{
    "B00001": {
        "lesson": "K0101",
        "objs": [
            "K0101001B"
        ],
        "content": "集合的概念\\\\\n(1) 集合的概念: 把一些确定的对象的\\blank{50}叫做集合, 简称集.\\\\\n(2) 集合的元素: 集合所含的各个\\blank{50}叫做这个集合的元素.\\\\\n(3) 集合中各个元素是\\blank{50}, 即一个元素在同一个集合中不能重复出现."
    },
    "B00002": {
        "lesson": "K0101",
        "objs": [
            "K0101001B"
        ],
        "content": "元素和集合的关系\\\\\n集合通常用大写字母$A$、$B$、$C$、$\\cdots$表示, 集合中的元素通常用小写字母$a$、$b$、$c$、$\\cdots$表示. 若$a$是集合$A$的元素, 则记作``\\blank{50}''; 若$a$不是集合$A$的元素, 则记作``\\blank{50}''."
    },
    "B00003": {
        "lesson": "K0101",
        "objs": [
            "K0101003B"
        ],
        "content": "常用数集及其记法\\\\\n数的集合简称数集, 我们把常用的数集用特定的字母表示:\\\\\n自然数集\\blank{20}, 整数集\\blank{20}, 有理数集\\blank{20}, 实数集\\blank{20}."
    },
    "B00004": {
        "lesson": "K0101",
        "objs": [
            "K0101002B"
        ],
        "content": "集合的分类\\\\\n(1) 有限集: 含有\\blank{50}元素的集合称为有限集.\\\\\n(2) 无限集: 含有\\blank{50}元素的集合称为无限集.\\\\\n规定: \\blank{100}的集合称为空集, 记作\\blank{20}."
    },
    "B00005": {
        "lesson": "K0102",
        "objs": [
            "K0102001B"
        ],
        "content": "列举法: 将集合中的元素\\blank{50}一一列举出来并写在大括号内, 这种表示集合的方法叫做列举法."
    },
    "B00006": {
        "lesson": "K0102",
        "objs": [
            "K0102002B"
        ],
        "content": "描述法: 在大括号内先写出这个集合的元素的一个记号, 再画一条竖线, 在竖线右面写上集合中元素\\blank{50}, 即\\blank{50}, 这种表示集合的方法叫做描述法."
    },
    "B00007": {
        "lesson": "K0102",
        "objs": [
            "K0102004B"
        ],
        "content": "区间: 表示满足一些不等式的全体实数所组成的集合, 可以用区间的形式表示. 设$a$、$b \\in \\mathbf{R}$, 且$a<b$, 我们规定:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|p{15em}<{\\centering}|}\n\\hline 集合 & 区间表示 &  数轴表示 \\\\\n\\hline$\\{x | a \\leq x \\leq b\\}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | a<x<b\\}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | a \\leq x<b\\}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | a<x \\leq b\\}$& & \\\\\n\\hline$\\mathbf{R}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | x \\geq a\\}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | x \\leq b\\}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | x>a\\}$& & \\\\\n\\hline$\\{x | x<b\\}$& & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n说明: 在上述所有的区间中, $a, b$叫做区间的端点, ``$\\infty$''读作``无穷大''."
    },
    "B00008": {
        "lesson": "K0103",
        "objs": [
            "K0103001B"
        ],
        "content": "子集: 对于两个集合$A$和$B$, 如果\\blank{100}, 那么集合$A$叫做集合$B$的子集, 记作\\blank{40}. 规定: 空集是任何集合的\\blank{40}."
    },
    "B00009": {
        "lesson": "K0103",
        "objs": [
            "K0103002B"
        ],
        "content": "用文氏图表示$A \\subseteq B$: \\blank{100}."
    },
    "B00010": {
        "lesson": "K0103",
        "objs": [
            "K0101004B",
            "K0103004B"
        ],
        "content": "$A$\\blank{20}$A$; 若$A \\subseteq B$且\\blank{50}, 则$A=B$; 若$A \\subseteq B$且$B \\subseteq C$, 则\\blank{50}."
    },
    "B00011": {
        "lesson": "K0103",
        "objs": [
            "K0103005B"
        ],
        "content": "真子集: 对于两个集合$A$和$B$, 如果\\blank{100}, 那么集合$A$叫做集合$B$的真子集, 记作\\blank{40}. 规定: 空集是任何非空集合的\\blank{40}."
    },
    "B00012": {
        "lesson": "K0103",
        "objs": [
            "K0101003B",
            "K0103005B"
        ],
        "content": "对于常用数集$\\mathbf{N},\\mathbf{R},\\mathbf{Q},\\mathbf{Z}$来说: \\blank{20}$\\subset$\\blank{20}$\\subset$\\blank{20}$\\subset$\\blank{20}."
    },
    "B00013": {
        "lesson": "K0104",
        "objs": [
            "K0104001B",
            "K0104002B"
        ],
        "content": "交集:\\\\\n由既属于集合$A$又属于集合$B$的所有元素组成的集合, 叫做$A$与$B$的交集. 记作\\blank{40}.\\\\\n即$A$\\blank{10}$B=$\\blank{80}.\\\\\n用文氏图表示集合$A$与集合$B$交集: \\blank{50}."
    },
    "B00014": {
        "lesson": "K0104",
        "objs": [
            "K0104003B",
            "K0104004B"
        ],
        "content": "并集:\\\\\n由所有属于集合$A$或所有属于集合$B$的元素组成的集合, 叫做$A$与$B$的并集. 记作\\blank{40}.\\\\\n即$A$\\blank{10}$B=$\\blank{80}.\\\\\n用文氏图表示集合$A$与集合$B$并集: \\blank{50}."
    },
    "B00015": {
        "lesson": "K0104",
        "objs": [
            "K0104005B",
            "K0104006B",
            "K0104007B"
        ],
        "content": "补集:\\\\\n设$U$是全集, $A$是$U$的子集, 则由$U$中不属于$A$的元素组成的集合, 称为集合$A$在全集$U$中的补集, 记作\\blank{40}. 即$\\overline {A}=$\\blank{80}.\\\\\n用文氏图表示集合$A$的补集: \\blank{50}."
    },
    "B00016": {
        "lesson": "K0104",
        "objs": [
            "K0104001B",
            "K0104003B",
            "K0104006B"
        ],
        "content": "几个结论:\\\\\n(1) $A \\cap \\overline {A}=$\\blank{20}, $A \\cup \\overline {A}=$\\blank{20}, $\\overline{\\overline {A}}=$\\blank{20}.\\\\\n(3) $\\overline{A \\cap B}=$\\blank{40}, $\\overline{A \\cup B}=$\\blank{40}."
    },
    "B00017": {
        "lesson": "K0105",
        "objs": [
            "K0105002B"
        ],
        "content": "命题: 用自然语言、符号或者式子表示, 且可以\\blank{50}的语句叫做命题.\\\\\n形如``若$\\alpha$, 则$\\beta$''的命题, 陈述句$\\alpha$称为\\blank{50}, 陈述句$\\beta$称为\\blank{50}."
    },
    "B00018": {
        "lesson": "K0105",
        "objs": [
            "K0105002B",
            "K0105001B"
        ],
        "content": "``若$\\alpha$, 则$\\beta$''是真命题, 是指\\blank{50}满足条件$\\alpha$的对象都满足结论$\\beta$. 用集合语言描述\n即: $\\{x | x$满足$\\alpha\\}$\\blank{20}$\\{x | x$满足$\\beta\\}$.\\\\\n``若$\\alpha$, 则$\\beta$''是假命题, 是指\\blank{50}满足条件$\\alpha$的对象, 它不满足结论$\\beta$. 即举一个满足条件$\\alpha$而不满足结论$\\beta$的例子(称为举反例)."
    },
    "B00019": {
        "lesson": "K0105",
        "objs": [
            "K0105001B"
        ],
        "content": "推出关系: 如果命题``若$\\alpha$, 则$\\beta$''是\\blank{50}命题, 那么就称$\\alpha$推出$\\beta$, 记作\\blank{50}.\\\\\n传递性: 若$\\alpha \\Rightarrow \\beta$且$\\beta \\Rightarrow \\gamma$, 则\\blank{50}."
    },
    "B00020": {
        "lesson": "K0106",
        "objs": [
            "K0106001B"
        ],
        "content": "充分条件与必要条件:\\\\\n对于两个陈述句$\\alpha$和$\\beta$, 如果$\\alpha \\Rightarrow \\beta$, 就称$\\alpha$是$\\beta$的\\blank{40}条件, 亦称$\\beta$是$\\alpha$的\\blank{40}条件."
    },
    "B00021": {
        "lesson": "K0106",
        "objs": [
            "K0106003B"
        ],
        "content": "如果``$\\alpha \\Rightarrow \\beta$且$\\beta \\not\\Rightarrow \\alpha$'', 就称$\\alpha$是$\\beta$的\\blank{50}条件.\\\\\n如果``$\\alpha \\not \\Rightarrow \\beta$且$\\beta \\Rightarrow \\alpha$'', 就称$\\alpha$是$\\beta$的\\blank{50}条件.\\\\\n如果$\\alpha \\Leftrightarrow \\beta$(既有$\\alpha \\Rightarrow \\beta$, 又有$\\beta \\Rightarrow \\alpha$), 就称$\\alpha$是$\\beta$的\\blank{50}条件, 简称\\blank{30}条件."
    },
    "B00022": {
        "lesson": "K0106",
        "objs": [
            "K0106003B"
        ],
        "content": "证明$\\alpha$是$\\beta$的充要条件时, 既要证明\\blank{50}性, 又要证明\\blank{50}性."
    },
    "B00023": {
        "lesson": "K0107",
        "objs": [
            "K0107003B"
        ],
        "content": "反证法: 要证明``若$\\alpha$则$\\beta$''为真命题, 首先假设结论$\\beta$\\blank{50}, 然后经过正确的逻辑推理得出\\blank{50}, 从而说明``$\\beta$为假''是不可能发生的, 即结论$\\beta$是正确的. 这样的证明方法叫\\blank{50}."
    },
    "B00024": {
        "lesson": "K0107",
        "objs": [
            "K0107001B",
            "K0107002B"
        ],
        "content": "一些常用的否定形式:\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|p{20em}<{\\centering}|p{20em}<{\\centering}|}\n\\hline 陈述句$\\alpha$&$\\alpha$的否定形式 \\\\\n\\hline$x>1$& \\\\\n\\hline$x>1$或$y>1$& \\\\\n\\hline 至少有$2$个 & \\\\\n\\hline 所有的$a \\in A$都满足性质$p$& \\\\\n\\hline 所有的$a \\in A$都不满足性质$p$& \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}"
    },
    "B00025": {
        "lesson": "K0215",
        "objs": [
            "K0215001B"
        ],
        "content": "函数的概念: 设$D$是一个\\blank{30}的实数集, 如果按照某种确定的对应关系$f$, 使对集合$D$中的\\blank{30}的$x$, 都有\\blank{30}实数$y$与之对应, 就称这个对应关系$f$为集合$D$上的一个函数, 记作$y=f(x)$, $x \\in D$. 其中, $x$叫做\\blank{30}, 其取值范围(数集$D$)称为该函数的\\blank{30}."
    },
    "B00026": {
        "lesson": "K0215",
        "objs": [
            "K0215002B"
        ],
        "content": "函数的两个要素是指\\blank{50}和\\blank{50}."
    },
    "B00027": {
        "lesson": "K0215",
        "objs": [
            "K0215004B"
        ],
        "content": "如果两个函数的\\blank{50}和\\blank{50}都完全一致, 就称这两个函数是相同的."
    },
    "B00028": {
        "lesson": "K0215",
        "objs": [
            "K0215005B"
        ],
        "content": "对于函数$y=f(x)$, $x\\in D$, 所有函数值组成的集合\\blank{100}称为这个函数的\\blank{30}."
    },
    "B00029": {
        "lesson": "K0216",
        "objs": [
            "K0216001B"
        ],
        "content": "表示函数的方法有\\blank{50}、\\blank{50}和\\blank{50}等."
    },
    "B00030": {
        "lesson": "K0216",
        "objs": [
            "K0216002B"
        ],
        "content": "对于函数$y=f(x)$, $x\\in D$, 它的图像是指集合\\blank{100}.\\\\\n    若点$P(x_0,y_0)$在该函数的图像上, 则$x_0$\\blank{30}, $y_0$\\blank{30};\\\\\n    若$x_0$\\blank{30}, $y_0$\\blank{30}, 则点$P(x_0,y_0)$在该函数的图像上."
    },
    "B00031": {
        "lesson": "K0216",
        "objs": [
            "K0216004B"
        ],
        "content": "平面直角坐标系中的(非空)图形是某个函数的图像的判断依据: 每一条形如\\blank{50}的直线与图形\\blank{50}个公共点."
    },
    "B00032": {
        "lesson": "K0216",
        "objs": [
            "K0216006B"
        ],
        "content": "取整函数$y=[x]$将实数$x$对应为\\blank{50}$x$的最\\blank{20}整数. 函数$y=[x]$, $x\\in [-2,2]$的图像为\n    \\begin{center}\n    \\begin{tikzpicture}[>=latex,scale = 0.5]\n    \\draw [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node [below] {$x$};\n    \\draw [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node [left] {$y$};\n    \\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n    \\foreach \\i in {-2,-1,1,2}\n    {\\draw [dashed,gray] (\\i,-2.5) -- (\\i,2.5) (-2.5,\\i) -- (2.5,\\i);};\n    \\draw (1,0) node [below] {$1$} (0,1) node [left] {$1$};\n    \\end{tikzpicture}\n    \\end{center}"
    },
    "B00033": {
        "lesson": "K0217",
        "objs": [
            "K0217001B"
        ],
        "content": "平面图形$\\mathcal{P}$关于直线$l$成轴对称是指对\\blank{50}图形$\\mathcal{P}$的点$Q$, $Q$关于$l$的对称点仍然在图形$\\mathcal{P}$上.\\\\\n    平面图形$\\mathcal{P}$关于点$C$成中心对称是指对\\blank{50}图形$\\mathcal{P}$的点$Q$, $Q$关于点$C$的对称点仍然在图形$\\mathcal{P}$上."
    },
    "B00034": {
        "lesson": "K0217",
        "objs": [
            "K0217002B"
        ],
        "content": "函数$y=f(x)$, $x\\in D$是偶函数是指:\\\\\n    \\textcircled{1} 定义域$D$\\blank{80}, 即对任意$x_0\\in D$, 都成立\\blank{30}$\\in D$;\\\\\n    \\textcircled{2} 对\\blank{30}$x_0\\in D$, 都成立\\blank{50}."
    },
    "B00035": {
        "lesson": "K0217",
        "objs": [
            "K0217003B"
        ],
        "content": "函数$y=f(x)$, $x\\in D$是奇函数是指:\\\\\n    \\textcircled{1} 定义域$D$\\blank{80}, 即对任意$x_0\\in D$, 都成立\\blank{30}$\\in D$;\\\\\n    \\textcircled{2} 对\\blank{30}$x_0\\in D$, 都成立\\blank{50}."
    },
    "B00036": {
        "lesson": "K0217",
        "objs": [
            "K0217002B",
            "K0217003B"
        ],
        "content": "函数$y=f(x)$, $x\\in D$是偶函数当且仅当它的图像\\blank{80}; 函数$y=f(x)$, $x\\in D$是奇函数当且仅当它的图像\\blank{80}."
    },
    "B00037": {
        "lesson": "K0218",
        "objs": [
            "K0218001B"
        ],
        "content": "已知定义在$\\mathbf{R}$上的偶函数在$x\\ge 0$处的解析式为$y=f(x)$, 那么当$a<0$时, $f(a)=$\\blank{30}."
    },
    "B00038": {
        "lesson": "K0218",
        "objs": [
            "K0218001B"
        ],
        "content": "已知定义在$\\mathbf{R}$上的奇函数在$x> 0$处的解析式为$y=f(x)$, 那么当$a<0$时, $f(a)=$\\blank{30}; 当$a=0$时, $f(a)=$\\blank{30}."
    },
    "B00039": {
        "lesson": "K0218",
        "objs": [
            "K0218001B"
        ],
        "content": "说明一个函数$y=f(x)$, $x\\in D$不是奇函数, 可以从一下两种视角中选择可行的一种:\\\\\n    \\textcircled{1} 定义域不关于原点对称, 即\\blank{30}实数$x_0$, 使得$x_0\\in$\\blank{20}, 且\\blank{20}$\\not\\in $\\blank{20};\\\\\n    \\textcircled{2} 对应关系不符合奇函数的要求, 即\\blank{30}实数$x_0$, 使得\\blank{50}."
    },
    "B00040": {
        "lesson": "K0219",
        "objs": [
            "K0219001B"
        ],
        "content": "对于定义在$D$上的函数$y=f(x)$, 设区间$I$是$D$的一个子集. 对于区间$I$上的任意给定的两个自变量的值$x_1$、$x_2$, 当$x_1<x_2$时, 如果总有$f(x_1) \\leq f(x_2)$, 就称函数$y=f(x)$在区间$I$上是\\blank{50}; 如果总有$f(x_1) \\geq f(x_2)$, 就称函数$y=f(x)$在区间$I$上是\\blank{50}; 如果总有\\blank{50}, 就称$y=f(x)$在区间$I$上是严格增函数; 而如果总有\\blank{50}, 就称$y=f(x)$在区间$I$上是严格减函数."
    },
    "B00041": {
        "lesson": "K0219",
        "objs": [
            "K0219003B"
        ],
        "content": "如果$y=f(x)$, 是区间$I$上的严格增函数, 那么$y=2^{f(x)}$是区间$I$上的\\blank{30}函数.\\\\\n    这是因为对区间$I$上任意两个实数$x_1,x_2$, 当$x_1<x_2$时, 因$y=f(x)$是严格增函数, 故\\blank{20}$<$\\blank{20}, 因此\\blank{30}$<$\\blank{30}, 所以$y=2^{f(x)}$在区间$I$上是\\blank{30}函数."
    },
    "B00042": {
        "lesson": "K0219",
        "objs": [
            "K0219003B"
        ],
        "content": "如果$y=f(x)$, $y=g(x)$都是区间$I$上的增函数, 那么$y=f(x)+g(x)$是区间$I$上的\\blank{30}函数.\\\\\n    这是因为对区间$I$上任意两个实数$x_1,x_2$, 当$x_1<x_2$时, 因$y=f(x)$是增函数, 故\\blank{50}; 又因$y=g(x)$是增函数, 故\\blank{50}. 两式作\\blank{20}, 得\\blank{80}, 从而$y=f(x)+g(x)$在区间$I$上是\\blank{30}函数."
    },
    "B00043": {
        "lesson": "K0220",
        "objs": [
            "K0220001B"
        ],
        "content": "如果函数$y=f(x)$在某个区间$I$上是增(减)函数, 那么就称函数$y=f(x)$在区间$I$上是\\blank{30}函数, 并称区间$I$是函数$y=f(x)$的一个\\blank{50}."
    },
    "B00044": {
        "lesson": "K0220",
        "objs": [
            "K0220003B"
        ],
        "content": "若偶函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上是严格增函数, 则它在区间$[-b,-a]$上是\\blank{50}函数.\\\\\n    这是因为对任意$x_1,x_2\\in $\\blank{50}, 当$x_1<x_2$时, 因$f(x_1)=$\\blank{30}, $f(x_2)=$\\blank{30}. 其中\\blank{20},\\blank{20}$\\in$\\blank{30}, 且\\blank{20}$<$\\blank{20}. 注意到$y=f(x)$在区间\\blank{30}上是严格增函数, 所以\\blank{30}$<$\\blank{30}, 即\\blank{30}$<$\\blank{30}, 因此$y=f(x)$在区间$[-b,-a]$上是\\blank{50}函数."
    },
    "B00045": {
        "lesson": "K0220",
        "objs": [
            "K0220003B"
        ],
        "content": "若奇函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上是严格增函数, 则它在区间$[-b,-a]$上是\\blank{50}函数.\\\\\n    这是因为对任意$x_1,x_2\\in $\\blank{50}, 当$x_1<x_2$时, 因$f(x_1)=$\\blank{30}, $f(x_2)=$\\blank{30}. 其中\\blank{20},\\blank{20}$\\in$\\blank{30}, 且\\blank{20}$<$\\blank{20}. 注意到$y=f(x)$在区间\\blank{30}上是严格增函数, 所以\\blank{30}$<$\\blank{30}, 即\\blank{30}$<$\\blank{30}, 因此$y=f(x)$在区间$[-b,-a]$上是\\blank{50}函数."
    },
    "B00046": {
        "lesson": "K0221",
        "objs": [
            "K0221001B"
        ],
        "content": "函数$y=f(x)$在$x_0$处的函数值是$f(x_0)$, 对于定义域内\\blank{30}的$x$, 如果\\blank{50}恒成立, 那么$f(x_0)$就叫做函数$y=f(x)$的最小值; 如果\\blank{50}恒成立, 那么$f(x_0)$就叫做函数$y=f(x)$的最大值. 最大值与最小值统称\\blank{30}."
    },
    "B00047": {
        "lesson": "K0221",
        "objs": [
            "K0221001B"
        ],
        "content": "为了说明实数$M$是函数$y=f(x)$, $x\\in D$的最大值, 需要说明以下两点:\\\\\n    \\textcircled{1} \\blank{30}$x\\in D$, $f(x)$\\blank{20}$M$;\\\\\n    \\textcircled{2} \\blank{30}$x\\in D$, $f(x)$\\blank{20}$M$."
    },
    "B00048": {
        "lesson": "K0222",
        "objs": [
            "K0222001B"
        ],
        "content": "在现实情境中建立函数关系时, 明确何为自变量, 何为因变量之后, 应关注定义域(即该情境中\\blank{50}的取值范围)和对应关系(即该情境中\\blank{50}随\\blank{50}的变化方式)."
    },
    "B00049": {
        "lesson": "K0223",
        "objs": [
            "K0223001B"
        ],
        "content": "对于函数$y=f(x)$, $x \\in D$, 如果存在实数$c \\in D$, 使得\\blank{50}, 就把$c$叫做该函数的零点. 零点是\\blank{30}(填入``数''或``数对'')."
    },
    "B00050": {
        "lesson": "K0223",
        "objs": [
            "K0223001B"
        ],
        "content": "函数$y=f(x)$, $x \\in D$的零点, 就是方程\\blank{50}在集合\\blank{20}中的解, 也是该函数$y=f(x)$的图像与\\blank{20}轴的交点的\\blank{20}坐标."
    },
    "B00051": {
        "lesson": "K0223",
        "objs": [
            "K0223004B"
        ],
        "content": "若函数$y=f(x)$在区间$I$上是严格增(减)函数, 则$f(x)=a$在区间$I$上有\\blank{30}个解."
    },
    "B00052": {
        "lesson": "K0223",
        "objs": [
            "K0223005B"
        ],
        "content": "若函数$y=f(x)$在区间$I$上是严格增函数, 且$f(x_0)=a$, 则$f(x)>a$在区间$I$上的解集为$I\\cap$\\blank{50}; $f(x)\\le a$在区间$I$上的解集为$I\\cap$\\blank{50}."
    },
    "B00053": {
        "lesson": "K0224",
        "objs": [
            "K0224001B"
        ],
        "content": "零点存在定理: 如果在区间$[a, b]$上, 函数$y=f(x)$的图像是\\blank{50}, 并且$f(a) \\cdot f(b)$\\blank{20}, 那么$y=f(x)$在区间$(a, b)$上\\blank{50}."
    },
    "B00054": {
        "lesson": "K0224",
        "objs": [
            "K0224002B"
        ],
        "content": "设函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上连续, $f(a)<0$, $f(b)>0$. 二分法求函数零点的近似值的第一步是计算$x=$\\blank{50}处的函数值$y_0$. 如果函数值$y_0$为负, 那么在区间\\blank{50}上一定有函数$f(x)$的零点; 如果函数值$y_0$为正, 那么在区间\\blank{50}上一定有函数$f(x)$的零点."
    },
    "B00055": {
        "lesson": "K0225",
        "objs": [
            "K0225001B"
        ],
        "content": "对于函数$y=f(x)$, $x \\in D$, 记其\\blank{30}为$f(D)$. 如果对$f(D)$中的\\blank{50}一个值$y$, 在$D$中满足$f(x)=y$的$x$值\\blank{50}, 那么由此得到的\\blank{20}关于\\blank{20}的函数叫做$y=f(x)$, $x \\in D$的反函数, 记作$x=f^{-1}(y)$, $y \\in f(D)$. 由于自变量习惯上常用$x$表示, 而函数值常用$y$表示, 因此通常把该函数改写为\\blank{50}, \\blank{20}$\\in$\\blank{20}."
    },
    "B00056": {
        "lesson": "K0225",
        "objs": [
            "K0225002B"
        ],
        "content": "某函数有反函数的图形化判断依据: 每一条形如\\blank{50}的直线与原来函数的图像\\blank{50}个公共点."
    },
    "B00057": {
        "lesson": "K0225",
        "objs": [
            "K0225003B"
        ],
        "content": "原来函数的值域是反函数的\\blank{30}, 原来函数的定义域是反函数的\\blank{30}."
    },
    "B00058": {
        "lesson": "K0225",
        "objs": [
            "K0225004B"
        ],
        "content": "设$y=f(x)$, $x\\in D$的反函数为$y=f^{-1}(x)$, $x\\in f(D)$.\\\\\n    \\textcircled{1} 若$y_0=f(x_0)$, 则$x_0=$\\blank{50};\\\\\n    \\textcircled{2} 对于任意$x_1\\in$\\blank{30}, $f(f^{-1}(x_1))=$\\blank{20}; 对于任意$x_2\\in$\\blank{30}, $f^{-1}(f(x_2))=$\\blank{20}."
    },
    "B00059": {
        "lesson": "K0225",
        "objs": [
            "K0225005B"
        ],
        "content": "求函数$y=f(x)$, $x\\in D$的反函数时, 一般要完成以下三个步骤:\\\\\n    \\textcircled{1} 求原来的函数$y=f(x)$, $x\\in D$的\\blank{30}, 作为反函数的\\blank{30};\\\\\n    \\textcircled{2} 在$y\\in$\\blank{30}, $x\\in$\\blank{30}的情境下, 解关于\\blank{20}的方程$y=f(x)$, 得\\blank{20}$=$\\blank{30};\\\\\n    \\textcircled{3} 交换$x,y$, 并将\\blank{50}作为反函数的定义域, 表达为\\blank{50}, \\blank{30}."
    },
    "B00060": {
        "lesson": "K0226",
        "objs": [
            "K0226001B"
        ],
        "content": "点$P(a,b)$关于直线$l$的对称点的坐标为$P'$\\blank{50}."
    },
    "B00061": {
        "lesson": "K0226",
        "objs": [
            "K0226002B"
        ],
        "content": "互为反函数的两函数的图像关于直线\\blank{50}成轴对称."
    },
    "B00062": {
        "lesson": "K0226",
        "objs": [
            "K0226004B",
            "K0226006B"
        ],
        "content": "若点$P(a,b)$在函数$y=f(x)$, $x\\in D$的图像上, 且该函数有反函数.\\\\\n    则\\blank{10}一定在反函数的定义域中, 点$P'$\\blank{50}一定在反函数$y=f^{-1}(x)$的图像上;\\\\\n    点$Q$\\blank{50}一定在函数$y=f(2x+1)$的图像上, 点$R$\\blank{50}一定在函数$y=f^{-1}(2x+1)$的图像上, 这表明$y=f^{-1}(2x+1)$\\blank{50}$y=f(2x+1)$的反函数(填入``一定是''或``不一定是'')."
    },
    "B00063": {
        "lesson": "K0226",
        "objs": [
            "K0226005B"
        ],
        "content": "若$y=f(x)$, $x\\in D$是严格增函数, 则其反函数$y=f^{-1}(x)$, $x\\in f(D)$是\\blank{30}函数.\\\\\n    这是因为对任意$x_1,x_2\\in f(D)$, 当$x_1<x_2$时, 因$x_1,x_2\\in f(D)$, 故存在$t_1,t_2\\in$\\blank{30}, 使得$x_1=$\\blank{40}, $x_2=$\\blank{40}. 假设$t_1\\ge t_2$, 因$y=f(x)$是\\blank{50}, 故$x_1=$\\blank{40}$\\ge$\\blank{40}$=x_2$. 这与\\blank{50}相矛盾. 故$t_1<t_2$, 即\\blank{50}$<$\\blank{50}."
    },
    "B00064": {
        "lesson": "K0226",
        "objs": [
            "K0226005B"
        ],
        "content": "若$y=f(x)$, $x\\in D$是奇函数, 并且它有反函数$y=f^{-1}(x)$, $x\\in f(D)$, 则其反函数是\\blank{30}函数.\\\\\n    这是因为对任意$x_0\\in f(D)$, 存在$t_0\\in$\\blank{30}, 使得$x_0=$\\blank{40}. 因$y=f(x)$是\\blank{50}, 故$-t_0\\in$\\blank{30}, 且$-x_0=$\\blank{30}, 从而$-x_0\\in$\\blank{30}, 并且\\blank{30}$=-t_0=$\\blank{30}."
    },
    "B00065": {
        "lesson": "K0108",
        "objs": [
            "K0108001B"
        ],
        "content": "用等号``$=$''把两个数量关系连接起来, 所得的式子称为\\blank{50}."
    },
    "B00066": {
        "lesson": "K0108",
        "objs": [
            "K0108001B"
        ],
        "content": "对于实数而言, 等式明显具有以下性质: \\\\\n(1) \\blank{20}性: 设 $a$、$b$、$c \\in \\mathbf{R}$, 如果 $a=b$, $b=c$, 那么\\blank{50}.\\\\\n(2) \\blank{20}性质: 设 $a$、$b$、$c \\in \\mathbf{R}$, 如果 $a=b$, 那么\\blank{80}.\\\\\n(3) \\blank{20}性质: 设 $a$、$b$、$c \\in \\mathbf{R}$, 如果 $a=b$, 那么\\blank{80}."
    },
    "B00067": {
        "lesson": "K0108",
        "objs": [
            "K0108002B"
        ],
        "content": "含有\\blank{50}的等式称为\\blank{50}; 使得方程两端相等的未知数的值, 称为\\blank{50}."
    },
    "B00068": {
        "lesson": "K0207",
        "objs": [
            "K0207001B"
        ],
        "content": "当指数 $a$ 固定, 等式\\blank{100}确定了变量\\blank{20}随变量\\blank{20}变化的规律, 称为指数为\\blank{20}的幂函数."
    },
    "B00069": {
        "lesson": "K0207",
        "objs": [
            "K0207002B"
        ],
        "content": "幂函数的定义域为\\blank{100}. 幂函数的定义域可以是不相同的, 它与\\blank{50}有关."
    },
    "B00070": {
        "lesson": "K0207",
        "objs": [
            "K0207003B"
        ],
        "content": "请依次作出幂函数 $y=x^{\\frac{1}{2}}$, $y=x^3$, $y=x^{-\\frac{2}{3}}$ 的大致图像.\n\\begin{center}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\end{tikzpicture}\n\\hspace*{3em}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\end{tikzpicture}\n\\hspace*{3em}\n\\begin{tikzpicture}[>=latex]\n\\draw [->] (-2,0) -- (2,0) node [below] {$x$};\n\\draw [->] (0,-2) -- (0,2) node [left] {$y$};\n\\draw (0,0) node [below left] {$O$};\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}"
    },
    "B00071": {
        "lesson": "K0401",
        "objs": [
            "K0401002X"
        ],
        "content": "若数列$\\{a_n\\}$从第二项起, 每一项与其前一项的差都等于同一个常数$d$, 这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的\\blank{50}.($a_n-a_{n-1}=d$, $n\\ge 2$)"
    },
    "B00072": {
        "lesson": "K0401",
        "objs": [
            "K0401002X"
        ],
        "content": "$a,b,c$成等差数列$\\Leftrightarrow b$是$a,c$的\\blank{100} $\\Leftrightarrow$ $b=$\\blank{50}."
    },
    "B00073": {
        "lesson": "K0401",
        "objs": [
            "K0401003X",
            "K0401004X"
        ],
        "content": "数列$\\{a_n\\}$是以$a_1$为首项, $d$为公差的等差数列, 它的通项公式是\\blank{100}."
    },
    "B00074": {
        "lesson": "K0401",
        "objs": [
            "K0401004X"
        ],
        "content": "数列$\\{a_n\\}$是等差数列, 正整数$m,n,p,q$满足$m+n=p+q$, 那么$a_m+a_n=$\\blank{50}."
    },
    "B00075": {
        "lesson": "K0201",
        "objs": [
            "K0201001B"
        ],
        "content": "整数指数幂:\\\\\n    (1) 设 $a$ 是一个实数, $n$ 是一个正整数. 称\\blank{100}为 $a$ 的 $n$ 次幂; 当 $a \\neq 0$ 时, 定义 $a^0=$\\blank{30}, $a^{-n}=$\\blank{50}.\\\\\n    (2) 整数指数幂满足如下的运算性质(设$a,b\\in \\mathbf{R}$, $a,b$均不为零, $s,t\\in \\mathbf{Z}$): \\textcircled{1} $a^s\\cdot a^t=$\\blank{50}; \\textcircled{2} $(a^s)^t=$\\blank{50}; \\textcircled{3} $(ab)^t=$\\blank{50}."
    },
    "B00076": {
        "lesson": "K0201",
        "objs": [
            "K0201002B",
            "K0201003B"
        ],
        "content": "实数的 $n$ 次方根:\\\\\n    (1) 一般地, 如果 $n$ 为大于 $1$ 的整数, 且 $x^n=a$, 那么 $x$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次方根. 式子 $\\sqrt[n]{a}$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次根式, $n$ 叫做\\blank{50}, $a$ 叫做\\blank{50}.\\\\\n    (2) 对于大于$1$的正整数$n$, $\\sqrt[n]{0}=$\\blank{30}.\\\\\n    (3) 已知$a$为实数. 当 $n$ 为正奇数($n\\ge 3$)时, $\\sqrt[n]{a^n}=$\\blank{50}; 当 $n$ 为正偶数时, $\\sqrt[n]{a^n}=$\\blank{50}."
    }
}