{
    "B00001": {
        "lesson": "K0101",
        "objs": [
            "K0101001B"
        ],
        "content": "集合的概念\\\\\n(1) 集合的概念: 把一些确定的对象的\\blank{50}叫做集合, 简称集.\\\\\n(2) 集合的元素: 集合所含的各个\\blank{50}叫做这个集合的元素.\\\\\n(3) 集合中各个元素是\\blank{50}, 即一个元素在同一个集合中不能重复出现."
    },
    "B00002": {
        "lesson": "K0101",
        "objs": [
            "K0101001B"
        ],
        "content": "元素和集合的关系\\\\\n集合通常用大写字母$A$、$B$、$C$、$\\cdots$表示, 集合中的元素通常用小写字母$a$、$b$、$c$、$\\cdots$表示. 若$a$是集合$A$的元素, 则记作``\\blank{50}''; 若$a$不是集合$A$的元素, 则记作``\\blank{50}''."
    },
    "B00003": {
        "lesson": "K0101",
        "objs": [
            "K0101003B"
        ],
        "content": "常用数集及其记法\\\\\n数的集合简称数集, 我们把常用的数集用特定的字母表示:\\\\\n自然数集\\blank{20}, 整数集\\blank{20}, 有理数集\\blank{20}, 实数集\\blank{20}."
    },
    "B00004": {
        "lesson": "K0101",
        "objs": [
            "K0101002B"
        ],
        "content": "集合的分类\\\\\n(1) 有限集: 含有\\blank{50}元素的集合称为有限集.\\\\\n(2) 无限集: 含有\\blank{50}元素的集合称为无限集.\\\\\n规定: \\blank{100}的集合称为空集, 记作\\blank{20}."
    },
    "B00005": {
        "lesson": "K0102",
        "objs": [
            "K0102001B"
        ],
        "content": "列举法: 将集合中的元素\\blank{50}一一列举出来并写在大括号内, 这种表示集合的方法叫做列举法."
    },
    "B00006": {
        "lesson": "K0102",
        "objs": [
            "K0102002B"
        ],
        "content": "描述法: 在大括号内先写出这个集合的元素的一个记号, 再画一条竖线, 在竖线右面写上集合中元素\\blank{50}, 即\\blank{50}, 这种表示集合的方法叫做描述法."
    },
    "B00007": {
        "lesson": "K0102",
        "objs": [
            "K0102004B"
        ],
        "content": "区间: 表示满足一些不等式的全体实数所组成的集合, 可以用区间的形式表示. 设$a$、$b \\in \\mathbf{R}$, 且$a<b$, 我们规定:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|p{15em}<{\\centering}|}\n\\hline 集合 & 区间表示 &  数轴表示 \\\\\n\\hline$\\{x | a \\leq x \\leq b\\}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | a<x<b\\}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | a \\leq x<b\\}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | a<x \\leq b\\}$& & \\\\\n\\hline$\\mathbf{R}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | x \\geq a\\}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | x \\leq b\\}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | x>a\\}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | x<b\\}$& & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n说明: 在上述所有的区间中, $a, b$叫做区间的端点, ``$\\infty$''读作``无穷大''."
    },
    "B00008": {
        "lesson": "K0103",
        "objs": [
            "K0103001B"
        ],
        "content": "子集: 对于两个集合$A$和$B$, 如果\\blank{100}, 那么集合$A$叫做集合$B$的子集, 记作\\blank{40}. 规定: 空集是任何集合的\\blank{40}."
    },
    "B00009": {
        "lesson": "K0103",
        "objs": [
            "K0103002B"
        ],
        "content": "用文氏图表示$A \\subseteq B$: \\blank{100}."
    },
    "B00010": {
        "lesson": "K0103",
        "objs": [
            "K0101004B",
            "K0103004B"
        ],
        "content": "$A$\\blank{20}$A$; 若$A \\subseteq B$且\\blank{50}, 则$A=B$; 若$A \\subseteq B$且$B \\subseteq C$, 则\\blank{50}."
    },
    "B00011": {
        "lesson": "K0103",
        "objs": [
            "K0103005B"
        ],
        "content": "真子集: 对于两个集合$A$和$B$, 如果\\blank{100}, 那么集合$A$叫做集合$B$的真子集, 记作\\blank{40}. 规定: 空集是任何非空集合的\\blank{40}."
    },
    "B00012": {
        "lesson": "K0103",
        "objs": [
            "K0101003B",
            "K0103005B"
        ],
        "content": "对于常用数集$\\mathbf{N},\\mathbf{R},\\mathbf{Q},\\mathbf{Z}$来说: \\blank{20}$\\subset$\\blank{20}$\\subset$\\blank{20}$\\subset$\\blank{20}."
    },
    "B00013": {
        "lesson": "K0104",
        "objs": [
            "K0104001B",
            "K0104002B"
        ],
        "content": "交集:\\\\\n由既属于集合$A$又属于集合$B$的所有元素组成的集合, 叫做$A$与$B$的交集. 记作\\blank{40}.\\\\\n即$A$\\blank{10}$B=$\\blank{80}.\\\\\n用文氏图表示集合$A$与集合$B$交集: \\blank{50}."
    },
    "B00014": {
        "lesson": "K0104",
        "objs": [
            "K0104003B",
            "K0104004B"
        ],
        "content": "并集:\\\\\n由所有属于集合$A$或所有属于集合$B$的元素组成的集合, 叫做$A$与$B$的并集. 记作\\blank{40}.\\\\\n即$A$\\blank{10}$B=$\\blank{80}.\\\\\n用文氏图表示集合$A$与集合$B$并集: \\blank{50}."
    },
    "B00015": {
        "lesson": "K0104",
        "objs": [
            "K0104005B",
            "K0104006B",
            "K0104007B"
        ],
        "content": "补集:\\\\\n设$U$是全集, $A$是$U$的子集, 则由$U$中不属于$A$的元素组成的集合, 称为集合$A$在全集$U$中的补集, 记作\\blank{40}. 即$\\overline {A}=$\\blank{80}.\\\\\n用文氏图表示集合$A$的补集: \\blank{50}."
    },
    "B00016": {
        "lesson": "K0104",
        "objs": [
            "K0104001B",
            "K0104003B",
            "K0104006B"
        ],
        "content": "几个结论:\\\\\n(1) $A \\cap \\overline {A}=$\\blank{20}, $A \\cup \\overline {A}=$\\blank{20}, $\\overline{\\overline {A}}=$\\blank{20}.\\\\\n(2) $\\overline{A \\cap B}=$\\blank{40}, $\\overline{A \\cup B}=$\\blank{40}."
    },
    "B00017": {
        "lesson": "K0105",
        "objs": [
            "K0105002B"
        ],
        "content": "命题: 用自然语言、符号或者式子表示, 且可以\\blank{50}的语句叫做命题.\\\\\n形如``若$\\alpha$, 则$\\beta$''的命题, 陈述句$\\alpha$称为\\blank{50}, 陈述句$\\beta$称为\\blank{50}."
    },
    "B00018": {
        "lesson": "K0105",
        "objs": [
            "K0105002B",
            "K0105001B"
        ],
        "content": "``若$\\alpha$, 则$\\beta$''是真命题, 是指\\blank{50}满足条件$\\alpha$的对象都满足结论$\\beta$. 用集合语言描述\n即: $\\{x | x$满足$\\alpha\\}$\\blank{20}$\\{x | x$满足$\\beta\\}$.\\\\\n``若$\\alpha$, 则$\\beta$''是假命题, 是指\\blank{50}满足条件$\\alpha$的对象, 它不满足结论$\\beta$. 即举一个满足条件$\\alpha$而不满足结论$\\beta$的例子(称为举反例)."
    },
    "B00019": {
        "lesson": "K0105",
        "objs": [
            "K0105001B"
        ],
        "content": "推出关系: 如果命题``若$\\alpha$, 则$\\beta$''是\\blank{50}命题, 那么就称$\\alpha$推出$\\beta$, 记作\\blank{50}.\\\\\n传递性: 若$\\alpha \\Rightarrow \\beta$且$\\beta \\Rightarrow \\gamma$, 则\\blank{50}."
    },
    "B00020": {
        "lesson": "K0106",
        "objs": [
            "K0106001B"
        ],
        "content": "充分条件与必要条件:\\\\\n对于两个陈述句$\\alpha$和$\\beta$, 如果$\\alpha \\Rightarrow \\beta$, 就称$\\alpha$是$\\beta$的\\blank{40}条件, 亦称$\\beta$是$\\alpha$的\\blank{40}条件."
    },
    "B00021": {
        "lesson": "K0106",
        "objs": [
            "K0106003B"
        ],
        "content": "如果``$\\alpha \\Rightarrow \\beta$且$\\beta \\not\\Rightarrow \\alpha$'', 就称$\\alpha$是$\\beta$的\\blank{50}条件.\\\\\n如果``$\\alpha \\not \\Rightarrow \\beta$且$\\beta \\Rightarrow \\alpha$'', 就称$\\alpha$是$\\beta$的\\blank{50}条件.\\\\\n如果$\\alpha \\Leftrightarrow \\beta$(既有$\\alpha \\Rightarrow \\beta$, 又有$\\beta \\Rightarrow \\alpha$), 就称$\\alpha$是$\\beta$的\\blank{50}条件, 简称\\blank{30}条件."
    },
    "B00022": {
        "lesson": "K0106",
        "objs": [
            "K0106003B"
        ],
        "content": "证明$\\alpha$是$\\beta$的充要条件时, 既要证明\\blank{50}性, 又要证明\\blank{50}性."
    },
    "B00023": {
        "lesson": "K0107",
        "objs": [
            "K0107003B"
        ],
        "content": "反证法: 要证明``若$\\alpha$则$\\beta$''为真命题, 首先假设结论$\\beta$\\blank{50}, 然后经过正确的逻辑推理得出\\blank{50}, 从而说明``$\\beta$为假''是不可能发生的, 即结论$\\beta$是正确的. 这样的证明方法叫\\blank{50}."
    },
    "B00024": {
        "lesson": "K0107",
        "objs": [
            "K0107001B",
            "K0107002B"
        ],
        "content": "一些常用的否定形式:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|p{20em}<{\\centering}|p{20em}<{\\centering}|}\n\\hline 陈述句$\\alpha$&$\\alpha$的否定形式 \\\\\n\\hline$x>1$& \\\\\n\\hline$x>1$或$y>1$& \\\\\n\\hline 至少有$2$个 & \\\\\n\\hline 所有的$a \\in A$都满足性质$p$& \\\\\n\\hline 所有的$a \\in A$都不满足性质$p$& \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}"
    },
    "B00025": {
        "lesson": "K0215",
        "objs": [
            "K0215001B"
        ],
        "content": "函数的概念: 设$D$是一个\\blank{30}的实数集, 如果按照某种确定的对应关系$f$, 使对集合$D$中的\\blank{30}的$x$, 都有\\blank{30}实数$y$与之对应, 就称这个对应关系$f$为集合$D$上的一个函数, 记作$y=f(x)$, $x \\in D$. 其中, $x$叫做\\blank{30}, 其取值范围(数集$D$)称为该函数的\\blank{30}."
    },
    "B00026": {
        "lesson": "K0215",
        "objs": [
            "K0215002B"
        ],
        "content": "函数的两个要素是指\\blank{50}和\\blank{50}."
    },
    "B00027": {
        "lesson": "K0215",
        "objs": [
            "K0215004B"
        ],
        "content": "如果两个函数的\\blank{50}和\\blank{50}都完全一致, 就称这两个函数是相同的."
    },
    "B00028": {
        "lesson": "K0215",
        "objs": [
            "K0215005B"
        ],
        "content": "对于函数$y=f(x)$, $x\\in D$, 所有函数值组成的集合\\blank{100}称为这个函数的\\blank{30}."
    },
    "B00029": {
        "lesson": "K0216",
        "objs": [
            "K0216001B"
        ],
        "content": "表示函数的方法有\\blank{50}、\\blank{50}和\\blank{50}等."
    },
    "B00030": {
        "lesson": "K0216",
        "objs": [
            "K0216002B"
        ],
        "content": "对于函数$y=f(x)$, $x\\in D$, 它的图像是指集合\\blank{100}.\\\\\n    若点$P(x_0,y_0)$在该函数的图像上, 则$x_0$\\blank{30}, $y_0$\\blank{30};\\\\\n    若$x_0$\\blank{30}, $y_0$\\blank{30}, 则点$P(x_0,y_0)$在该函数的图像上."
    },
    "B00031": {
        "lesson": "K0216",
        "objs": [
            "K0216004B"
        ],
        "content": "平面直角坐标系中的(非空)图形是某个函数的图像的判断依据: 每一条形如\\blank{50}的直线与图形\\blank{50}个公共点."
    },
    "B00032": {
        "lesson": "K0216",
        "objs": [
            "K0216006B"
        ],
        "content": "取整函数$y=[x]$将实数$x$对应为\\blank{50}$x$的最\\blank{20}整数. 函数$y=[x]$, $x\\in [-2,2]$的图像为\n    \\begin{center}\n    \\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.5]\n    \\draw [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node [below] {$x$};\n    \\draw [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node [left] {$y$};\n    \\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n    \\foreach \\i in {-2,-1,1,2}\n    {\\draw [dashed,gray] (\\i,-2.5) -- (\\i,2.5) (-2.5,\\i) -- (2.5,\\i);};\n    \\draw (1,0) node [below] {$1$} (0,1) node [left] {$1$};\n    \\end{tikzpicture}\n    \\end{center}"
    },
    "B00033": {
        "lesson": "K0217",
        "objs": [
            "K0217001B"
        ],
        "content": "平面图形$\\mathcal{P}$关于直线$l$成轴对称是指对\\blank{50}图形$\\mathcal{P}$的点$Q$, $Q$关于$l$的对称点仍然在图形$\\mathcal{P}$上.\\\\\n    平面图形$\\mathcal{P}$关于点$C$成中心对称是指对\\blank{50}图形$\\mathcal{P}$的点$Q$, $Q$关于点$C$的对称点仍然在图形$\\mathcal{P}$上."
    },
    "B00034": {
        "lesson": "K0217",
        "objs": [
            "K0217002B"
        ],
        "content": "函数$y=f(x)$, $x\\in D$是偶函数是指:\\\\\n    \\textcircled{1} 定义域$D$\\blank{80}, 即对任意$x_0\\in D$, 都成立\\blank{30}$\\in D$;\\\\\n    \\textcircled{2} 对\\blank{30}$x_0\\in D$, 都成立\\blank{50}."
    },
    "B00035": {
        "lesson": "K0217",
        "objs": [
            "K0217003B"
        ],
        "content": "函数$y=f(x)$, $x\\in D$是奇函数是指:\\\\\n    \\textcircled{1} 定义域$D$\\blank{80}, 即对任意$x_0\\in D$, 都成立\\blank{30}$\\in D$;\\\\\n    \\textcircled{2} 对\\blank{30}$x_0\\in D$, 都成立\\blank{50}."
    },
    "B00036": {
        "lesson": "K0217",
        "objs": [
            "K0217002B",
            "K0217003B"
        ],
        "content": "函数$y=f(x)$, $x\\in D$是偶函数当且仅当它的图像\\blank{80}; 函数$y=f(x)$, $x\\in D$是奇函数当且仅当它的图像\\blank{80}."
    },
    "B00037": {
        "lesson": "K0218",
        "objs": [
            "K0218001B"
        ],
        "content": "已知定义在$\\mathbf{R}$上的偶函数在$x\\ge 0$处的解析式为$y=f(x)$, 那么当$a<0$时, $f(a)=$\\blank{30}."
    },
    "B00038": {
        "lesson": "K0218",
        "objs": [
            "K0218001B"
        ],
        "content": "已知定义在$\\mathbf{R}$上的奇函数在$x> 0$处的解析式为$y=f(x)$, 那么当$a<0$时, $f(a)=$\\blank{30}; 当$a=0$时, $f(a)=$\\blank{30}."
    },
    "B00039": {
        "lesson": "K0218",
        "objs": [
            "K0218001B"
        ],
        "content": "说明一个函数$y=f(x)$, $x\\in D$不是奇函数, 可以从一下两种视角中选择可行的一种:\\\\\n    \\textcircled{1} 定义域不关于原点对称, 即\\blank{30}实数$x_0$, 使得$x_0\\in$\\blank{20}, 且\\blank{20}$\\not\\in $\\blank{20};\\\\\n    \\textcircled{2} 对应关系不符合奇函数的要求, 即\\blank{30}实数$x_0$, 使得\\blank{50}."
    },
    "B00040": {
        "lesson": "K0219",
        "objs": [
            "K0219001B"
        ],
        "content": "对于定义在$D$上的函数$y=f(x)$, 设区间$I$是$D$的一个子集. 对于区间$I$上的任意给定的两个自变量的值$x_1$、$x_2$, 当$x_1<x_2$时, 如果总有$f(x_1) \\leq f(x_2)$, 就称函数$y=f(x)$在区间$I$上是\\blank{50}; 如果总有$f(x_1) \\geq f(x_2)$, 就称函数$y=f(x)$在区间$I$上是\\blank{50}; 如果总有\\blank{50}, 就称$y=f(x)$在区间$I$上是严格增函数; 而如果总有\\blank{50}, 就称$y=f(x)$在区间$I$上是严格减函数."
    },
    "B00041": {
        "lesson": "K0219",
        "objs": [
            "K0219003B"
        ],
        "content": "如果$y=f(x)$是区间$I$上的严格增函数, 那么$y=2^{f(x)}$是区间$I$上的\\blank{30}函数.\\\\\n    这是因为对区间$I$上任意两个实数$x_1,x_2$, 当$x_1<x_2$时, 因$y=f(x)$是严格增函数, 故\\blank{20}$<$\\blank{20}, 因此\\blank{30}$<$\\blank{30}, 所以$y=2^{f(x)}$在区间$I$上是\\blank{30}函数."
    },
    "B00042": {
        "lesson": "K0219",
        "objs": [
            "K0219003B"
        ],
        "content": "如果$y=f(x)$, $y=g(x)$都是区间$I$上的增函数, 那么$y=f(x)+g(x)$是区间$I$上的\\blank{30}函数.\\\\\n    这是因为对区间$I$上任意两个实数$x_1,x_2$, 当$x_1<x_2$时, 因$y=f(x)$是增函数, 故\\blank{50}; 又因$y=g(x)$是增函数, 故\\blank{50}. 两式作\\blank{20}, 得\\blank{80}, 从而$y=f(x)+g(x)$在区间$I$上是\\blank{30}函数."
    },
    "B00043": {
        "lesson": "K0220",
        "objs": [
            "K0220001B"
        ],
        "content": "如果函数$y=f(x)$在某个区间$I$上是增(减)函数, 那么就称函数$y=f(x)$在区间$I$上是\\blank{30}函数, 并称区间$I$是函数$y=f(x)$的一个\\blank{50}."
    },
    "B00044": {
        "lesson": "K0220",
        "objs": [
            "K0220003B"
        ],
        "content": "若偶函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上是严格增函数, 则它在区间$[-b,-a]$上是\\blank{50}函数.\\\\\n    这是因为对任意$x_1,x_2\\in $\\blank{50}, 当$x_1<x_2$时, 因$f(x_1)=$\\blank{30}, $f(x_2)=$\\blank{30}. 其中\\blank{20},\\blank{20}$\\in$\\blank{30}, 且\\blank{20}$<$\\blank{20}. 注意到$y=f(x)$在区间\\blank{30}上是严格增函数, 所以\\blank{30}$<$\\blank{30}, 即\\blank{30}$<$\\blank{30}, 因此$y=f(x)$在区间$[-b,-a]$上是\\blank{50}函数."
    },
    "B00045": {
        "lesson": "K0220",
        "objs": [
            "K0220003B"
        ],
        "content": "若奇函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上是严格增函数, 则它在区间$[-b,-a]$上是\\blank{50}函数.\\\\\n    这是因为对任意$x_1,x_2\\in $\\blank{50}, 当$x_1<x_2$时, 因$f(x_1)=$\\blank{30}, $f(x_2)=$\\blank{30}. 其中\\blank{20},\\blank{20}$\\in$\\blank{30}, 且\\blank{20}$<$\\blank{20}. 注意到$y=f(x)$在区间\\blank{30}上是严格增函数, 所以\\blank{30}$<$\\blank{30}, 即\\blank{30}$<$\\blank{30}, 因此$y=f(x)$在区间$[-b,-a]$上是\\blank{50}函数."
    },
    "B00046": {
        "lesson": "K0221",
        "objs": [
            "K0221001B"
        ],
        "content": "函数$y=f(x)$在$x_0$处的函数值是$f(x_0)$, 对于定义域内\\blank{30}的$x$, 如果\\blank{50}恒成立, 那么$f(x_0)$就叫做函数$y=f(x)$的最小值; 如果\\blank{50}恒成立, 那么$f(x_0)$就叫做函数$y=f(x)$的最大值. 最大值与最小值统称\\blank{30}."
    },
    "B00047": {
        "lesson": "K0221",
        "objs": [
            "K0221001B"
        ],
        "content": "为了说明实数$M$是函数$y=f(x)$, $x\\in D$的最大值, 需要说明以下两点:\\\\\n    \\textcircled{1} \\blank{30}$x\\in D$, $f(x)$\\blank{20}$M$;\\\\\n    \\textcircled{2} \\blank{30}$x\\in D$, $f(x)$\\blank{20}$M$."
    },
    "B00048": {
        "lesson": "K0222",
        "objs": [
            "K0222001B"
        ],
        "content": "在现实情境中建立函数关系时, 明确何为自变量, 何为因变量之后, 应关注定义域(即该情境中\\blank{50}的取值范围)和对应关系(即该情境中\\blank{50}随\\blank{50}的变化方式)."
    },
    "B00049": {
        "lesson": "K0223",
        "objs": [
            "K0223001B"
        ],
        "content": "对于函数$y=f(x)$, $x \\in D$, 如果存在实数$c \\in D$, 使得\\blank{50}, 就把$c$叫做该函数的零点. 零点是\\blank{30}(填入``数''或``数对'')."
    },
    "B00050": {
        "lesson": "K0223",
        "objs": [
            "K0223001B"
        ],
        "content": "函数$y=f(x)$, $x \\in D$的零点, 就是方程\\blank{50}在集合\\blank{20}中的解, 也是该函数$y=f(x)$的图像与\\blank{20}轴的交点的\\blank{20}坐标."
    },
    "B00051": {
        "lesson": "K0223",
        "objs": [
            "K0223004B"
        ],
        "content": "若函数$y=f(x)$在区间$I$上是严格增(减)函数, 则$f(x)=a$在区间$I$上有\\blank{30}个解."
    },
    "B00052": {
        "lesson": "K0223",
        "objs": [
            "K0223005B"
        ],
        "content": "若函数$y=f(x)$在区间$I$上是严格增函数, 且$f(x_0)=a$, 则$f(x)>a$在区间$I$上的解集为$I\\cap$\\blank{50}; $f(x)\\le a$在区间$I$上的解集为$I\\cap$\\blank{50}."
    },
    "B00053": {
        "lesson": "K0224",
        "objs": [
            "K0224001B"
        ],
        "content": "零点存在定理: 如果在区间$[a, b]$上, 函数$y=f(x)$的图像是\\blank{50}, 并且$f(a) \\cdot f(b)$\\blank{20}, 那么$y=f(x)$在区间$(a, b)$上\\blank{50}."
    },
    "B00054": {
        "lesson": "K0224",
        "objs": [
            "K0224002B"
        ],
        "content": "设函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上连续, $f(a)<0$, $f(b)>0$. 二分法求函数零点的近似值的第一步是计算$x=$\\blank{50}处的函数值$y_0$. 如果函数值$y_0$为负, 那么在区间\\blank{50}上一定有函数$f(x)$的零点; 如果函数值$y_0$为正, 那么在区间\\blank{50}上一定有函数$f(x)$的零点."
    },
    "B00055": {
        "lesson": "K0225",
        "objs": [
            "K0225001B"
        ],
        "content": "对于函数$y=f(x)$, $x \\in D$, 记其\\blank{30}为$f(D)$. 如果对$f(D)$中的\\blank{50}一个值$y$, 在$D$中满足$f(x)=y$的$x$值\\blank{50}, 那么由此得到的\\blank{20}关于\\blank{20}的函数叫做$y=f(x)$, $x \\in D$的反函数, 记作$x=f^{-1}(y)$, $y \\in f(D)$. 由于自变量习惯上常用$x$表示, 而函数值常用$y$表示, 因此通常把该函数改写为\\blank{50}, \\blank{20}$\\in$\\blank{20}."
    },
    "B00056": {
        "lesson": "K0225",
        "objs": [
            "K0225002B"
        ],
        "content": "某函数有反函数的图形化判断依据: 每一条形如\\blank{50}的直线与原来函数的图像\\blank{50}个公共点."
    },
    "B00057": {
        "lesson": "K0225",
        "objs": [
            "K0225003B"
        ],
        "content": "原来函数的值域是反函数的\\blank{30}, 原来函数的定义域是反函数的\\blank{30}."
    },
    "B00058": {
        "lesson": "K0225",
        "objs": [
            "K0225004B"
        ],
        "content": "设$y=f(x)$, $x\\in D$的反函数为$y=f^{-1}(x)$, $x\\in f(D)$.\\\\\n    \\textcircled{1} 若$y_0=f(x_0)$, 则$x_0=$\\blank{50};\\\\\n    \\textcircled{2} 对于任意$x_1\\in$\\blank{30}, $f(f^{-1}(x_1))=$\\blank{20}; 对于任意$x_2\\in$\\blank{30}, $f^{-1}(f(x_2))=$\\blank{20}."
    },
    "B00059": {
        "lesson": "K0225",
        "objs": [
            "K0225005B"
        ],
        "content": "求函数$y=f(x)$, $x\\in D$的反函数时, 一般要完成以下三个步骤:\\\\\n    \\textcircled{1} 求原来的函数$y=f(x)$, $x\\in D$的\\blank{30}, 作为反函数的\\blank{30};\\\\\n    \\textcircled{2} 在$y\\in$\\blank{30}, $x\\in$\\blank{30}的情境下, 解关于\\blank{20}的方程$y=f(x)$, 得\\blank{20}$=$\\blank{30};\\\\\n    \\textcircled{3} 交换$x,y$, 并将\\blank{50}作为反函数的定义域, 表达为\\blank{50}, \\blank{30}."
    },
    "B00060": {
        "lesson": "K0226",
        "objs": [
            "K0226001B"
        ],
        "content": "点$P(a,b)$关于直线$l:y=x$的对称点的坐标为$P'$\\blank{50}."
    },
    "B00061": {
        "lesson": "K0226",
        "objs": [
            "K0226002B"
        ],
        "content": "互为反函数的两函数的图像关于直线\\blank{50}成轴对称."
    },
    "B00062": {
        "lesson": "K0226",
        "objs": [
            "K0226004B",
            "K0226006B"
        ],
        "content": "若点$P(a,b)$在函数$y=f(x)$, $x\\in D$的图像上, 且该函数有反函数.\\\\\n    则\\blank{10}一定在反函数的定义域中, 点$P'$\\blank{50}一定在反函数$y=f^{-1}(x)$的图像上;\\\\\n    点$Q$\\blank{50}一定在函数$y=f(2x+1)$的图像上, 点$R$\\blank{50}一定在函数$y=f^{-1}(2x+1)$的图像上, 这表明$y=f^{-1}(2x+1)$\\blank{50}$y=f(2x+1)$的反函数(填入``一定是''或``不一定是'')."
    },
    "B00063": {
        "lesson": "K0226",
        "objs": [
            "K0226005B"
        ],
        "content": "若$y=f(x)$, $x\\in D$是严格增函数, 则其反函数$y=f^{-1}(x)$, $x\\in f(D)$是\\blank{30}函数.\\\\\n    这是因为对任意$x_1,x_2\\in f(D)$, 当$x_1<x_2$时, 因$x_1,x_2\\in f(D)$, 故存在$t_1,t_2\\in$\\blank{30}, 使得$x_1=$\\blank{40}, $x_2=$\\blank{40}. 假设$t_1\\ge t_2$, 因$y=f(x)$是\\blank{50}, 故$x_1=$\\blank{40}$\\ge$\\blank{40}$=x_2$. 这与\\blank{50}相矛盾. 故$t_1<t_2$, 即\\blank{50}$<$\\blank{50}."
    },
    "B00064": {
        "lesson": "K0226",
        "objs": [
            "K0226005B"
        ],
        "content": "若$y=f(x)$, $x\\in D$是奇函数, 并且它有反函数$y=f^{-1}(x)$, $x\\in f(D)$, 则其反函数是\\blank{30}函数.\\\\\n    这是因为对任意$x_0\\in f(D)$, 存在$t_0\\in$\\blank{30}, 使得$x_0=$\\blank{40}. 因$y=f(x)$是\\blank{50}, 故$-t_0\\in$\\blank{30}, 且$-x_0=$\\blank{30}, 从而$-x_0\\in$\\blank{30}, 并且\\blank{30}$=-t_0=$\\blank{30}."
    },
    "B00065": {
        "lesson": "K0108",
        "objs": [
            "K0108001B"
        ],
        "content": "用等号``$=$''把两个数量关系连接起来, 所得的式子称为\\blank{50}."
    },
    "B00066": {
        "lesson": "K0108",
        "objs": [
            "K0108001B"
        ],
        "content": "对于实数而言, 等式明显具有以下性质: \\\\\n(1) \\blank{20}性: 设 $a$、$b$、$c \\in \\mathbf{R}$, 如果 $a=b$, $b=c$, 那么\\blank{50}.\\\\\n(2) \\blank{20}性质: 设 $a$、$b$、$c \\in \\mathbf{R}$, 如果 $a=b$, 那么\\blank{80}.\\\\\n(3) \\blank{20}性质: 设 $a$、$b$、$c \\in \\mathbf{R}$, 如果 $a=b$, 那么\\blank{80}."
    },
    "B00067": {
        "lesson": "K0108",
        "objs": [
            "K0108002B"
        ],
        "content": "含有\\blank{50}的等式称为\\blank{50}; 使得方程两端相等的未知数的值, 称为\\blank{50}."
    },
    "B00068": {
        "lesson": "K0207",
        "objs": [
            "K0207001B"
        ],
        "content": "当指数 $a$ 固定, 等式\\blank{100}确定了变量\\blank{20}随变量\\blank{20}变化的规律, 称为指数为\\blank{20}的幂函数."
    },
    "B00069": {
        "lesson": "K0207",
        "objs": [
            "K0207002B"
        ],
        "content": "幂函数的定义域为\\blank{100}. 幂函数的定义域可以是不相同的, 它与\\blank{50}有关."
    },
    "B00070": {
        "lesson": "K0207",
        "objs": [
            "K0207003B"
        ],
        "content": "请依次作出幂函数 $y=x^{\\frac{1}{2}}$, $y=x^3$, $y=x^{-\\frac{2}{3}}$ 的大致图像.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\end{tikzpicture}\n\\hspace*{3em}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\end{tikzpicture}\n\\hspace*{3em}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}"
    },
    "B00071": {
        "lesson": "K0401",
        "objs": [
            "K0401002X"
        ],
        "content": "若数列$\\{a_n\\}$从第二项起, 每一项与其前一项的差都等于同一个常数$d$, 这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的\\blank{50}.($a_n-a_{n-1}=d$, $n\\ge 2$)"
    },
    "B00072": {
        "lesson": "K0401",
        "objs": [
            "K0401002X"
        ],
        "content": "$a,b,c$成等差数列$\\Leftrightarrow b$是$a,c$的\\blank{100} $\\Leftrightarrow$ $b=$\\blank{50}."
    },
    "B00073": {
        "lesson": "K0401",
        "objs": [
            "K0401003X",
            "K0401004X"
        ],
        "content": "数列$\\{a_n\\}$是以$a_1$为首项, $d$为公差的等差数列, 它的通项公式是\\blank{100}."
    },
    "B00074": {
        "lesson": "K0401",
        "objs": [
            "K0401004X"
        ],
        "content": "数列$\\{a_n\\}$是等差数列, 正整数$m,n,p,q$满足$m+n=p+q$, 那么$a_m+a_n=$\\blank{50}."
    },
    "B00075": {
        "lesson": "K0201",
        "objs": [
            "K0201001B"
        ],
        "content": "整数指数幂:\\\\\n    (1) 设 $a$ 是一个实数, $n$ 是一个正整数. 称\\blank{100}为 $a$ 的 $n$ 次幂; 当 $a \\neq 0$ 时, 定义 $a^0=$\\blank{30}, $a^{-n}=$\\blank{50}.\\\\\n    (2) 整数指数幂满足如下的运算性质(设$a,b\\in \\mathbf{R}$, $a,b$均不为零, $s,t\\in \\mathbf{Z}$): \\textcircled{1} $a^s\\cdot a^t=$\\blank{50}; \\textcircled{2} $(a^s)^t=$\\blank{50}; \\textcircled{3} $(ab)^t=$\\blank{50}."
    },
    "B00076": {
        "lesson": "K0201",
        "objs": [
            "K0201002B",
            "K0201003B"
        ],
        "content": "实数的 $n$ 次方根:\\\\\n    (1) 一般地, 如果 $n$ 为大于 $1$ 的整数, 且 $x^n=a$, 那么 $x$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次方根. 式子 $\\sqrt[n]{a}$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次根式, $n$ 叫做\\blank{50}, $a$ 叫做\\blank{50}.\\\\\n    (2) 对于大于$1$的正整数$n$, $\\sqrt[n]{0}=$\\blank{30}.\\\\\n    (3) 已知$a$为实数. 当 $n$ 为正奇数($n\\ge 3$)时, $\\sqrt[n]{a^n}=$\\blank{50}; 当 $n$ 为正偶数时, $\\sqrt[n]{a^n}=$\\blank{50}."
    },
    "B00077": {
        "lesson": "K0109",
        "objs": [
            "K0109001B"
        ],
        "content": "求一元二次方程 $a x^2+b x+c=0(a \\neq 0)$ 的解集:\\\\\n由配方法可将原方程转化为$a x^2+b x+c=a(x+\\dfrac{b}{2 a})^2+\\dfrac{4 a c-b^2}{4 a}=0$, 进而转化为$(x+\\dfrac{b}{2 a})^2=\\dfrac{b^2-4 a c}{4 a^2}$, 因此原方程解的情况由判别式 $\\Delta=b^2-4 a c$ 的符号决定:\\\\\n\\textcircled{1} 当 $\\Delta>0$ 时, 原方程的解集为\\blank{150};\\\\\n\\textcircled{2} 当 $\\Delta=0$ 时, 原方程的解集为\\blank{50};\\\\\n\\textcircled{3} 当 $\\Delta<0$ 时, 原方程的解集为\\blank{100}."
    },
    "B00078": {
        "lesson": "K0109",
        "objs": [
            "K0109002B"
        ],
        "content": "``等式 $a_1 x^2+b_1 x+c_1=a_2 x^2+b_2 x+c_2$ 恒成立''意指该等式对\\blank{100}都成立; ``等式 $a_1 x^2+b_1 x+c_1=a_2 x^2+b_2 x+c_2$ 恒成立''的一个充要条件是\\blank{150}."
    },
    "B00079": {
        "lesson": "K0109",
        "objs": [
            "K0109003B"
        ],
        "content": "韦达定理 (根与系数的关系): 若一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$($a \\neq 0$) 的两个根为 $x_1$、$x_2$, 则 $x_1+x_2=$\\blank{50}, $x_1 x_2=$\\blank{50}.\\\\\n课本上给出的是因式分解法证明, 也可以用求根公式法证明:\\\\\n$\\Delta \\geq 0$ 时, $x_1+x_2=\\dfrac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2 a}+\\dfrac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2 a}=$\\blank{50}, $x_1 \\cdot x_2=\\dfrac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2 a}\\cdot \\dfrac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2 a}=\\dfrac{b^2-(b^2-4 a c)}{4 a^2}=\\dfrac{4 a c}{4 a^2}=$\\blank{50}."
    },
    "B00080": {
        "lesson": "K0110",
        "objs": [
            "K0110001B"
        ],
        "content": "两个实数 $a$、$b$ 可以通过差值比大小, 规定 $b>a \\Leftrightarrow$\\blank{50}; $b=a \\Leftrightarrow$\\blank{50}; $ b<a \\Leftrightarrow$\\blank{50}."
    },
    "B00081": {
        "lesson": "K0110",
        "objs": [
            "K0110001B",
            "K0110002B"
        ],
        "content": "不等式的性质:\\\\\n(1) \\blank{40}性: 设 $a$、$b$、$c \\in \\mathbf{R}$, 如果 $a>b$, $b>c$, 那么\\blank{50};\\\\\n(2) \\blank{40}性质: 设 $a$、$b$、$c \\in \\mathbf{R}$, 如果 $a>b$, 那么\\blank{50};\\\\\n(3) \\blank{40}性质: 设 $a$、$b$、$c \\in \\mathbf{R}$, 如果 $a>b$, $c>0$, 那么\\blank{50}; 如果 $a>b$, $c<0$, 那么\\blank{50}."
    },
    "B00082": {
        "lesson": "K0111",
        "objs": [
            "K0111001B"
        ],
        "content": "若 $a>b>0$, $c>d>0$, 则 $a c$\\blank{20}$b d$."
    },
    "B00083": {
        "lesson": "K0111",
        "objs": [
            "K0111001B"
        ],
        "content": "$n$ 是正整数, 若 $a>b>0$, 则 $a^n$\\blank{20}$b^n$."
    },
    "B00084": {
        "lesson": "K0111",
        "objs": [
            "K0111001B"
        ],
        "content": "$n$ 是正整数, 若 $a,b>0$, 且$a^n>b^n$, 则 $a$\\blank{20}$b$."
    },
    "B00085": {
        "lesson": "K0111",
        "objs": [
            "K0111002B"
        ],
        "content": "对任意的实数 $a$、$b$, 总有 $a^2+b^2$\\blank{20}$2 a b$, 且等号当且仅当\\blank{50}时成立."
    },
    "B00086": {
        "lesson": "K0111",
        "objs": [
            "K0111003B"
        ],
        "content": "对两个实数比较大小, 作差 (或作商) 是较为常用的方法. 对于两个实数$a,b$:\\\\\n作差: 为了说明$a>b$, 就是要说明$a-b>$\\blank{20};\\\\\n作商: 在$b$\\blank{30}的前提下, 为了说明$a>b$, 就是要说明$\\dfrac{a}{b}>$\\blank{20}."
    },
    "B00087": {
        "lesson": "K0112",
        "objs": [
            "K0112001B"
        ],
        "content": "在含有未知数的不等式中, 能使此不等式成立的未知数的值称为不等式的\\blank{30}, 一个不等式的\\blank{30}的全体所组成的集合称为该不等式的\\blank{50}, 求不等式\\blank{50}的过程称为\\blank{50}."
    },
    "B00088": {
        "lesson": "K0112",
        "objs": [
            "K0112001B"
        ],
        "content": "将多个含有同样的未知数的不等式联立起来, 即得到不等式组, 解不等式组就是求解不等式中的所有不等式的解集的\\blank{50}."
    },
    "B00089": {
        "lesson": "K0112",
        "objs": [
            "K0112002B"
        ],
        "content": "定义: 设 $a$、$b$、$c$ 为实数, 且 $a$\\blank{30}, 形如 $a x^2+b x+c>0$($<0$, $\\geq 0$, $\\leq 0$) 的不等式统称为\\blank{80}."
    },
    "B00090": {
        "lesson": "K0113",
        "objs": [
            "K0113001B"
        ],
        "content": "求解可以因式分解的二次式对应的一元二次不等式时, 可以将问题转化为考察若干由两个\\blank{50}组成的不等式组的解集."
    },
    "B00091": {
        "lesson": "K0113",
        "objs": [
            "K0113002B"
        ],
        "content": "设方程 $a x^2+b x+c=0$ 中 $a>0$, 其判别式 $\\Delta=b^2-4 a c$.\\\\\n(1) 当 $\\Delta<0$ 时, 不等式 $a x^2+b x+c>0$ 的解集是\\blank{50}; 不等式 $a x^2+b x+c\\ge 0$ 的解集是\\blank{50}; \\\\\n(2) 当 $\\Delta=0$ 时, 不等式 $a x^2+b x+c>0$ 的解集是\\blank{50}; 不等式 $a x^2+b x+c\\ge 0$ 的解集是\\blank{50}."
    },
    "B00092": {
        "lesson": "K0114",
        "objs": [
            "K0114001B"
        ],
        "content": "设方程 $a x^2+b x+c=0$ 中 $a>0$, 考虑与之对应的二次函数 $y=a x^2+b x+c$($a>0$), 抛物线开口向上. 不等式 $a x^2+b x+c>0$ 的解集实际上就是当函数值\\blank{30}时, 对应的自变量的取值范围. 结合二次函数的图像求解一元二次不等式充分体现了数形结合的思想方法. 设$f(x)=ax^2+bx+c$($a>0$), 填写下表:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline\n函数$y=f(x)$的图像 & \\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.7]\n\\draw [->] (-1,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = -0.5:2.5] plot (\\x,{pow(\\x-1,2)-0.5});\n\\filldraw ({1-sqrt(2)/2},0) circle (0.03) node [above] {$x_1$};\n\\filldraw ({1+sqrt(2)/2},0) circle (0.03) node [above] {$x_2$};\n\\end{tikzpicture} & \\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.7]\n\\draw [->] (-1,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = -0.5:2.5] plot (\\x,{pow(\\x-1,2)});\n\\draw (1,0) node [below] {$x_0$};\n\\end{tikzpicture} & \\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.7]\n\\draw [->] (-1,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [domain = -0.5:2.5] plot (\\x,{pow(\\x-1,2)+0.5});\n\\end{tikzpicture} \\\\\\hline\n方程$f(x)=0$的判别式$\\Delta$ & $\\Delta>0$ & $\\Delta=0$ & $\\Delta<0$\\\\\\hline\n不等式$f(x)>0$的解集 & & & \\\\ \\hline\n不等式$f(x)<0$的解集 & & & \\\\ \\hline\n不等式$f(x)\\ge 0$的解集 & & & \\\\ \\hline\n不等式$f(x)\\le 0$的解集 & & & \\\\ \\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}"
    },
    "B00093": {
        "lesson": "K0115",
        "objs": [
            "K0115001B"
        ],
        "content": "求解恒成立条件下一次或二次不等式含参数的取值范围问题时可使用以下方法(包括但不限于):\\\\\n\\textcircled{1} 利用一元二次方程根的判别式: 有关含有参数的一元二次不等式问题, 可把不等式转化成二次函数或二次方程的相关问题, 通过根的判别式或数形结合思想求解;\\\\\n\\textcircled{2} 参数大于 (大于等于) 最大值或小于 (小于等于) 最小值: 如果能够将参数分离出来, 可建立起明确的参数和变量 $x$ 的关系, 并且表达式的最大值或最小值存在, 那么就可以利用表达式的最大或最小值: 如 $a>f(x)$ 恒成立 $\\Leftrightarrow a>f(x)$的最\\blank{20}值; $a<f(x)$ 恒成立 $\\Leftrightarrow a<f(x)$的最\\blank{20}值."
    },
    "B00094": {
        "lesson": "K0115",
        "objs": [
            "K0115002B"
        ],
        "content": "若不等式 $a x^2+b x+c>0$ 的解集为 $(\\alpha, \\beta)$, $\\alpha<\\beta$, $\\alpha, \\beta$ 为实数, 则可得$a$\\blank{30}, $b=$\\blank{30}, $c=$\\blank{30}, 再根据具体需要求解."
    },
    "B00095": {
        "lesson": "K0116",
        "objs": [
            "K0116002B"
        ],
        "content": "求解分式不等式的一种步骤是: 移项、通分、化整式, 最后转化为一元一次或一元二次不等式(组), 求得不等式的解集."
    },
    "B00096": {
        "lesson": "K0116",
        "objs": [
            "K0116002B"
        ],
        "content": "在``化整式''的过程中, 常会用到如下的等价转化: $\\dfrac{f(x)}{g(x)}>0 \\Leftrightarrow$\\blank{50}; $\\dfrac{f(x)}{g(x)}<0 \\Leftrightarrow$\\blank{50}."
    },
    "B00097": {
        "lesson": "K0116",
        "objs": [
            "K0116002B"
        ],
        "content": "在``化整式''的过程中, 常会用到如下的等价转化: $\\dfrac{f(x)}{g(x)}\\geq 0 \\Leftrightarrow$\\blank{50}, 并且$g(x)$\\blank{30}; $\\dfrac{f(x)}{g(x)}\\leq 0 \\Leftrightarrow$\\blank{50}, 并且$g(x)$\\blank{30};"
    },
    "B00098": {
        "lesson": "K0117",
        "objs": [
            "K0117001B",
            "K0117002B"
        ],
        "content": "一般地, 求解绝对值不等式时, 要设法去绝对值符号. 去绝对值的方法有定义法、分类讨论、图像或数形结合法、平方法等."
    },
    "B00099": {
        "lesson": "K0117",
        "objs": [
            "K0117001B"
        ],
        "content": "在``去绝对值''时, 如果$a>0$, 常会用到如下的等价转化(注: 这里``$a>0$''的条件可以不加):\\\\\n$|f(x)|>a \\Leftrightarrow$\\blank{120}; $|f(x)|<a \\Leftrightarrow$\\blank{120};\\\\\n$|f(x)| \\geq a \\Leftrightarrow$\\blank{120}; $|f(x)| \\leq a \\Leftrightarrow$\\blank{120}."
    },
    "B00100": {
        "lesson": "K0117",
        "objs": [
            "K0117001B"
        ],
        "content": "在``去绝对值''时, 常会用到如下的等价转化:\\\\\n$|f(x)| \\geq g(x) \\Leftrightarrow$\\blank{120}; $|f(x)| \\leq g(x) \\Leftrightarrow$\\blank{120}."
    },
    "B00101": {
        "lesson": "K0118",
        "objs": [
            "K0118001B"
        ],
        "content": "对于正数 $a, b$, 称\\blank{50}为$a, b$ 的算术平均值, 称\\blank{50}为 $a, b$ 的几何平均值."
    },
    "B00102": {
        "lesson": "K0118",
        "objs": [
            "K0118002B"
        ],
        "content": "平均值不等式: 两个正数的算术平均值\\blank{30}它们的几何平均值, 即对任意的正数 $a, b$, 有\\blank{80}, 且等号当且仅当\\blank{50}时成立."
    },
    "B00103": {
        "lesson": "K0118",
        "objs": [
            "K0118003B"
        ],
        "content": "定理: 对任意的实数 $a, b$, 有 $(\\dfrac{a+b}{2})^2 \\geq$\\blank{50}, 且等号当且仅当\\blank{50}时成立."
    },
    "B00104": {
        "lesson": "K0119",
        "objs": [
            "K0119001B"
        ],
        "content": "当两个变化的正数 $a, b$ 的积 $a b$ 为定值时, 由 $\\dfrac{a+b}{2}\\geq \\sqrt{a b}$为定值知, 它们的和 $a+b$ 有最\\blank{20}值\\blank{50}, 当且仅当\\blank{50}时取最小值."
    },
    "B00105": {
        "lesson": "K0119",
        "objs": [
            "K0119001B"
        ],
        "content": "当两个变化的正数 $a, b$ 的和 $a+b$ 为定值时, 由$ab\\le (\\dfrac{a+b}{2})^2$为定值知, 它们的积 $a b$ 有最\\blank{20}值\\blank{50}, 当且仅当\\blank{50}时取最大值."
    },
    "B00106": {
        "lesson": "K0120",
        "objs": [
            "K0120001B"
        ],
        "content": "三角不等式: 对任意的实数 $a$、$b$ , 有 $|a+b|$\\blank{20}$|a|+|b|$, 且等号当且仅当\\blank{50}时成立."
    },
    "B00107": {
        "lesson": "K0120",
        "objs": [
            "K0120002B"
        ],
        "content": "三角不等式的一种常见变形: 在三角不等式中, 设$a=x-y$, $b=y$, 得$|x| \\le $\\blank{40}+\\blank{20}, 移项可得对任意的实数$x$、$y$, 总成立\\blank{20}$-$\\blank{20}$\\le$\\blank{40}. 等号当且仅当\\blank{50}时成立."
    },
    "B00108": {
        "lesson": "K0402",
        "objs": [
            "K0402001X",
            "K0402004X",
            "K0402006X"
        ],
        "content": "数列$\\{a_n\\}$是以$a_1$为首项, $d$为公差的等差数列，那么数列$\\{a_n\\}$的前$n$项和$S_n=$\\blank{90}(用$a_1,d,n$表示), $S_n=$\\blank{90}(用$a_1,a_n,n$表示)."
    },
    "B00109": {
        "lesson": "K0402",
        "objs": [
            "K0402005X"
        ],
        "content": "在数列$\\{a_n\\}$中,前$n$项和$S_n$与$a_n$的关系: 当$n=1$时, $a_1=S_1$; 当$n$\\blank{30}时, $a_n=$\\blank{60}."
    },
    "B00110": {
        "lesson": "K0403",
        "objs": [
            "K0403001X"
        ],
        "content": "若数列$\\{a_n\\}$从第二项起, 每一项与其前一项的比都等于同一个\\blank{30}, 这个数列就叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的\\blank{30}.($\\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=q$, $q\\neq 0$, $n\\ge 2$)"
    },
    "B00111": {
        "lesson": "K0403",
        "objs": [
            "K0403001X"
        ],
        "content": "$a,b,c$成等比数列  $\\Leftrightarrow b$是$a,c$的\\blank{60} $\\Leftrightarrow$ \\blank{60}."
    },
    "B00112": {
        "lesson": "K0403",
        "objs": [
            "K0403002X"
        ],
        "content": "数列$\\{a_n\\}$是以$a_1$为首项, $q$为公比的等比数列, 它的通项公式是\\blank{90}."
    },
    "B00113": {
        "lesson": "K0403",
        "objs": [
            "K0403004X"
        ],
        "content": "数列$\\{a_n\\}$是等比数列, 正整数$m,n,p,q$满足$m+n=p+q$, 那么$a_ma_n=$\\blank{60}."
    },
    "B00114": {
        "lesson": "K0404",
        "objs": [
            "K0404001X",
            "K0404002X",
            "K0403003X"
        ],
        "content": "数列$\\{a_n\\}$是以$a_1$为首项, $q$为公比的等比数列，$S_n$是数列$\\{a_n\\}$的前$n$项和, 当$q=1$时, $S_n=$\\blank{60}; 当$q\\neq 1$时, $S_n=$\\blank{90}(用$a_1,q,n$表示), $S_n=$\\blank{90}(用$a_1,a_n,q$表示)."
    },
    "B00115": {
        "lesson": "K0405",
        "objs": [
            "K0405001X"
        ],
        "content": "一个数列$\\{a_n\\}$中, 如果当$n$无限增大时, $a_n$的值越来越趋近于某个确定的数$a$, 那么称这个数列的极限为$a$, 记作\\blank{90}."
    },
    "B00116": {
        "lesson": "K0405",
        "objs": [
            "K0405002X",
            "K0405003X"
        ],
        "content": "以$a$为首项, $q$为公比的等比数列, 其前$n$项和为$S_n$, 当公比\\blank{90}时, 有$\\displaystyle\\sum_{i=1}^{+\\infty}aq^{i-1}=\\displaystyle\\lim_{n \\to +\\infty}S_n=$\\blank{90}."
    },
    "B00117": {
        "lesson": "K0406",
        "objs": [
            "K0406001X"
        ],
        "content": "按照\\blank{60}排列的一列数称为一个数列."
    },
    "B00118": {
        "lesson": "K0406",
        "objs": [
            "K0406001X"
        ],
        "content": "按数列的项数是有限还是无限来分, 可分为\\blank{60}, \\blank{60}."
    },
    "B00119": {
        "lesson": "K0406",
        "objs": [
            "K0406004X"
        ],
        "content": "从第$2$项起, 每一项都不小于其前一项(即对任意的正整数$n$, 都有$a_{n+1}\\ge a_{n}$成立)的数列$\\{a_n\\}$叫做\\blank{60};\\\\\n从第$2$项起, 每一项都大于其前一项(即对任意的正整数$n$, 都有$a_{n+1}> a_{n}$成立)的数列$\\{a_n\\}$叫做\\blank{60};\\\\\n从第$2$项起, 每一项都不大于其前一项(即对任意的正整数$n$, 都有\\blank{60}成立)的数列$\\{a_n\\}$叫做\\blank{60};\\\\\n从第$2$项起, 每一项都小于其前一项(即对任意的正整数$n$, 都有\\blank{60}成立)的数列$\\{a_n\\}$叫做\\blank{60}."
    },
    "B00120": {
        "lesson": "K0406",
        "objs": [
            "K0406004X"
        ],
        "content": "增数列和减数列统称为\\blank{60}, 各项均相等的数列叫做\\blank{60}."
    },
    "B00121": {
        "lesson": "K0406",
        "objs": [
            "K0406002X"
        ],
        "content": "给定数列$\\{a_n\\}$, 如果可以用一个关于序数$n$的公式来表示数列中的任一项$a_n$, 那么这个公式就称为数列$\\{a_n\\}$的\\blank{60}."
    },
    "B00122": {
        "lesson": "K0407",
        "objs": [
            "K0407001X"
        ],
        "content": "如果数列$\\{a_n\\}$的任一项$a_n$ 可由其前一项$a_{n-1}$(或前几项)通过一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列的一个\\blank{60}."
    },
    "B00123": {
        "lesson": "K0408",
        "objs": [
            "K0408003X"
        ],
        "content": "证明一个与正整数$n$有关的命题, 可按下列步骤进行:\\\\\n\\textcircled{1} 证明当$n$取第一个值$n_0$($n_0$为正整数)时, 命题成立;\\\\\n\\textcircled{2} 假设当\\blank{50}(\\blank{60}, $k$为正整数)时命题成立, 证明当\\blank{50}时命题也成立.\\\\\n那么, 命题对于从$n_0$开始的所有正整数$n$都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法."
    },
    "B00124": {
        "lesson": "K0409",
        "objs": [
            "K0409001X"
        ],
        "content": "``归纳—猜想—论证''的数学思想方法的应用: 先检验有限个$n$的值, 寻找一定规律, 再猜想一个结论, 而后用数学归纳法证明所猜想的结论正确."
    },
    "B00125": {
        "lesson": "K0410",
        "objs": [
            "K0410001X"
        ],
        "content": "具体地说, 记$A$为某个方程的解, 选定一个函数$f(x)$以及一个首项$x_1$, 然后利用递推公式$x_{n+1}=f(x_n)$, 重复地计算. 如果$x_n$越来越趋近于$A$, 即$\\displaystyle\\lim_{n \\to +\\infty}x_n=A$, 就得到一个求$A$的算法. 在此算法中,我们把首项$x_1$称为初值, 数列$\\{x_n\\}$称为迭代序列, 而这个方法就称为迭代算法."
    },
    "B00126": {
        "lesson": "K0410",
        "objs": [
            "K0410001X"
        ],
        "content": "计算$\\sqrt{2}$的巴比伦算法所构造的递推公式是\\blank{90}."
    },
    "B00127": {
        "lesson": "K0202",
        "objs": [
            "K0202001B",
            "K0201004B",
            "K0202003B"
        ],
        "content": "有理数指数幂:\\\\\n(1) 指数为零: $a^0=$\\blank{50}($a \\neq 0$);\\\\\n(2) 指数为负整数: $a^{-n}=$\\blank{50}($a \\neq 0$, $n$ 是正整数);\\\\\n(3) 指数为正分数: $a^{\\frac{m}{n}}=$\\blank{50}($m, n$是正整数, $n \\geq 2$, $a$使得该表达式有意义);\\\\\n(4) 指数为负分数: $a^{-\\frac{m}{n}}=$\\blank{50}($m, n$是正整数, $n \\geq 2$, $a$使得该表达式有意义)."
    },
    "B00128": {
        "lesson": "K0203",
        "objs": [
            "K0203001B",
            "K0203002B"
        ],
        "content": "实数指数幂的性质(已知$a,b$\\blank{20}, $s,t\\in \\mathbf{R}$):\\\\\n(1) $a^s a^t=$\\blank{50};\\\\\n(2) $(a^s)^t=$\\blank{50};\\\\\n(3) $(ab)^t=$\\blank{50}."
    },
    "B00129": {
        "lesson": "K0203",
        "objs": [
            "K0203003B"
        ],
        "content": "幂的基本不等式: 当$a>$\\blank{20}, $s>$\\blank{20}时, \\blank{20}$>$\\blank{20}."
    },
    "B00130": {
        "lesson": "K0204",
        "objs": [
            "K0204001B",
            "K0204002B"
        ],
        "content": "对数的定义:\\\\\n(1) 在 $a>0$, $a \\neq 1$, 且 $N>0$ 的条件下, 唯一满足\\blank{50}的数 $x$, 称为 $N$ 以 $a$ 为底的对数, 并用符号\\blank{50}表示, 而 $N$ 称为\\blank{30}.\\\\\n(2) 从定义出发可以自然地得到一些常用的对数等式($a>0$, $a\\ne 1$, $N>0$, $b\\in \\mathbf{R}$):\\\\\n\\textcircled{1} $a^{\\log _a N}=$\\blank{30}; \\textcircled{2} $\\log_a a^b=$\\blank{30}; \\textcircled{3} $\\log _a 1=$\\blank{50}; \\textcircled{4} $\\log _a a=$\\blank{50}."
    },
    "B00131": {
        "lesson": "K0204",
        "objs": [
            "K0204003B"
        ],
        "content": "常用对数与自然对数:\\\\\n(1) \\blank{100}称为常用对数, 记作\\blank{50};\\\\\n(2) 常数 $\\mathrm{e}$ 是\\blank{30}数, $\\mathrm{e} \\approx$\\blank{50}, \\blank{100}称为自然对数, 记作\\blank{50}."
    },
    "B00132": {
        "lesson": "K0205",
        "objs": [
            "K0205001B"
        ],
        "content": "对数运算的基本性质($a>0$, $a\\ne 1$, $M,N\\in (0,+\\infty)$, $c\\in \\mathbf{R}$):\\\\\n(1) 对数性质 1: $\\log_a(MN)=$\\blank{100};\\\\\n(2) 对数性质 2: $\\log_a\\dfrac{M}{N}=$\\blank{100};\\\\\n(3) 对数性质 3: $\\log_aN^c=$\\blank{100}. 特别地, $\\log _a \\sqrt[n]{M}=$\\blank{50}($n$ 为大于 $1$ 的正整数)."
    },
    "B00133": {
        "lesson": "K0206",
        "objs": [
            "K0206001B",
            "K0206003B"
        ],
        "content": "对数换底公式(已知$a>0$, $a\\ne 1$, $b>0$, $b\\ne 1$, $N>0$): $\\log_a N=\\dfrac{\\ \\blank{50}\\ }{\\ \\blank{50}\\ }$.\\\\\n推论1: $\\log _a b\\cdot$\\blank{50}$=1$;\\\\\n推论2: $\\log_{a^m}N^n=$\\blank{50}($m,n\\in \\mathbf{R}$)."
    },
    "B00134": {
        "lesson": "K0208",
        "objs": [
            "K0208002B"
        ],
        "content": "当幂函数的指数为正数时, 它在 $[0,+\\infty)$上是\\blank{50}(单调性); 当幂函数的指数为负数时, 它在 ($0,+\\infty$)上是\\blank{50}.(单调性)"
    },
    "B00135": {
        "lesson": "K0208",
        "objs": [
            "K0208003B"
        ],
        "content": "幂函数的图像必过定点\\blank{50}."
    },
    "B00136": {
        "lesson": "K0208",
        "objs": [
            "K0208005B"
        ],
        "content": "通过图像的平移可以直观地分析与幂函数密切相关的函数的一些性质. 例如: 函数 $y=\\dfrac{2 x+7}{x+3}$ 的图像可视为函数 $y=\\dfrac{1}{x}$ 的图像按\\blank{200}平移所得, 因此它在区间\\blank{100}与区间\\blank{100}上都是严格减函数, 值域为\\blank{100}."
    },
    "B00137": {
        "lesson": "K0209",
        "objs": [
            "K0209001B"
        ],
        "content": "当底数 $a$ 固定, 且\\blank{100}时, 等式 $y=a^x$ 确定了变量 $y$ 随变量变化的规律, 称为底为 $a$ 的指数函数."
    },
    "B00138": {
        "lesson": "K0209",
        "objs": [
            "K0209002B"
        ],
        "content": "指数函数的定义域为\\blank{50}."
    },
    "B00139": {
        "lesson": "K0210",
        "objs": [
            "K0210001B",
            "K0210002B",
            "K0210005B"
        ],
        "content": "函数的图像与性质密切相关, 对于指数函数而言:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|>{\\centering\\arraybackslash}p{5cm}|>{\\centering\\arraybackslash}p{5cm}|}\n\\hline\n$y=a^x$ & $a>1$ & $0<a<1$\\\\\n\\hline\n图像 & \\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [dashed] (-2,0.5) node [above] {$y=$\\blank{10}}-- (2,0.5);\n\\end{tikzpicture} & \\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1) -- (0,3) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\draw [dashed] (-2,0.5) node [above] {$y=$\\blank{10}}-- (2,0.5);\n\\end{tikzpicture} \\\\\n\\hline\n\\multirow{3}{*}{图像特征} & \\multicolumn{2}{l|}{\\textcircled{1} 图像都在$x$轴\\blank{30}, \\blank{80}于$x$轴, 但永不\\blank{30}.}\\\\ \n\\cline{2-3} & \\multicolumn{2}{l|}{\\textcircled{2} 过点\\blank{50}.}   \\\\ \n\\cline{2-3} & \\multicolumn{1}{l|}{\\textcircled{3} 由左至右图像\\blank{30}.} & \\multicolumn{1}{l|}{\\textcircled{3} 由左至右图像\\blank{30}.}  \\\\ \\hline\n\\multirow{3}{*}{函数性质} & \\multicolumn{2}{l|}{\\textcircled{1} 定义域为\\blank{50}, 函数值恒\\blank{30}.}\\\\ \n\\cline{2-3} & \\multicolumn{2}{l|}{\\textcircled{2} 当$x=$\\blank{30}时, $y=$\\blank{30}.}   \\\\ \n\\cline{2-3} & \\multicolumn{1}{l|}{\\textcircled{3} 在$\\mathbf{R}$上是\\blank{50}函数.} & \\multicolumn{1}{l|}{\\textcircled{3} 在$\\mathbf{R}$上是\\blank{50}函数.}  \\\\ \\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}"
    },
    "B00140": {
        "lesson": "K0211",
        "objs": [
            "K0211002B"
        ],
        "content": "如图表示几个地区的某物种关于时间的图形, 找出与下面每个描述相符的图形并描述剩余图形.\\\\\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (0,0) -- (4,0) node [right] {时间(年)};\n\\draw [->] (0,0) -- (0,4) node [above] {物种数量};\n\\draw [domain = 0:{ln(4)/ln(1.08)/8}] plot (\\x,{exp(8*\\x*ln(1.08))}) node [above] {\\textcircled{1}};\n\\draw [domain = 0:{ln(4)/ln(1.05)/8}] plot (\\x,{exp(8*\\x*ln(1.05))}) node [above] {\\textcircled{2}};\n\\draw (0,1.2) -- (4,2.5) node [right] {\\textcircled{3}};\n\\draw [domain = 0:4] plot (\\x,{3.5*exp(8*\\x*ln(0.95))}) node [right] {\\textcircled{4}};\n\\draw (0,1.8) -- (4,1.8) node [right] {\\textcircled{5}};\n\\draw (0,2.3) -- (4,1.3) node [right] {\\textcircled{6}};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}\n(1) 物种数量每年增长 $5 \\%$: \\blank{30};\\\\\n(2) 物种数量每年增长 $8 \\%$: \\blank{30};\\\\\n(3) 物种数量每年增加 $5000$ 只: \\blank{30};\\\\\n(4) 物种数量保持不变的: \\blank{30};\\\\\n剩余两个图形分别可以描述为:\\blank{150}, \\blank{150}."
    },
    "B00141": {
        "lesson": "K0212",
        "objs": [
            "K0212001B"
        ],
        "content": "当底数 $a$ 固定, 且\\blank{80}时, $x$ 以 $a$ 为底的对数确定了变量 $y$ 随变量\\blank{30}变化的规律, 称为底为 $a$ 的对数函数."
    },
    "B00142": {
        "lesson": "K0212",
        "objs": [
            "K0212002B"
        ],
        "content": "对数函数的定义域为\\blank{50}."
    },
    "B00143": {
        "lesson": "K0213",
        "objs": [
            "K0213005B",
            "K0213006B"
        ],
        "content": "对数函数与同底的指数函数互为\\blank{50}, 它们的图像间的关系是\\blank{100}."
    },
    "B00144": {
        "lesson": "K0213",
        "objs": [
            "K0213007B"
        ],
        "content": "函数的图像与性质密切相关, 对于对数函数而言:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|>{\\centering\\arraybackslash}p{5cm}|>{\\centering\\arraybackslash}p{5cm}|}\n\\hline\n$y=\\log_a x$ & $a>1$ & $0<a<1$\\\\\n\\hline\n图像 & \\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-1,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\filldraw (0.5,0) node [below] {$1$};\n\\end{tikzpicture} & \\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-1,0) -- (3,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\filldraw (0.5,0) node [below] {$1$};\n\\end{tikzpicture} \\\\\n\\hline\n\\multirow{3}{*}{图像特征} & \\multicolumn{2}{l|}{\\textcircled{1} 图像都在$y$轴\\blank{30}, \\blank{80}于$y$轴, 但永不\\blank{30}.}\\\\ \n\\cline{2-3} & \\multicolumn{2}{l|}{\\textcircled{2} 过点\\blank{50}.}   \\\\ \n\\cline{2-3} & \\multicolumn{1}{l|}{\\textcircled{3} 由左至右图像\\blank{30}.} & \\multicolumn{1}{l|}{\\textcircled{3} 由左至右图像\\blank{30}.}  \\\\ \\hline\n\\multirow{3}{*}{函数性质} & \\multicolumn{2}{l|}{\\textcircled{1} 定义域为\\blank{50}.}\\\\ \n\\cline{2-3} & \\multicolumn{2}{l|}{\\textcircled{2} 当$x=$\\blank{30}时, $y=$\\blank{30}.}   \\\\ \n\\cline{2-3} & \\multicolumn{1}{l|}{\\textcircled{3} 在区间\\blank{30}上是\\blank{30}函数.} & \\multicolumn{1}{l|}{\\textcircled{3} 在区间\\blank{30}上是\\blank{30}函数.}  \\\\ \\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}"
    },
    "B00145": {
        "lesson": "K0214",
        "objs": [
            "K0214002B"
        ],
        "content": "当$a>1$, $b\\in \\mathbf{R}$时, 关于$x$的不等式$\\log_a x>b$的解集为\\blank{50}.\\\\\n这是因为当$\\log_a$\\blank{50}$=b$. 当$x\\in $\\blank{50}时, 因为函数$y=\\log_a x$是\\blank{50}函数, 所以$\\log_a x>b$, 这表明区间\\blank{50}中的实数$x$都是解; 而当$x\\in $\\blank{50}时, 同样因为函数$y=\\log_a x$是\\blank{50}函数, 所以$\\log_a x\\le b$, 这表明区间\\blank{50}中的实数$x$都不是解."
    },
    "B00146": {
        "lesson": "K0214",
        "objs": [
            "K0214002B"
        ],
        "content": "当$0<a<1$, $b\\in \\mathbf{R}$时, 关于$x$的不等式$\\log_a x>b$的解集为\\blank{50}.\\\\\n这是因为当$\\log_a$\\blank{50}$=b$. 当$x\\in $\\blank{50}时, 因为函数$y=\\log_a x$是\\blank{50}函数, 所以$\\log_a x>b$, 这表明区间\\blank{50}中的实数$x$都是解; 而当$x\\in $\\blank{50}时, 同样因为函数$y=\\log_a x$是\\blank{50}函数, 所以$\\log_a x\\le b$, 这表明区间\\blank{50}中的实数$x$都不是解."
    },
    "B00147": {
        "lesson": "K0314",
        "objs": [
            "K0314001B"
        ],
        "content": "三角形面积公式: $S_{\\triangle}=$\\blank{50}$=$\\blank{50}$=$\\blank{50}."
    },
    "B00148": {
        "lesson": "K0314",
        "objs": [
            "K0314002B"
        ],
        "content": "正弦定理: \\blank{50}$=$\\blank{50}$=$\\blank{50}."
    },
    "B00149": {
        "lesson": "K0315",
        "objs": [
            "K0315001B",
            "K0315002B"
        ],
        "content": "余弦定理: $a^2=$\\blank{100}; $b^2=$\\blank{100}; $c^2=$\\blank{100}."
    },
    "B00150": {
        "lesson": "K0315",
        "objs": [
            "K0315001B",
            "K0315002B"
        ],
        "content": "余弦定理变形: $\\cos A=$\\blank{50}; $\\cos B=$\\blank{50}; $\\cos C=$\\blank{50}."
    },
    "B00151": {
        "lesson": "K0316",
        "objs": [
            "K0308003B"
        ],
        "content": "已知 $a \\in[0,1]$, $\\arcsin a$ 表示\\blank{100}."
    },
    "B00152": {
        "lesson": "K0316",
        "objs": [
            "K0308003B"
        ],
        "content": "已知 $a \\in[0,1]$, $\\arccos a$ 表示\\blank{100}."
    },
    "B00153": {
        "lesson": "K0316",
        "objs": [
            "K0308003B"
        ],
        "content": "已知 $a \\in[0,+\\infty)$, $\\arctan a$ 表示\\blank{100}."
    },
    "B00154": {
        "lesson": "K0317",
        "objs": [
            "K0317002B"
        ],
        "content": "测量问题中的有关名词和方位表示, 如: 仰角, 俯角, 方位角等."
    },
    "B00155": {
        "lesson": "K0317",
        "objs": [
            "K0317002B"
        ],
        "content": "将测量问题转化为解三角形问题后, 灵活运用正弦定理和余弦定理求解三角形."
    },
    "B00156": {
        "lesson": "K0318",
        "objs": [
            "K0318001B"
        ],
        "content": "正弦函数 $y=\\sin x$ 的定义域是\\blank{50}."
    },
    "B00157": {
        "lesson": "K0318",
        "objs": [
            "K0318002B",
            "K0318003B"
        ],
        "content": "函数 $y=\\sin x$, $x \\in[0,2 \\pi]$ 的大致图像:\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\foreach \\i in {-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5}\n{\\draw [gray!50, dashed] (0,\\i) -- (7,\\i);};\n\\draw (0,1) node [left] {$1$};\n\\foreach \\i in {0,pi/2,pi,3*pi/2,2*pi}\n{\\draw [gray!50, dashed] (\\i,-1.5) -- (\\i,1.5);};\n\\draw (pi,0) node [below] {$\\pi$};\n\\draw [->] (0,0) -- (7,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}"
    },
    "B00158": {
        "lesson": "K0318",
        "objs": [
            "K0318002B",
            "K0318003B"
        ],
        "content": "函数 $y=\\sin x$, $x \\in \\mathbf{R}$ 的大致图像:\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\foreach \\i in {-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5}\n{\\draw [gray!50, dashed] (-7,\\i) -- (7,\\i);};\n\\draw (0,1) node [left] {$1$};\n\\foreach \\i in {-2*pi,-3*pi/2,-pi,-pi/2,0,pi/2,pi,3*pi/2,2*pi}\n{\\draw [gray!50, dashed] (\\i,-1.5) -- (\\i,1.5);};\n\\draw (pi,0) node [below] {$\\pi$};\n\\draw [->] (-7,0) -- (7,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}"
    },
    "B00159": {
        "lesson": "K0319",
        "objs": [
            "K0319003B"
        ],
        "content": "对于函数 $y=f(x)$, 如果存在一个非零的常数 $T$, 使得当 $x$ 取其定义域 $D$ 中\\blank{50}时, 有\\blank{50}$\\in D$, 且\\blank{50}成立 ,那么函数 $y=f(x)$ 就叫做周期函数, 而这个非零常数 $T$ 就叫做函数 $y=f(x)$ 的一个周期."
    },
    "B00160": {
        "lesson": "K0319",
        "objs": [
            "K0319002B",
            "K0319003B"
        ],
        "content": "对于一个周期函数 $y=f(x)$, 如果在它的所有周期中存在一个\\blank{50}, 那么这个数就叫做函数 $y=f(x)$ 的最小正周期."
    },
    "B00161": {
        "lesson": "K0319",
        "objs": [
            "K0319004B"
        ],
        "content": "函数 $y=\\sin x$ 的最小正周期是\\blank{50}."
    },
    "B00162": {
        "lesson": "K0319",
        "objs": [
            "K0319005B"
        ],
        "content": "设 $\\omega>0$, $\\varphi \\in \\mathbf{R}$, 函数 $y=\\sin (\\omega x+\\varphi)$ 的最小正周期是\\blank{50}."
    },
    "B00163": {
        "lesson": "K0320",
        "objs": [
            "K0320001B"
        ],
        "content": "正弦函数 $y=\\sin x$, $x \\in \\mathbf{R}$ 的值域是\\blank{50}."
    },
    "B00164": {
        "lesson": "K0320",
        "objs": [
            "K0320001B"
        ],
        "content": "正弦函数 $y=\\sin x$, $x \\in \\mathbf{R}$ 的最大值是\\blank{50}, 当且仅当 $x=$\\blank{100}取到最大值; 最小值是\\blank{50}, 当且仅当 $x=$\\blank{100}时取到最小值."
    },
    "B00165": {
        "lesson": "K0321",
        "objs": [
            "K0321001B"
        ],
        "content": "正弦函数 $y=\\sin x$ 的奇偶性是\\blank{50}."
    },
    "B00166": {
        "lesson": "K0321",
        "objs": [
            "K0321002B"
        ],
        "content": "正弦函数 $y=\\sin x$ 在其定义域内\\blank{50}(填``是''或``不是'')单调函数."
    },
    "B00167": {
        "lesson": "K0321",
        "objs": [
            "K0321002B"
        ],
        "content": "正弦函数 $y=\\sin x$ 的单调增区间是\\blank{100}; 单调减区间是\\blank{100}."
    },
    "B00168": {
        "lesson": "K0322",
        "objs": [
            "K0322001B"
        ],
        "content": "余弦函数 $y=\\cos x$ 的定义域是\\blank{50}."
    },
    "B00169": {
        "lesson": "K0322",
        "objs": [
            "K0322002B"
        ],
        "content": "函数 $y=\\cos x$, $x \\in[0,2 \\pi]$ 的大致图像:\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\foreach \\i in {-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5}\n{\\draw [gray!50, dashed] (0,\\i) -- (7,\\i);};\n\\draw (0,1) node [left] {$1$};\n\\foreach \\i in {0,pi/2,pi,3*pi/2,2*pi}\n{\\draw [gray!50, dashed] (\\i,-1.5) -- (\\i,1.5);};\n\\draw (pi,0) node [below] {$\\pi$};\n\\draw [->] (0,0) -- (7,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}"
    },
    "B00170": {
        "lesson": "K0322",
        "objs": [
            "K0322002B"
        ],
        "content": "函数 $y=\\cos x$, $x \\in \\mathbf{R}$ 的大致图像:\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\foreach \\i in {-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5}\n{\\draw [gray!50, dashed] (-7,\\i) -- (7,\\i);};\n\\draw (0,1) node [left] {$1$};\n\\foreach \\i in {-2*pi,-3*pi/2,-pi,-pi/2,0,pi/2,pi,3*pi/2,2*pi}\n{\\draw [gray!50, dashed] (\\i,-1.5) -- (\\i,1.5);};\n\\draw (pi,0) node [below] {$\\pi$};\n\\draw [->] (-7,0) -- (7,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}"
    },
    "B00171": {
        "lesson": "K0322",
        "objs": [
            "K0322002B"
        ],
        "content": "余弦函数的性质:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|p{25em}|}\\hline 周期性 & \\\\\n\\hline 值域 & \\\\\n\\hline 最大值 & \\\\\n\\hline 最小值 & \\\\\n\\hline 奇偶性 & \\\\\n\\hline 单调增区间 & \\\\\n\\hline 单调减区间 & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}"
    },
    "B00172": {
        "lesson": "K0323",
        "objs": [
            "K0323003B"
        ],
        "content": "``五点法''作图: 用五点法作函数 $y=A \\sin (\\omega x+\\varphi)$($A>0$, $\\omega>0$) 在一个周期内的图像时, 所取五个``关键点''的坐标为\\blank{200}."
    },
    "B00173": {
        "lesson": "K0323",
        "objs": [
            "K0323003B"
        ],
        "content": "函数 $y=A \\sin (\\omega x+\\varphi)$($A>0$, $\\omega>0$) 图像变换的一般方法.\\\\\n(1) 当 $A>1$ 时,将 $y=\\sin x$ 图像上每一点的纵坐标\\blank{50}且横坐标不变; 当 $0<A<1$ 时,将 $y=\\sin x$ 图像上每一点的纵坐标\\blank{50}且横坐标不变, 就得到 $y=A \\sin x$ 的图像.\\\\\n(2) 当 $\\omega>1$ 时, 将 $y=\\sin x$ 图像上每一点的横坐标\\blank{50}且纵坐标不变; 当 $0<\\omega<1$时, 将 $y=\\sin x$ 图像上每一点的横坐标\\blank{50}且纵坐标不变, 就得到 $y=\\sin \\omega x$ 的图像.\\\\\n(3) 当 $\\varphi>0$ 时, 将 $y=\\sin x$ 图像上的每一点向\\blank{50}平移\\blank{50}个单位; 当 $\\varphi<0$ 时, 将 $y=\\sin x$ 图像上的每一点向\\blank{50}平移\\blank{50}个单位, 就得到 $y=\\sin (x+\\varphi)$ 的图像."
    },
    "B00174": {
        "lesson": "K0323",
        "objs": [
            "K0320331B"
        ],
        "content": "函数 $y=A \\sin (\\omega x+\\varphi)$($A>0$, $\\omega>0$) 的振幅为\\blank{50}, 周期 $T$ 为\\blank{50}, 频率 $f$ 为\\blank{50}, 圆频率为\\blank{50}, 相位为\\blank{50}, 初始相位为\\blank{50}."
    },
    "B00175": {
        "lesson": "K0324",
        "objs": [
            "K0324001B"
        ],
        "content": "正切函数 $y=\\tan x$ 的定义域是\\blank{100}."
    },
    "B00176": {
        "lesson": "K0324",
        "objs": [
            "K0324002B",
            "K0324003B"
        ],
        "content": "函数 $y=\\tan x$, $x \\in(-\\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{\\pi}{2})$ 的大致图像:\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.5]\n\\foreach \\i in {-pi/2,0,pi/2}\n{\\draw [gray!50,dashed] (\\i,-4) -- (\\i,4);};\n\\draw (pi/2,0) node [below] {$\\frac{\\pi}{2}$};\n\\foreach \\i in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}\n{\\draw [gray!50,dashed] (-2,\\i) -- (2,\\i);};\n\\draw (0,1) node [left] {$1$};\n\\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-4) -- (0,4) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below right] {$O$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}"
    },
    "B00177": {
        "lesson": "K0324",
        "objs": [
            "K0324002B",
            "K0324003B"
        ],
        "content": "函数 $y=\\tan x$ 的大致图像:\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex, scale = 0.5]\n\\foreach \\i in {-2*pi,-1.5*pi,-pi,-pi/2,0,pi/2,pi,1.5*pi,2*pi}\n{\\draw [gray!50,dashed] (\\i,-4) -- (\\i,4);};\n\\draw (pi/2,0) node [below] {$\\frac{\\pi}{2}$};\n\\foreach \\i in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}\n{\\draw [gray!50,dashed] (-7,\\i) -- (7,\\i);};\n\\draw (0,1) node [left] {$1$};\n\\draw [->] (-7,0) -- (7,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-4) -- (0,4) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below right] {$O$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}"
    },
    "B00178": {
        "lesson": "K0324",
        "objs": [
            "K0324004B",
            "K0324005B",
            "K0324006B"
        ],
        "content": "正切函数的性质:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|p{20em}|}\\hline 周期性 & \\\\\n\\hline 值域 & \\\\\n\\hline 奇偶性 & \\\\\n\\hline 单调区间 & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}"
    },
    "B00179": {
        "lesson": "K0501",
        "objs": [
            "K0501001B"
        ],
        "content": "数量(标量): 只具有\\blank{30}的量;\\\\\n向量: 既有\\blank{30}又有\\blank{30}的量; 向量由两个要素定义: 一是\\blank{30}, 一是\\blank{30}."
    },
    "B00180": {
        "lesson": "K0501",
        "objs": [
            "K0501001B"
        ],
        "content": "有向线段: 指定了方向的线段. 向量的几何表示: 常用\\blank{50}, 线段的长度表示向量的\\blank{30}, 线段的方向表示向量的\\blank{30}."
    },
    "B00181": {
        "lesson": "K0501",
        "objs": [
            "K0501002B"
        ],
        "content": "向量的代数表示: 通常用\\blank{150}, 或\\blank{100}表示."
    },
    "B00182": {
        "lesson": "K0501",
        "objs": [
            "K0501003B"
        ],
        "content": "向量的模: 向量的\\blank{30}, 它是个\\blank{30}; 模为 $0$ 的向量叫做\\blank{30}, 记作\\blank{30}, 它具有\\blank{30}方向; 模为 $1$ 的向量叫做\\blank{30}."
    },
    "B00183": {
        "lesson": "K0501",
        "objs": [
            "K0501004B"
        ],
        "content": "平行的向量: \\blank{80}的向量; 规定: 零向量与任意向量都是平行的向量."
    },
    "B00184": {
        "lesson": "K0501",
        "objs": [
            "K0501005B",
            "K0501006B"
        ],
        "content": "相等的向量: \\blank{30}且\\blank{50}的向量; 零向量都相等.\\\\\n(互为) 负向量: 两个\\blank{30}且\\blank{50}的向量; 零向量的负向量还是零向量."
    },
    "B00185": {
        "lesson": "K0502",
        "objs": [
            "K0502001B",
            "K0502002B",
            "K0502003B",
            "K0502004B"
        ],
        "content": "向量的加法法则及运算律: 两个不平行向量的加法适用\\blank{50}法则; 两个向量的加法适用\\blank{30}法则; 多个向量的加法满足\\blank{30}律和\\blank{30}律.\\\\\n若干个起点、终点依次相接的向量之和, 是以\\blank{50}为起点, \\blank{50}为终点的向量, 该规则称为``\\blank{30}规则''."
    },
    "B00186": {
        "lesson": "K0502",
        "objs": [
            "K0502005B",
            "K0502006B"
        ],
        "content": "向量的减法: 是向量加法的\\blank{30}, 向量的减法可以转化为向量加法."
    },
    "B00187": {
        "lesson": "K0503",
        "objs": [
            "K0503001B"
        ],
        "content": "实数与向量的乘法(简称向量的数乘): 实数 $\\lambda$ 与向量 $\\overrightarrow{a}$ 的乘积是一个\\blank{30}, 记作 $\\lambda \\overrightarrow{a}$. 它的模 $|\\lambda \\overrightarrow{a}|=|\\lambda||\\overrightarrow{a}|$; 当 $\\lambda>0$ 时, $\\lambda \\overrightarrow{a}$ 的方向与 $\\overrightarrow{a}$ \\blank{30}, 当 $\\lambda<0$ 时, $\\lambda \\overrightarrow{a}$ 的方向与 $\\overrightarrow{a}$ \\blank{30}. 特别的, 当 \\blank{30} 或 \\blank{30} 时, $\\lambda \\overrightarrow{a}=\\overrightarrow{0}$."
    },
    "B00188": {
        "lesson": "K0503",
        "objs": [
            "K0503001B"
        ],
        "content": "对于非零向量 $\\overrightarrow{a}$ 与向量 $\\overrightarrow{b}$, $\\overrightarrow{a}\\parallel\\overrightarrow{b}$的一个\\blank{30}条件是: 存在实数 $\\lambda$, 使得 $\\overrightarrow{b}=\\lambda \\overrightarrow{a}$."
    },
    "B00189": {
        "lesson": "K0503",
        "objs": [
            "K0503003B"
        ],
        "content": "向量 $\\overrightarrow{a}$ 的单位向量: 指与非零向量 $\\overrightarrow{a}$ \\blank{30}的单位向量, 记作 $\\overrightarrow{a_0}$, 即$\\overrightarrow{a_0}=$\\blank{30}."
    },
    "B00190": {
        "lesson": "K0503",
        "objs": [
            "K0503004B"
        ],
        "content": "向量的线性运算: 指向量的\\blank{30}、\\blank{30}以及向量的\\blank{30};\\\\\n向量的线性组合: 指从一个或几个向量出发, 通过\\blank{30}运算得到的新向量."
    },
    "B00191": {
        "lesson": "K0504",
        "objs": [
            "K0503003B"
        ],
        "content": "向量的投影: 向量 $\\overrightarrow{AB}$ 的起点 $A$ 和终点 $B$ 在直线 $l$ 上的投影分别为点 $A'$ 和 $B'$, 那么向量 $\\overrightarrow{A'B'}$ 叫做\\blank{150}, 简称为\\blank{30}."
    },
    "B00192": {
        "lesson": "K0504",
        "objs": [
            "K0503001B"
        ],
        "content": "非零向量的夹角: 以一点 $O$ 为起点, 作 $\\overrightarrow{OA}=\\overrightarrow{a}$, $\\overrightarrow{OB}=\\overrightarrow{b}$, 射线 $OA$、$OB$ 的夹角称为向量 $\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}$ 的夹角, 记作 $\\langle\\overrightarrow{a}, \\overrightarrow{b}\\rangle$, 它的取值范围为 \\blank{30}. 特别地, 当 $\\langle\\overrightarrow{a}, \\overrightarrow{b}\\rangle=\\dfrac{\\pi}{2}$ 时, 称 $\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}$ 垂直, 记作 $\\overrightarrow{a}\\perp \\overrightarrow{b}$."
    },
    "B00193": {
        "lesson": "K0504",
        "objs": [
            "K0503002B",
            "K0504001B"
        ],
        "content": "向量的数量投影: 实数 $|\\overrightarrow{b}| \\cos \\langle\\overrightarrow{a}, \\overrightarrow{b}\\rangle$ 称为\\blank{150}, 它是个\\blank{30}."
    },
    "B00194": {
        "lesson": "K0504",
        "objs": [
            "K0503003B",
            "K0503005B"
        ],
        "content": "零向量在任何非零向量方向上的投影是\\blank{50}, 相应的数量投影是 \\blank{30}."
    },
    "B00195": {
        "lesson": "K0504",
        "objs": [
            "K0503006B"
        ],
        "content": "向量的数量积: 设 $\\overrightarrow{a}$ 与 $\\overrightarrow{b}$ 是两个非零向量, 定义 $\\overrightarrow{a}$ 与 $\\overrightarrow{b}$ 的数量积 $\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}=$\\blank{80}. 数量积也称标量积、内积、点积, 其中记号``$\\cdot$''不可以省略, 也不可以用``$\\times$''代替. 任意向量与零向量的数量积规定为\\blank{30}, 零向量与任意向量的数量积也规定为\\blank{30}."
    },
    "B00196": {
        "lesson": "K0504",
        "objs": [
            "K0503006B"
        ],
        "content": "约定: $\\overrightarrow{a}^2=\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{a}=|\\overrightarrow{a}|^2$."
    },
    "B00197": {
        "lesson": "K0505",
        "objs": [
            "K0505003B"
        ],
        "content": "向量的数量积运算满足如下运算律: 设 $\\overrightarrow{a}$ 与 $\\overrightarrow{b}, \\overrightarrow{c}$ 是向量, $\\lambda$ 是实数, 则:\\\\\n(1) 向量数量积的交换律: \\blank{150};\\\\\n(2) 向量数量积对数乘的结合律: \\blank{150};\\\\\n(3) 向量数量积对加法的分配律: \\blank{150}."
    },
    "B00198": {
        "lesson": "K0505",
        "objs": [
            "K0505005B"
        ],
        "content": "向量夹角的公式: $\\cos \\langle\\overrightarrow{a}, \\overrightarrow{b}\\rangle=$\\blank{30}."
    },
    "B00199": {
        "lesson": "K0505",
        "objs": [
            "K0505001B"
        ],
        "content": "对于任意的平面向量$\\overrightarrow{a}$与$\\overrightarrow{b}$, $\\overrightarrow{a}\\perp \\overrightarrow{b}\\Leftrightarrow\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}=$\\blank{30}."
    },
    "B00200": {
        "lesson": "K0505",
        "objs": [
            "K0505002B"
        ],
        "content": "对于任意的平面向量$\\overrightarrow{a}$与$\\overrightarrow{b}$, $|\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}| \\leq|\\overrightarrow{a}||\\overrightarrow{b}|$, 当且仅当 \\blank{30} 时等号成立.\\\\\n当 $\\overrightarrow{a}$、$\\overrightarrow{b}$(平行且)同向时, $\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}=$\\blank{30}.\\\\\n当 $\\overrightarrow{a}$、$\\overrightarrow{b}$(平行且)反向时, $\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}=$\\blank{30}."
    },
    "B00201": {
        "lesson": "K0506",
        "objs": [
            "K0506001B"
        ],
        "content": "平面向量基本定理: 如果 $\\overrightarrow{e_1}\\cdot \\overrightarrow{e_2}$ 是平面上两个\\blank{30}的向量, 那么该平面上的任意向量 $\\overrightarrow{a}$, 都可唯一地表示为 $\\overrightarrow{e_1}\\cdot \\overrightarrow{e_2}$ 的线性组合, 即存在唯一的一对实数 $\\lambda$、$\\mu$, 使得 $\\overrightarrow{a}=\\lambda \\overrightarrow{e_1}+\\mu \\overrightarrow{e_2}$."
    },
    "B00202": {
        "lesson": "K0506",
        "objs": [
            "K0506002B"
        ],
        "content": "平面向量的一个基: 给定平面上的一组向量, 如果平面上的任何向量都可以\\blank{30}表示成这组向量的线性组合, 那么称这组向量是\\blank{30}.\\\\\n所以平面向量基本定理也可以表述成: 平面上任意两个不平行的向量都可以组成\\blank{30}."
    },
    "B00203": {
        "lesson": "K0507",
        "objs": [
            "K0507001B",
            "K0507002B"
        ],
        "content": "$\\overrightarrow{a}$ 关于 $\\overrightarrow{e_1}$与$\\overrightarrow{e_2}$ 的分解: 指把向量 $\\overrightarrow{a}$ 写成平面上两个不平行向量 $\\overrightarrow{e_1}$与$\\overrightarrow{e_2}$ 的线性组合. 特别地, 当 \\blank{30}时, $\\overrightarrow{a}$ 关于 $\\overrightarrow{e_1}$与$\\overrightarrow{e_2}$ 的分解称为向量 $\\overrightarrow{a}$ 的\\blank{30}分解."
    },
    "B00204": {
        "lesson": "K0507",
        "objs": [
            "K0507003B"
        ],
        "content": "向量 $\\overrightarrow{a}$ 的坐标分解、坐标表示: 设向量 $\\overrightarrow{i}, \\overrightarrow{j}$ 是 $x$ 轴正方向、 $y$ 轴正方向上的单位向量, 向量 $\\overrightarrow{a}$ 关于 $\\overrightarrow{i}, \\overrightarrow{j}$ 的正交分解 \\blank{30}称为向量 $\\overrightarrow{a}$ 在这个平面直角坐标系上的坐标分解,  \\blank{30}称为向量 $\\overrightarrow{a}$ 的坐标表示."
    },
    "B00205": {
        "lesson": "K0507",
        "objs": [
            "K0507004B",
            "K0507005B",
            "K0507008B"
        ],
        "content": "向量 $\\overrightarrow{a}$ 的位置向量: 设平面内一点 $A$ 的坐标为 $(x, y)$, 从原点 $O$ 出发的向量 $\\overrightarrow{OA}=\\overrightarrow{a}=$\\blank{30}称为向量 $\\overrightarrow{a}$ 的位置向量, 且 $|\\overrightarrow{a}|=|(x, y)|=$\\blank{30}."
    },
    "B00206": {
        "lesson": "K0507",
        "objs": [
            "K0507006B",
            "K0507007B"
        ],
        "content": "向量的线性运算转化为坐标运算: 设 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$ 均是坐标表示的向量, $\\lambda$ 是实数, 则:\\\\\n(1) $(x_1, y_1) \\pm(x_2, y_2)=$\\blank{100};\\\\\n(2) $\\lambda(x, y)=$\\blank{50}."
    },
    "B00207": {
        "lesson": "K0507",
        "objs": [
            "K0507005B",
            "K0507007B"
        ],
        "content": "由向量的起点、终点坐标求得向量的坐标:\n对平面上的任意两点 $P(x_1, y_1)$、$Q(x_2, y_2)$, 由向量 $\\overrightarrow{OP}=(x_1, y_1)$、$\\overrightarrow{OQ}=(x_2, y_2)$, 得 $\\overrightarrow{PQ}=\\overrightarrow{OQ}-\\overrightarrow{OP}=(x_2, y_2)-(x_1, y_1)=$\\blank{100}."
    },
    "B00208": {
        "lesson": "K0508",
        "objs": [
            "K0508001B"
        ],
        "content": "向量数量积的坐标表示: 给定两个坐标表示的向量 $\\overrightarrow{a}=(x_1, y_1)$, $\\overrightarrow{b}=(x_2, y_2)$, 则\n$\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}=(x_1, y_1) \\cdot(x_2, y_2)=(x_1 \\overrightarrow{i}+y_1 \\overrightarrow{j}) \\cdot(x_2 \\overrightarrow{i}+y_2 \\overrightarrow{j}) =(x_1 x_2) \\overrightarrow{i}^2+(x_1 y_2+x_2 y_1) \\overrightarrow{i}\\cdot \\overrightarrow{j}+(y_1 y_2) \\overrightarrow{j}^2$, 由$\\overrightarrow{i}\\perp \\overrightarrow{j}$, 得$\\overrightarrow{i}\\cdot \\overrightarrow{j}=0$, 又$|\\overrightarrow{i}|=|\\overrightarrow{j}|=1$, 因此$\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}=$\\blank{100}."
    },
    "B00209": {
        "lesson": "K0508",
        "objs": [
            "K0508002B",
            "K0508003B"
        ],
        "content": "向量夹角的坐标表示: $\\cos \\langle\\overrightarrow{a}, \\overrightarrow{b}\\rangle=\\dfrac{\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b}}{|\\overrightarrow{a}||\\overrightarrow{b}|}=$\\blank{100}."
    },
    "B00210": {
        "lesson": "K0508",
        "objs": [
            "K0508004B",
            "K0508005B"
        ],
        "content": "给定两个坐标表示的向量 $\\overrightarrow{a}=(x_1, y_1)$, $\\overrightarrow{b}=(x_2, y_2)$ , 则:\\\\\n(1) $\\overrightarrow{a}\\perp \\overrightarrow{b}\\Leftrightarrow$\\blank{100};\\\\\n(2) $\\overrightarrow{a}\\parallel \\overrightarrow{b}\\Leftrightarrow$\\blank{100}."
    },
    "B00211": {
        "lesson": "K0509",
        "objs": [
            "K0509002B"
        ],
        "content": "线段的定比分点公式: 已知 $P$ 是直线 $P_1P_2$ 上一点, 且 $\\overrightarrow{P_1P}=\\lambda \\overrightarrow{PP_2}$($\\lambda$ 为实数, 且 $\\lambda \\neq-1$), $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P(x, y)$, 则 $x=$\\blank{80}, $y=$\\blank{80}. 特别地, 当 $\\lambda=1$ 时,  $P$是线段 $P_1P_2$ 中点, 其坐标为 $x=$\\blank{50}, $y=$\\blank{50}."
    },
    "B00212": {
        "lesson": "K0509",
        "objs": [
            "K0509004B"
        ],
        "content": "三角形面积的向量坐标公式: 在 $\\triangle ABC$ 中, 设 $\\overrightarrow{CA}=\\overrightarrow{a}=(x_1, y_1)$, $\\overrightarrow{CB}=\\overrightarrow{b}=(x_2, y_2)$, 记 $\\triangle ABC$ 的面积为 $S$, 有 $S=\\dfrac{1}{2}\\sqrt{\\overrightarrow{a}^2 \\cdot \\overrightarrow{b}^2-(\\overrightarrow{a}\\cdot \\overrightarrow{b})^2}=$\\blank{100}."
    },
    "B00213": {
        "lesson": "K0227",
        "objs": [
            "K0227001X",
            "K0227002X",
            "K0227003X"
        ],
        "content": "已知函数 $y=f(x)$, 对于自变量某个给定值 $x_0$, 赋予 $x_0$ 一个变化量 $h$, 当变化量 $h$ 趋近于 0 时, 若函数值的变化量 $f(x_0+h)-f(x_0)$ 相对于自变量变化量 $h$ 的比值\\blank{100}趋近于某个稳定值, 这个稳定值的存在, 说明 $\\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 在 $h$ 趋近于 $0$ 时有\\blank{50}, 并把这个极限值记作 $\\displaystyle\\lim _{h \\to 0}\\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. 称为函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的\\blank{50}, 记作 $f'(x_0)$ ,  即\\blank{100}."
    },
    "B00214": {
        "lesson": "K0227",
        "objs": [
            "K0227003X",
            "K0227004X"
        ],
        "content": "$\\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 称为函数 $y=f(x)$ 在区间 $[x_0, x_0+h]$ 上的\\blank{50};\\\\\n$f'(x_0)=\\displaystyle\\lim _{h \\to 0}\\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 称为函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的\\blank{50}."
    },
    "B00215": {
        "lesson": "K0228",
        "objs": [
            "K0228001X"
        ],
        "content": "连接曲线上任意两点的直线称为这条曲线的一条\\blank{50}."
    },
    "B00216": {
        "lesson": "K0228",
        "objs": [
            "K0228001X"
        ],
        "content": "给定曲线上的一点 $P$, 考虑以 $P$ 为端点的一条小曲线段 $PQ$ 和割线 $PQ$. 当点 $Q$ 越来越靠近点 $P$ 时, 如果割线 $PQ$ 趋近于一条确定的直线, 就将这条直线称为曲线在点 $P$ 处的\\blank{50}."
    },
    "B00217": {
        "lesson": "K0228",
        "objs": [
            "K0228001X",
            "K0228003X"
        ],
        "content": "函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 就是曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0, f(x_0))$ 处切线的\\blank{50}. 切线方程为\\blank{100}."
    },
    "B00218": {
        "lesson": "K0228",
        "objs": [
            "K0228005X"
        ],
        "content": "我们将导数为零的点称为函数的\\blank{50}."
    },
    "B00219": {
        "lesson": "K0228",
        "objs": [
            "K0228005X"
        ],
        "content": "曲线在其驻点处的切线是\\blank{50}直线."
    },
    "B00220": {
        "lesson": "K0229",
        "objs": [
            "K0229001X"
        ],
        "content": "已知函数 $y=f(x)$ , 在导数存在的前提下, 对于不同的 $x_0$, 总有一个确定的导数值 $f'(x_0)$与之对应. 即 $f'(x)$ 也是一个关于 $x$ 的函数, 称为函数 $f(x)$ 的\\blank{40} (也简称为\\blank{30}), 记作 $f'(x)=$\\blank{80}. 求一个函数的导 (函) 数的过程常常简称为\\blank{50}."
    },
    "B00221": {
        "lesson": "K0229",
        "objs": [
            "K0229002X",
            "K0229004X",
            "K0229006X"
        ],
        "content": "基本初等函数的导数:\\\\\n\\begin{tabular}{ll}\n(1) $(C)'=$\\blank{50}($C$为常数) & (2) $(x^\\alpha)'=$\\blank{50} ($\\alpha$ 为常数);\\\\\n(3) $(\\mathrm{e}^x)'=$\\blank{50} ($\\mathrm{e}$ 为自然常数);&  (4) $(\\ln x)'=$\\blank{50};\\\\\n(5) $(\\sin x)'=$\\blank{50}; & (6) $(\\cos x)'=$\\blank{50}.\n\\end{tabular}"
    },
    "B00222": {
        "lesson": "K0230",
        "objs": [
            "K0230001X",
            "K0230002X",
            "K0230003X"
        ],
        "content": "函数的四则运算与导数的关系:\\\\\n(1) $(f(x) \\pm g(x))'=$\\blank{100}.\\\\\n(2) $(f(x) g(x))'=$\\blank{100}; 特殊地, 当$C$为常数时, $(C f(x))'=$\\blank{100}.\\\\\n(3) $(\\dfrac{f(x)}{g(x)})'=$\\blank{100}($g(x) \\neq 0$)."
    },
    "B00223": {
        "lesson": "K0230",
        "objs": [
            "K0230005X"
        ],
        "content": "一般对数函数的求导公式: 设实数 $a>0$ 且 $a \\neq 1$, 则: $(\\log _a x)'=$\\blank{50}."
    },
    "B00224": {
        "lesson": "K0231",
        "objs": [
            "K0231001X"
        ],
        "content": "如果一个函数 $u=g(x)$ 的自变量 $u$ 又是另一个变量 $x$ 的函数 $u=g(x)$, 那么就可将 $y$ 直接看作变量 $x$ 的函数而得到一个新函数\\blank{50}, 这个新函数被称为两个函数的\\blank{50}."
    },
    "B00225": {
        "lesson": "K0231",
        "objs": [
            "K0231002X"
        ],
        "content": "$y=f(a x+b)$ 型复合函数的求导法则: $y=f(a x+b)$ 可以看成由 $y=f(u)$ 与 $u=a x+b$ 复合而成的函数, 则 $(f(a x+b))'=$\\blank{50}, 其中 $u=$\\blank{50}."
    },
    "B00226": {
        "lesson": "K0231",
        "objs": [
            "K0231004X"
        ],
        "content": "一般指数函数的求导公式: 设实数 $a>0$ 且 $a \\neq 1$, 则: $(a^x)'=$\\blank{50}."
    },
    "B00227": {
        "lesson": "K0232",
        "objs": [
            "K0232001X"
        ],
        "content": "在区间 $I$ 上, 若\\blank{50}, 则函数 $y=f(x)$ 在该区间严格增; 若\\blank{50}, 则函数 $y=f(x)$ 在该区间严格减."
    },
    "B00228": {
        "lesson": "K0232",
        "objs": [
            "K0232004X"
        ],
        "content": "导数的绝对值越大, 函数图像就越``陡峭'', 也就是函数值变化速度越\\blank{20}."
    },
    "B00229": {
        "lesson": "K0233",
        "objs": [
            "K0233001X"
        ],
        "content": "极值: 若在 $x=x_1$ 附近存在一个小区间, 该区间内其他自变量所对应的函数值都不大于 (不小于) $f(x_1)$. 此时我们就说函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_1$ 处取得\\blank{50}(\\blank{50})$f(x_1)$, 点 $x_1$ 被称作函数 $y=f(x)$ 的\\blank{50}(\\blank{50});\n\\\\极大值和极小值统称为\\blank{50}, 极大值点和极小值点统称为\\blank{50}."
    },
    "B00230": {
        "lesson": "K0233",
        "objs": [
            "K0233002X"
        ],
        "content": "求极值点与极值的步骤:\\\\\n\\textcircled{1} 通过 $f'(x)=0$ 找到函数 $y=f(x)$ 的\\blank{50};\\\\\n\\textcircled{2} 设 $x=x_0$ 是函数 $y=f(x)$ 的驻点.\\\\\n(a) 若在 $x_0$ 的左侧附近有\\blank{50}, 而在 $x_0$ 的右侧附近有\\blank{50}, 则函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值; \\\\\n(b) 若在 $x_0$ 的左侧附近有\\blank{50}, 而在 $x_0$ 的右侧附近有\\blank{50}, 则函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值."
    },
    "B00231": {
        "lesson": "K0234",
        "objs": [
            "K0234003X"
        ],
        "content": "设函数 $y=f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 连续, 在开区间 $(a, b)$ 可导, 求最值步骤一般如下:\\\\\n\\textcircled{1} 利用 $f'(x)=0$ 在 $x \\in(a, b)$ 上求 $f(x)$ 的\\blank{100};\\\\\n\\textcircled{2} 比较\\textcircled{1}中所求值与\\blank{50}的大小, 其中最大的是最大值, 最小的是最小值.\n的是最大值, 最小的是最小值."
    },
    "B00232": {
        "lesson": "K0235",
        "objs": [
            "K0235001X"
        ],
        "content": "导数可用来研究函数在某区间上的\\blank{50}, 对解决何时利润最大、何时用料最省等优化问题发挥着重要作用."
    },
    "B00233": {
        "lesson": "K0301",
        "objs": [
            "K0301002B"
        ],
        "content": "特殊锐角的正弦, 余弦和正切:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|p{0.15\\textwidth}<{\\centering}|p{0.15\\textwidth}<{\\centering}|p{0.15\\textwidth}<{\\centering}|p{0.15\\textwidth}<{\\centering}|}\\hline 角度 $\\alpha$ & $\\sin \\alpha$ & $\\cos \\alpha$ & $\\tan \\alpha$ & $\\cot \\alpha$ \\\\\n\\hline $30^{\\circ}$ &  & & & \\\\\n\\hline $45^{\\circ}$ &  & & & \\\\\n\\hline $60^{\\circ}$ &  & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}"
    },
    "B00234": {
        "lesson": "K0301",
        "objs": [
            "K0301001B",
            "K0301003B"
        ],
        "content": "一条射线绕端点按逆时针方向旋转所成的角为\\blank{50}, 其度量值是正的; 一条射线绕端点按顺时针方向旋转所成的角为\\blank{50}, 其度量值是负的; 当一条射线没有旋转时, 我们也认为形成了一个角, 称为\\blank{50}."
    },
    "B00235": {
        "lesson": "K0301",
        "objs": [
            "K0301004B"
        ],
        "content": "所有与角 $\\alpha$ 的终边重合的角(包括角 $\\alpha$ 本身)的集合表示为\\blank{100}."
    },
    "B00236": {
        "lesson": "K0302",
        "objs": [
            "K0302001B"
        ],
        "content": "弧长等于\\blank{50}的弧所对的圆心角叫做 $1$ 弧度的角, 用``\\blank{50}''作为单位来度量角的单位制叫做弧度制."
    },
    "B00237": {
        "lesson": "K0302",
        "objs": [
            "K0302001B"
        ],
        "content": "$1^{\\circ}=$\\blank{50}弧度, $1$ 弧度 $=$\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|p{0.05\\textwidth}<{\\centering}|p{0.05\\textwidth}<{\\centering}|p{0.05\\textwidth}<{\\centering}|p{0.05\\textwidth}<{\\centering}|p{0.05\\textwidth}<{\\centering}|p{0.05\\textwidth}<{\\centering}|p{0.05\\textwidth}<{\\centering}|p{0.05\\textwidth}<{\\centering}|p{0.05\\textwidth}<{\\centering}|p{0.05\\textwidth}<{\\centering}|p{0.05\\textwidth}<{\\centering}|p{0.05\\textwidth}<{\\centering}|}\n\\hline 角度 & $0^{\\circ}$ & $30^{\\circ}$ & $45^{\\circ}$ & $60^{\\circ}$ & & & $135^{\\circ}$ & & $180^{\\circ}$ & $270^{\\circ}$ & $360^{\\circ}$ \\\\\n\\hline 弧度 &  & & &  & $\\dfrac{\\pi}{2}$ & $\\dfrac{2 \\pi}{3}$ & & $\\dfrac{5 \\pi}{6}$ & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}"
    },
    "B00238": {
        "lesson": "K0302",
        "objs": [
            "K0302002B"
        ],
        "content": "设扇形的半径为 $r$, 弧长为 $l$, 圆心角为 $\\alpha$($0<\\alpha<2 \\pi$), 则扇形的弧长 $l=$\\blank{50}, 扇形的面积 $S=$\\blank{50}."
    },
    "B00239": {
        "lesson": "K0303",
        "objs": [
            "K0303001B"
        ],
        "content": "如图, 在角 $\\alpha$ 的终边上任取一点 $P$, 设 $P$ 的坐标为 $(x, y)$, $|OP|=r$, 则 $r=\\sqrt{x^2+y^2}$($r>0$), 我们规定:\n$\\sin \\alpha=$\\blank{50}, $\\cos \\alpha=$\\blank{50},\\\\\n$\\tan \\alpha=$\\blank{50}($\\alpha \\neq$\\blank{50}, $k\\in \\mathbf{Z}$),\\\\\n$\\cot \\alpha=$\\blank{50}($\\alpha \\neq$\\blank{50}, $k\\in \\mathbf{Z}$).\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-0.5,0) -- (2,0) node [below] {$x$} coordinate (x);\n\\draw [->] (0,-0.5) -- (0,1.6) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$} coordinate (O);\n\\draw (0,0) -- (50:2);\n\\draw (50:1.5) node [right] {$P(x,y)$} coordinate (P);\n\\draw ($(O)!(P)!(x)$) node [below] {$M$} coordinate (M);\n\\draw (P)--(M) node [midway, right] {$y$};\n\\path (O) -- (P) node [midway, above left] {$r$};\n\\path (O) -- (M) node [midway, below] {$x$};\n\\draw pic [draw, \"$\\alpha$\", scale = 0.6, ->, angle eccentricity = 1.8] {angle = x--O--P};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}"
    },
    "B00240": {
        "lesson": "K0303",
        "objs": [
            "K0303002B"
        ],
        "content": "在下表中填写相应的符号(``$+$''或``$-$''):\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline $\\alpha$所在象限 & $P$的横坐标$x$ & $P$的纵坐标$y$ &  $\\sin \\alpha$ & $\\cos \\alpha$ & $\\tan \\alpha$ & $\\cot \\alpha$ \\\\\n\\hline 第一象限 &  &  & & & & \\\\\n\\hline 第二象限 &  &  &  & & & \\\\\n\\hline 第三象限 &  &  &  & & & \\\\\n\\hline 第四象限 &  &  &  & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}"
    },
    "B00241": {
        "lesson": "K0304",
        "objs": [
            "K0304001B"
        ],
        "content": "若角 $\\alpha$ 的终边与以原点为圆心的单位圆交于唯一的一点 $P(x, y)$, 则点 $P$ 的坐标用 $\\alpha$ 的三角比表示为\\blank{50}."
    },
    "B00242": {
        "lesson": "K0304",
        "objs": [
            "K0304002B"
        ],
        "content": "同角的三角比关系: \\\\\n(1) $\\sin ^2 \\alpha+\\cos ^2 \\alpha=$\\blank{50};\\\\\n(2) $\\dfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}= $\\blank{50};($\\cos \\alpha \\neq 0$)\\\\\n(3) $\\dfrac{\\cos \\alpha}{\\sin \\alpha}= $\\blank{50};($\\sin \\alpha \\neq 0$)\\\\\n(4) $\\tan \\alpha \\cdot \\cot \\alpha=1$."
    },
    "B00243": {
        "lesson": "K0305",
        "objs": [
            "K0305001B"
        ],
        "content": "$(\\sin \\alpha \\pm \\cos \\alpha)^2=1 \\pm$\\blank{100}."
    },
    "B00244": {
        "lesson": "K0305",
        "objs": [
            "K0305001B"
        ],
        "content": "$\\sin \\alpha \\cdot \\cos \\alpha=$\\blank{100}.(用 $\\tan \\alpha$ 表示)."
    },
    "B00245": {
        "lesson": "K0306",
        "objs": [
            "K0306001B",
            "K0306002B"
        ],
        "content": "与``终边重合''有关的诱导公式:\\\\\n当 $k \\in \\mathbf{Z}$ 时, $\\sin (\\alpha+2 k \\pi)=$\\blank{50}; $\\cos (\\alpha+2 k \\pi)=$\\blank{50}; $\\tan (\\alpha+2 k \\pi)=$\\blank{50}; $\\cot (\\alpha+2 k \\pi)=$\\blank{50}."
    },
    "B00246": {
        "lesson": "K0306",
        "objs": [
            "K0306001B",
            "K0306002B"
        ],
        "content": "与``关于$x$轴成轴对称''有关的诱导公式:\\\\\n$\\sin (-\\alpha)=$\\blank{50}; $\\cos(-\\alpha)=$\\blank{50}; $\\tan (-\\alpha)=$\\blank{50}; $\\cot(-\\alpha)=$\\blank{50}."
    },
    "B00247": {
        "lesson": "K0306",
        "objs": [
            "K0306001B",
            "K0306002B"
        ],
        "content": "与``关于原点成中心对称''有关的诱导公式:\\\\\n$\\sin (\\pi+\\alpha)=$\\blank{50}; $\\cos (\\pi+\\alpha)=$\\blank{50}; $\\tan (\\pi+\\alpha)=$\\blank{50}; $\\cot (\\pi+\\alpha)=$\\blank{50}."
    },
    "B00248": {
        "lesson": "K0306",
        "objs": [
            "K0306001B",
            "K0306002B"
        ],
        "content": "与``关于$y$轴成轴对称''有关的诱导公式:\\\\\n$\\sin (\\pi-\\alpha)=$\\blank{50}; $\\cos (\\pi-\\alpha)=$\\blank{50}; $\\tan (\\pi-\\alpha)=$\\blank{50}; $\\cot (\\pi-\\alpha)=$\\blank{50}."
    },
    "B00249": {
        "lesson": "K0307",
        "objs": [
            "K0307001B",
            "K0307003B"
        ],
        "content": "与``关于直线$y=x$成轴对称''有关的诱导公式:\\\\\n$\\sin (\\dfrac{\\pi}{2}-\\alpha)=$\\blank{50}; $\\cos (\\dfrac{\\pi}{2}-\\alpha)=$\\blank{50}; $\\tan (\\dfrac{\\pi}{2}-\\alpha)=\\blank{50}$; $\\cot (\\dfrac{\\pi}{2}-\\alpha)=$\\blank{50}."
    },
    "B00250": {
        "lesson": "K0307",
        "objs": [
            "K0307001B",
            "K0307003B"
        ],
        "content": "与``旋转$90^\\circ$''有关的诱导公式:\\\\\n$\\sin (\\dfrac{\\pi}{2}+\\alpha)=\\blank{50}$; $\\cos (\\dfrac{\\pi}{2}+\\alpha)=$\\blank{50}; $\\tan (\\dfrac{\\pi}{2}+\\alpha)=$\\blank{50}; $\\cot (\\dfrac{\\pi}{2}+\\alpha)=$\\blank{50}."
    },
    "B00251": {
        "lesson": "K0308",
        "objs": [
            "K0308002B"
        ],
        "content": "满足 $\\sin x=\\sin \\alpha$ 的角 $x$ 的全体组成的集合为\\blank{50}."
    },
    "B00252": {
        "lesson": "K0308",
        "objs": [
            "K0308002B"
        ],
        "content": "满足 $\\cos x=\\cos \\alpha$ 的角 $x$ 的全体组成的集合为\\blank{50}."
    },
    "B00253": {
        "lesson": "K0308",
        "objs": [
            "K0308002B"
        ],
        "content": "满足 $\\tan x=\\tan \\alpha$ 的角 $x$ 的全体组成的集合为\\blank{50}."
    },
    "B00254": {
        "lesson": "K0309",
        "objs": [
            "K0309001B"
        ],
        "content": "两角差的余弦公式: $\\cos (\\alpha-\\beta)=$\\blank{50}."
    },
    "B00255": {
        "lesson": "K0309",
        "objs": [
            "K0309002B"
        ],
        "content": "两角和的余弦公式: $\\cos (\\alpha+\\beta)=$\\blank{50}."
    },
    "B00256": {
        "lesson": "K0310",
        "objs": [
            "K0310001B"
        ],
        "content": "两角和与差的正弦公式: $\\sin (\\alpha \\pm \\beta)=$\\blank{50}."
    },
    "B00257": {
        "lesson": "K0310",
        "objs": [
            "K0310001B"
        ],
        "content": "两角和与差的正切公式:  $\\tan (\\alpha \\pm \\beta)=$\\blank{50}."
    },
    "B00258": {
        "lesson": "K0311",
        "objs": [
            "K0311002B"
        ],
        "content": "辅助角公式: 已知$a,b$不全为$0$, 则$a \\sin \\alpha+b \\cos \\alpha=$\\blank{50}$\\sin$\\blank{50}, 其中辅助角 $\\varphi$ 满足\n$\\cos \\varphi=$\\blank{50}, $\\sin \\varphi=$\\blank{50}."
    },
    "B00259": {
        "lesson": "K0312",
        "objs": [
            "K0312001B"
        ],
        "content": "二倍角的正弦公式: $\\sin 2 \\alpha=$\\blank{50}."
    },
    "B00260": {
        "lesson": "K0312",
        "objs": [
            "K0312001B",
            "K0312002B"
        ],
        "content": "二倍角的余弦公式: $\\cos 2 \\alpha=$\\blank{50}$=$\\blank{50}$=$\\blank{50}."
    },
    "B00261": {
        "lesson": "K0312",
        "objs": [
            "K0312001B"
        ],
        "content": "二倍角的正切公式: $\\tan 2 \\alpha=$\\blank{50}."
    },
    "B00262": {
        "lesson": "K0312",
        "objs": [
            "K0312003B"
        ],
        "content": "常用降次公式:\\\\\n(1) $\\sin ^2 \\alpha=$\\blank{50}, $\\cos ^2 \\alpha=$\\blank{50};\\\\\n(2) $(\\sin \\alpha \\pm \\cos \\alpha)^2=$\\blank{50}."
    },
    "B00263": {
        "lesson": "K0313",
        "objs": [
            "K0313001B"
        ],
        "content": "半角公式: \\\\\n$\\sin \\dfrac{\\alpha}{2}=$\\blank{50}, $\\cos \\dfrac{\\alpha}{2}=$\\blank{50}, $\\tan \\dfrac{\\alpha}{2}=$\\blank{50}."
    },
    "B00264": {
        "lesson": "K0313",
        "objs": [
            "K0313002B"
        ],
        "content": "积化和差公式:\\\\\n$\\sin\\alpha\\cos\\beta=$\\blank{100}, $\\cos\\alpha\\sin\\beta=$\\blank{100},\\\\\n$\\cos\\alpha\\cos\\beta=$\\blank{100}, $\\sin\\alpha\\sin\\beta=$\\blank{100}."
    },
    "B00265": {
        "lesson": "K0313",
        "objs": [
            "K0313003B"
        ],
        "content": "和差化积公式:\\\\\n$\\sin \\alpha+\\sin \\beta=$\\blank{100}, $\\sin \\alpha-\\sin \\beta=$\\blank{100},\\\\\n$\\cos \\alpha+\\cos \\beta=$\\blank{100}, $\\cos \\alpha-\\cos \\beta=$\\blank{100}."
    },
    "B00266": {
        "lesson": "K0511",
        "objs": [
            "K0511002B",
            "K0511003B"
        ],
        "content": "复数的定义: 形如\\blank{100}的数称为一个复数, 其中数 $\\mathrm{i}$ 称为\\blank{50}, 并规定\\blank{50}."
    },
    "B00267": {
        "lesson": "K0511",
        "objs": [
            "K0511003B",
            "K0511004B"
        ],
        "content": "全体复数构成的集合用字母\\blank{20}表示.\\\\\n约定: (1) 复数 $a+b \\mathrm{i}=0$($a,b \\in \\mathbf{R}$)$\\Leftrightarrow$\\blank{100};\\\\\n(2) 复数 $a+b \\mathrm{i}=c+d \\mathrm{i}$($a,b,c,d \\in \\mathbf{R}$)$\\Leftrightarrow$\\blank{100}."
    },
    "B00268": {
        "lesson": "K0511",
        "objs": [
            "K0511005B",
            "K0511006B",
            "K0511007B"
        ],
        "content": "复数的四则运算:\\\\\n(1) 加法和减法: $(a+b \\mathrm{i}) \\pm(c+d \\mathrm{i})=$\\blank{100}($a, b, c, d \\in \\mathbf{R}$).\\\\\n(2) 乘法: $(a+b\\mathrm{i})(c+d\\mathrm{i})=$\\blank{150}($a, b, c, d \\in \\mathbf{R}$).\\\\\n复数的加法与乘法满足\\blank{30}律、\\blank{30}律与\\blank{30}律.\\\\\n(3) 除法: $\\dfrac{a+b\\mathrm{i}}{c+d\\mathrm{i}}= $\\blank{150}($a,b,c,d \\in \\mathbf{R}$, $c+d\\mathrm{i} \\neq 0$)."
    },
    "B00269": {
        "lesson": "K0511",
        "objs": [
            "K0511008B"
        ],
        "content": "复数的乘方\\\\\n(1) $(a+b\\mathrm{i})^n$ 表示\\blank{150}($a,b \\in \\mathbf{R}$, $n$ 为正整数), $(a+b\\mathrm{i})^{-n}=$\\blank{100}, $(a+b\\mathrm{i})^0=$\\blank{50}.($a+b\\mathrm{i} \\neq 0$)\\\\\n(2) $(a+b\\mathrm{i})^n(c+d\\mathrm{i})^n=$\\blank{150}, $[(a+b\\mathrm{i})^m]^n=$\\blank{50}."
    },
    "B00270": {
        "lesson": "K0512",
        "objs": [
            "K0512001B",
            "K0512002B"
        ],
        "content": "复数的表达方式\\blank{100}称为它的代数形式, 其中复数的实部是\\blank{20}, 记作\\blank{50}, 虚部是\\blank{20}, 记作\\blank{50}."
    },
    "B00271": {
        "lesson": "K0512",
        "objs": [
            "K0512003B"
        ],
        "content": "对于复数 $z=a+b\\mathrm{i}$($a$、$b \\in \\mathbf{R}$)\\\\\n(1) $z$ 是实数 $\\Leftrightarrow$\\blank{50}.\\\\\n(2) $z$ 是虚数 $\\Leftrightarrow$\\blank{50}.\\\\\n(3) $z$ 是纯虚数 $\\Leftrightarrow$\\blank{50}."
    },
    "B00272": {
        "lesson": "K0512",
        "objs": [
            "K0512005B",
            "K0512006B"
        ],
        "content": "复数 $z=a+b\\mathrm{i}$($a$、$b \\in \\mathbf{R}$) 的共轭复数是\\blank{50}, 记作\\blank{50}.\\\\\n共轭复数有如下性质:\n$\\overline{\\overline{z}}=$\\blank{50}, $\\overline{z_1 \\pm z_2}=$\\blank{50}, $\\overline{z_1 z_2}=$\\blank{50}, $\\overline{(\\dfrac{z_1}{z_2})}=$\\blank{50}($z_2 \\neq 0$)."
    },
    "B00273": {
        "lesson": "K0513",
        "objs": [
            "K0513001B",
            "K0513002B",
            "K0513003B"
        ],
        "content": "复平面:\\\\\n在平面上建立直角坐标系, 以坐标为 $(a, b)$ 的点 $Z$ 表示复数 $z=a+b\\mathrm{i}$, 就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一一对应. 这样用来表示复数的平面叫做\\blank{50}.\\\\\n在复平面上, $x$ 轴称为\\blank{50}, $x$ 轴上的点都对应\\blank{20}数;  $y$ 轴称为\\blank{50}, $y$ 轴上的点(除坐标原点) 都对应\\blank{20}数; 坐标原点对应数\\blank{20}.\\\\\n共轭复数: $z=a+b\\mathrm{i}$ 与 $\\overline{z}=a-b i$($a, b \\in \\mathbf{R}$) 在复平面上所对应的点关于\\blank{20}轴对称, 特别地, $z$ 是实数, 则\\blank{50}, 此时 $z$、$\\overline{z}$ 在复平面上所对应的点是位于\\blank{50}的同一个点."
    },
    "B00274": {
        "lesson": "K0513",
        "objs": [
            "K0513004B",
            "K0513005B"
        ],
        "content": "复数的向量表示:\\\\\n(1) 复数 $z=a+b\\mathrm{i}$($a, b \\in \\mathbf{R}$) 对应平面向量 $\\overrightarrow{OZ}=$\\blank{50}.\\\\\n(2) 复数 $z_1=a+b\\mathrm{i}$($a, b \\in \\mathbf{R}$) 对应向量 $\\overrightarrow{OZ_1}=$\\blank{50}和 $z_2=c+d\\mathrm{i}$($c, d \\in \\mathbf{R}$) 对应向量 $\\overrightarrow{OZ_2}=$\\blank{50}, 则 $z_1+z_2$ 对应向量\\blank{100}, $z_1-z_2$ 对应向量\\blank{100}."
    },
    "B00275": {
        "lesson": "K0514",
        "objs": [
            "K0514001B",
            "K0514002B"
        ],
        "content": "复数的模:\\\\\n复数 $z=a+b\\mathrm{i}$($a, b \\in \\mathbf{R}$) 所对应的点 $Z(a, b)$ 到原点的距离叫做复数 $z$ 的模, 记作 $|z|$.\\\\\n$|z|=$\\blank{80}$=$\\blank{80}. 复数的模与可以说成是它对应的\\blank{50}的模."
    },
    "B00276": {
        "lesson": "K0514",
        "objs": [
            "K0514003B",
            "K0514006B"
        ],
        "content": "复数的模有如下性质:\n$|z|=$\\blank{50}; $z\\overline{z}=$\\blank{50}; $|z_1z_2|=$\\blank{50}; $|\\dfrac{z_1}{z_2}|=$\\blank{50};\\\\\n$|z_1|+|z_2|\\ge$\\blank{80}; $|z_1-z_2|=$\\blank{100}$=$\\blank{50}$=$\\blank{50}."
    },
    "B00277": {
        "lesson": "K0515",
        "objs": [
            "K0515001B"
        ],
        "content": "复数的平方根定义: 若复数 $a+b\\mathrm{i}$ 和 $c+d\\mathrm{i}$($a, b, c, d \\in \\mathbf{R}$) 满足 $(a+b\\mathrm{i})^2=c+d\\mathrm{i}$, 则称 $a+b\\mathrm{i}$ 是 $c+d\\mathrm{i}$ 的(一个)平方根.\\\\\n注: 由定义可知, 若 $a+b\\mathrm{i}$ 是 $c+d\\mathrm{i}$ 的平方根, 则\\blank{50}也是 $c+d\\mathrm{i}$ 的平方根."
    },
    "B00278": {
        "lesson": "K0515",
        "objs": [
            "K0515002B"
        ],
        "content": "如何求一个复数的平方根\\\\\n一般情况: $a+b\\mathrm{i}$ 是 $c+d\\mathrm{i}$ 的平方根, 即 $(a+b\\mathrm{i})^2=c+d\\mathrm{i}$, 即 $a^2-b^2+2 a b \\mathrm{i}=c+d \\mathrm{i}$, 根据复数相等的定义, 即$\\begin{cases}a^2-b^2=c,\\\\2 a b=d.\\end{cases}$\n特别地, 若 $d=0$ , 则 $c+d\\mathrm{i}$ 为实数, 此时 $2 a b=0$, 当\\\\\n\\textcircled{1} $c=0$ 时,  $a^2=b^2$, 此时 $a=b=0$ , 即零的平方根是\\blank{50}.\\\\\n\\textcircled{2} $c>0$ 时, 则只能 $b=0$ , 此时 $a= \\pm \\sqrt{c}$, 即正数$c$的平方根是\\blank{50}, 是两个\\blank{20}数.\\\\\n\\textcircled{3} $c<0$ 时, 则只能 $a=0$ , 此时 $b= \\pm \\sqrt{-c}$ ; 即负数$c$的平方根是\\blank{50}, 是两个\\blank{20}数."
    },
    "B00279": {
        "lesson": "K0515",
        "objs": [
            "K0515003B",
            "K0515005B"
        ],
        "content": "实系数一元二次方程的解对于方程 $a x^2+b x+c=0$($a, b, c \\in \\mathbf{R}$, $a \\neq 0$) 配方得 $(x+\\dfrac{b}{2 a})^2=\\dfrac{b^2-4 a c}{4 a^2}$.\\\\\n\\textcircled{1} 当 $\\Delta=b^2-4 a c>0$ 时, 方程有两个不等实数根:  $x_{1,2}=$\\blank{100};\\\\\n\\textcircled{2} 当 $\\Delta=b^2-4 a c=0$ 时,  方程有两个相等的实数根:  $x_1=x_2=$\\blank{100};\\\\\n\\textcircled{3} 当 $\\Delta=b^2-4 a c<0$ 时, 方程有一对共轭虚根: $x_{1,2}=$\\blank{100}."
    },
    "B00280": {
        "lesson": "K0515",
        "objs": [
            "K0515006B"
        ],
        "content": "实系数一元二次方程的根与系数的关系:\\\\\n由必修课程第 2 章已经知道, 对于实系数一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$($a, b, c \\in \\mathbf{R}$, $a \\neq 0$), 当 $\\Delta=b^2-4 a c \\geq 0$ 时, 方程有两个实根满足 $x_1+x_2=-\\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2=\\dfrac{c}{a}$; 容易验证当 $\\Delta=b^2-4 a c<0$ 时, 方程的一对共轭虚根, 同样满足如下关系: $x_1+x_2=$\\blank{50}, $x_1 x_2=$\\blank{50}.\\\\\n反之, 若 $x_1+x_2=-\\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2=\\dfrac{c}{a}$, 则 $x_1, x_2$ 是方程 $a x^2+b x+c=0$($a \\neq 0$) 的根."
    },
    "B00281": {
        "lesson": "K0516",
        "objs": [
            "K0516001B",
            "K0516002B"
        ],
        "content": "复数 $z=a+b\\mathrm{i}$($a$、$b \\in \\mathbf{R}$) 的辐角 $\\theta$ 及辐角主值: 以原点 $O$ 为顶点,  $x$ 轴的正半轴为始边、射线 $OZ$ 为终边的角 $\\theta$, 叫做复数 $z$ 的\\blank{50}, 记作\\blank{50}. 规定: 复数 $0$ 的辐角的大小是\\blank{80}. 在复数的 $z$ 所有辐角中, 满足\\blank{100}的辐角称为 $z$ 的辐角主值, 记为\\blank{50}."
    },
    "B00282": {
        "lesson": "K0516",
        "objs": [
            "K0516003B"
        ],
        "content": "复数 $z=a+b\\mathrm{i}$($a$、$b \\in \\mathbf{R}$) 的三角形式: $z=$\\blank{100}, 其中 $r=$\\blank{50}, $a=$\\blank{50}, $b=$\\blank{50}.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-0.5,0) -- (3,0) node [below] {$x$} coordinate (x);\n\\draw [->] (0,-0.5) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$} coordinate (O);\n\\draw (2.5,1.5) node [above] {$Z(a,b)$} coordinate (Z);\n\\draw [->] (0,0) -- (Z) node [midway, above left] {$r$};\n\\draw [dashed] (2.5,0) node [below] {$a$} -- (2.5,1.5) -- (0,1.5) node [left] {$b$};\n\\draw pic [draw, \"$\\theta$\", scale = 0.8, angle eccentricity = 1.6] {angle = x--O--Z};\n\\filldraw (Z) circle (0.03);\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}"
    },
    "B00283": {
        "lesson": "K0517",
        "objs": [
            "K0517001B",
            "K0517002B",
            "K0517003B",
            "K0517004B",
            "K0517005B",
            "K0517006B"
        ],
        "content": "三角形式下复数的乘除法与乘方:\\\\\n若 $z_1=r_1(\\cos \\theta_1+\\mathrm{i} \\sin \\theta_1)$, $z_2=r_2(\\cos \\theta_2+\\mathrm{i} \\sin \\theta_2)$, 其中 $r_1=|z_1| \\geq 0$, $r_2=|z_2| \\geq 0$, 则\\\\\n$z_1 z_2=$\\blank{100}; $\\dfrac{z_1}{z_2}=$\\blank{100}; $z_1^n=$\\blank{100}($n$ 为正整数).\\\\\n复数乘法的几何意义: 一般地, 把复数 $z_1=r_1(\\cos \\theta_1+\\mathrm{i} \\sin \\theta_1)$, 其中 $r_1=|z_1| \\geq 0$, 乘以任意一个复数 $z_2=r_2(\\cos \\theta_2+\\mathrm{i} \\sin \\theta_2)$, 其中 $r_2=|z_2| \\geq 0$, 在几何上就是把向量 $\\overrightarrow{OZ_1}$ 的模 $r_1$ 伸缩为\\blank{50}, 再旋转\\blank{50}角."
    },
    "B00284": {
        "lesson": "K0517",
        "objs": [
            "K0517007B"
        ],
        "content": "三角形式下复数的开方:\\\\\n复数 $z=r(\\cos \\theta+\\mathrm{i} \\sin \\theta)$($r=|z| \\geq 0$), 则对任何正整数 $n$ 有 $z^n=r^n(\\cos n \\theta+\\mathrm{i} \\sin n \\theta)$, 则 $z$ 的 $n$ 次方根为: \\blank{200}, 共有\\blank{20}个值."
    }
}