "030382", "content": "用总长$14.8\\text{m}$的钢条制作一个长方体容器的框架, 如果所制容器底面一边的长比另一边的长多$0.5\\text{m}$, 那么高为多少时容器的容积最大? 最大容积是多少?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300100,7 +300589,10 @@ "id": "030383", "content": "用半径为$R$的圆形铁皮剪出一个圆心角为$\\alpha$的扇形, 制成一个圆锥形容器, 扇形的圆心角$\\alpha$为多大时, 容器的容积最大?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300119,7 +300611,10 @@ "id": "030384", "content": "已知$A$, $B$两地的距离是$130\\text{km}$, 根据交通法规, 两地之间的公路车速应限制在$50$至$100\\text{km}$, 假设油价是$7元$/$\\text{L}$, 以$x\\text{km}/\\text{h}$的速度行驶时, 汽车的耗油率为$(3+\\dfrac{x^2}{360})\\text{L}/\\text{h}$, 司机每小时的工资是$35$元, 那么最经济的车速是多少? 如果不考虑其他费用, 这次行车的总费用是多少?", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300138,7 +300633,10 @@ "id": "030385", "content": "作函数$y=\\dfrac{\\mathrm{e}^x(2x-1)}{x-1}$的大致图像.", "objs": [], - 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($y=f(x)$不是常值函数)\\\\\n\\textcircled{1} $y=f'(x)$为偶函数; \\textcircled{2} $f(x+\\pi)=f'(x)$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -300480,7 +301029,10 @@ "id": "030403", "content": "求下列函数的导数.\\\\\n(1) $f(x)=x^2\\sin x+2\\cos x$;\\\\\n(2) $f(x)=\\dfrac{\\mathrm{e}^x+1}{\\mathrm{e}^x-1}$;\\\\\n(3) $f(x)=\\cos(3x+4)$;\\\\\n(4) $f(x)=(2x-1)^5$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300499,7 +301051,10 @@ "id": "030404", "content": "已知曲线$y=x^3+x-2$在点$P_0$处的切线$l_1$平行于直线$4x-y-1=0$, \n且点$P_0$在第三象限.\\\\\n(1) 求$P_0$的坐标;\\\\ \n(2) 若直线$l\\perp l_1$, 且$l$也过切点$P_0$, 求直线$l$的方程.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300518,7 +301073,10 @@ "id": "030405", "content": "直线$y=kx+2$交抛物线$C:x^2=4y$于$A,B$两点, 分别过点$A,B$作抛物线$C$的切线$l_1,l_2$, 若$l_1,l_2$分别交$x$轴于点$M,N$, 求四边形$ABNM$面积的最小值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300537,7 +301095,10 @@ "id": "030406", "content": "当$x\\ne 1$时, 在恒等式$1+x+x^2+\\cdots+x^n=\\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}$的两边对$x$求导, 得$1+2x+3x^2+\\cdots+nx^{n-1}=\\dfrac{1+(nx-n-1)x^n}{(1-x)^2}$. 利用上述方法, 试由等式$(1+x)^n=\\mathrm{C}_n^0+\\mathrm{C}_n^1x+\\cdots+\\mathrm{C}_n^nx^n$($x\\in \\mathbf{R}$, 正整数$n\\ge 2$),\\\\\n(1) 证明: $n((1+x)^{n-1}-1)=\\sum_{k=2}^{n}k\\mathrm{C}_n^kx^{k-1}$;(提示: $\\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+\\cdots+a_n$)\\\\\n(2) 求$\\mathrm{C}_{10}^1+2\\mathrm{C}_{10}^2+3\\mathrm{C}_{10}^3+\\cdots+10\\mathrm{C}_{10}^{10}$;\\\\\n(3) 求$1^2\\mathrm{C}_{100}^1+3^2\\mathrm{C}_{100}^3+5^2\\mathrm{C}_{100}^5+\\cdots+99^2\\mathrm{C}_{100}^{99}$.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300556,7 +301117,10 @@ "id": "030407", "content": "设$a$为实数, 函数$f(x)=x^3+ax^2+(a-3)x$, 且$y=f'(x)$是偶函数, 则$y=f(x)$得单调递增区间为\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -300575,7 +301139,10 @@ "id": "030408", "content": "若函数$f(x)=2x^2-\\ln x$在定义域内的一个子区间$(k-1,k+1)$上不是单调函数, 则实数$k$的取值范围是\\blank{50}.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "填空题", "ans": "", "solution": "", @@ -300594,7 +301161,10 @@ "id": "030409", "content": "已知函数$f(x)=x^3-3ax^2+9x+5$($a<0$), 若曲线$y=f(x)$的的切线斜率最小时与直线$3x+y-2=0$平行.\\\\\n(1) 求$a$的值;\\\\\n(2) 求函数$y=f(x)$的单调区间.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300613,7 +301183,10 @@ "id": "030410", "content": "已知函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$($a+b<0$)在$\\mathbf{R}$上是增函数, 求\n$\\dfrac c{a+b}$的最大值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300632,7 +301205,10 @@ "id": "030411", "content": "已知函数$f(x)=ax^3-9x+1$, $a>0$.\\\\\n(1) 若$a=3$, 求函数$y=f(x)$的极值;\\\\\n(2) 若函数$y=f(x)$恰有三个零点, 求实数$a$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300651,7 +301227,10 @@ "id": "030412", "content": "已知函数$f(x)=x^3+ax^2-2$在$x=2$时取得极值.\\\\\n(1) 求$y=f(x)$在$(-1,f(-1))$处的切线方程;\\\\\n(2) 求$y=f(x)$在区间$[-1,2]$上的最大值与最小值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300670,7 +301249,10 @@ "id": "030413", "content": "已知函数$f(x)=ax-\\ln x$($a$为常数).\\\\\n(1) 当$a=1$时, 求函数$y=f(x)$的最值;\\\\\n(2) 求函数$y=f(x)$在$[1,+\\infty)$上的最值.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300689,7 +301271,10 @@ "id": "030414", "content": "(1) 设函数$f(x)=\\ln x-x+1$, 求$y=f(x)$的极大值;\\\\\n(2) 求证: 当$x>1$时, $x-10$且$a\\ne 1$时, $y=f(x)$存在一个极小值点$x_0$, 若$x_0>3$, 求实数$a$的取值范围.", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "", @@ -300917,7 +301535,11 @@ "id": "030426", "content": "已知函数$f(x)=\\ln x-kx+1$.\n(1) 若$f(x)\\le 0$恒成立, 求实数$k$的取值范围;\\\\\n(2) 证明: $(1+\\dfrac 13)(1+\\dfrac 1{3^2})(1+\\dfrac 1{3^3})\\cdots(1+\\dfrac 1{3^n})<\\sqrt{\\mathrm{e}}$($n\\in \\mathbf{N}$, $n>0$).", "objs": [], - "tags": [], + "tags": [ + "第二单元", + "第四单元", + "导数" + ], "genre": "解答题", "ans": "", "solution": "",